k階Erlang分布的Pearson-χ2距離

季海波

(宿遷學院教師教育系，江蘇 宿遷 223800)

0 引言

在數(shù)理統(tǒng)計中，通常使用Pearson-χ2距離來比較兩個密度函數(shù)的差異性。盡管其已經(jīng)不再滿足距離公理中的某些條件，但是它們確實能夠在某種程度上描述兩個密度函數(shù)的差異程度。近年來，人們在討論極值分布的大樣本問題、分布函數(shù)的計算機模擬樣本的收斂性時，都將Pearson-χ2距離作為衡量標準來判斷一個密度函數(shù)列是否收斂到某個確定的密度函數(shù)。

k階Erlang分布是排隊論中常用的一個重要的服務時間分布，它與指數(shù)分布有密切的關系。若X1，X2，…，Xk是一列獨立的隨機變量，且都服從指數(shù)分布E(μ)，則隨機變量T=X1+X2+…+Xk具有概率密度:

稱T服從參數(shù)為μ的k階Erlang分布。

文獻［5］中給出了兩個指數(shù)分布之間的Pearson-χ2最大距離。本文著重討論兩個k階Erlang分布的Pearson-χ2距離和Pearson-χ2最大距離，并與兩個指數(shù)分布之間的Pearson-χ2距離進行比較。

1 相關定義及引理

定義1 設隨機變量X、Y分別具有密度函數(shù)f(x)、g(x)，且f(x)＞0，若

定義2 設隨機變量X、Y分別具有密度函數(shù)f(x)、g(x)且f(x)＞0，g(x)＞0，若d2(f，g)、d2(g，f)都存在，記 d2m(f，g)=max{d2(f，g)，d2(g，f)}，稱(f，g)為兩個密度函數(shù)f(x)、g(x)之間的最大距離。

由定義可以得到如下引理:

引理1 如果函數(shù)f(x)是指數(shù)分布E(μ1)的密度函數(shù)，g(x)是指數(shù)分布E(μ2)的密度函數(shù)，那么

引理2 如果函數(shù)f(x)是指數(shù)分布E(μ1)的密度函數(shù)，g(x)是指數(shù)分布E(μ2)的密度函數(shù)，當＜μ1＜ 2μ2時，則有:

2 k階Erlang分布的Pearson-χ2距離和Pearson-χ2最大距離

定理1 設f(x)、g(x)是分別具有參數(shù)μ1、μ2的k階Erlang分布的密度函數(shù)，則:

證明:由于f(x)、g(x)是分別具有參數(shù)μ1、μ2的k階Erlang分布的密度函數(shù)，則:

當0＜μ1＜2μ2時，由分部積分法可得:

將式(4)代入式(3)可得:

顯然還有:

則定理1得證。

類似地還可以得到:

由引理1和定理1還可得到下面一些性質(zhì)。

推論1 如果f1(x)、g1(x)分別是具有參數(shù)μ1、μ2的指數(shù)分布的密度函數(shù)，f2(x)、g2(x)分別是具有參數(shù)μ1、μ2的k階Erlang分布的密度函數(shù)，則:

推論2 兩個指數(shù)分布間的Pearson-χ2最大距離和兩個k階Erlang分布Pearson-χ2最大距離具有相同的漸近性。

［1］Robert G O，Shau S K.Updating schemes，correlation structure，blocking and parameterization for the Gibbssampler［J］.J R Statist Soc B，1997，59:291-317.

［2］Liu S J，Wong W H，Kong A.Correlation structure and convergence rate of the Gibbs sampler with various scans［J］.J R Statist Soc B，1995，57:157-169.

［3］Reiss R D.Approximate Distributions of Order Statistics［M］.New York:Springer，1980.

［4］胡運權.運籌學基礎及應用［M］.北京:高等教育出版社，1986.

［5］陳光曙.Pearson-χ2的最大距離的性質(zhì)［J］.遼寧師范大學學報:自然科學版，2005，28(4):402-404.