指數(shù)分布與幾何分布的條件可加性

何朝兵

（安陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南安陽 455000）

指數(shù)分布與幾何分布的條件可加性

何朝兵

（安陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南安陽 455000）

首先證明了獨立指數(shù)分布隨機變量之和的一個條件分布是指數(shù)分布，然后證明了獨立幾何分布隨機變量的一個線性組合的一個條件分布是幾何分布.

指數(shù)分布;幾何分布;相互獨立;條件分布;可加性

指數(shù)分布不但在電子元器件方面得到了普遍使用，而且可靠性工程和排隊論的豐富實踐又使人們加深了對指數(shù)分布性質(zhì)的認識.幾何分布已經(jīng)應(yīng)用于越來越多的領(lǐng)域，特別是在信息工程、電子工程、控制論以及經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域都具有極其重要的地位.指數(shù)分布和幾何分布有許多相似的性質(zhì)，可參看文獻［1－10］.因此，探討這2個分布的性質(zhì)是一個有意義的研究方向，具有重要的理論價值和實用價值，而且會使這2個分布在可靠性數(shù)學(xué)等應(yīng)用概率模型中的應(yīng)用更加廣泛.眾所周知，2個獨立的指數(shù)分布隨機變量的和不服從指數(shù)分布，如果添加特定的條件，獨立指數(shù)分布隨機變量的和服從指數(shù)分布嗎?對于幾何分布也有類似的情況.對于這個問題，卻很少有文獻報道.但這個問題的解決將會豐富和完善指數(shù)分布和幾何分布的分布理論.

1 預(yù)備知識

則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，記為X～exp（λ）.

定義2 如果隨機變量X的分布律為

則稱X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為X～Geo（p）.

定義1 如果隨機變量X的密度函數(shù)為

2 主要結(jié)論

假設(shè)X1，X2，…，Xn是連續(xù)型隨機變量，因為P（X1=X2=… =Xn）=0，所以無法用條件概率直接計算，那么一個很自然的想法是:

3 結(jié)論的證明

命題2很容易證明推論1.

由推論1可以看出，若X，Y相互獨立，且都服從幾何分布Geo（p），如果已知X=Y，則其中

其中q=1－p.

［1］曹晉華，程侃.可靠性數(shù)學(xué)引論［M］.北京:高等教育出版社，2006:15，25，365－405.

［2］茆詩松，湯銀才，王玲玲.可靠性統(tǒng)計［M］.北京:高等教育出版社，2008:97－160.

［3］KA S L.Characterization of the exponential distribution by the relevation transform［J］.Appl.Prob.，1990，27（3）:726－729.

［4］ROSSITZA D.Characterization of geometric and exponential random variables［J］.Communications in Statistics Theory and Methods，2004，33（8）:1755－1765.

［5］BEST D J，RAYNER J C W.Test of fit for the geometric distribution［J］.Communication in Statistics Theory and Methods，2003，32（5）:913－928.

［6］LAWRENCE M L.Probabilistic properties of exponential distribution［J］.Microelectron.Reliab，1988，28（2）:257－262.

［7］毛用才.基于順序統(tǒng)計量的幾何分布特征的進一步結(jié)果［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，1995，11（2）:115－119.

［8］徐曉嶺，費鶴良，王蓉華.幾何分布的兩個統(tǒng)計特征［J］.應(yīng)用概率統(tǒng)計，2006，22（1）:10－20.

［9］徐曉嶺，王蓉華，費鶴良.幾何分布的幾個性質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)研究，2008，41（1）:103－112.

［10］吳紹敏，程細玉.幾何分布恒加應(yīng)力壽命試驗下的混合數(shù)據(jù)分析［J］.華僑大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，1997，18（1）:6－10.

［11］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.下冊［M］.北京:高等教育出版社，2004:174.

Additivity of Exponential Distribution and Geometric Distribution under Certain Condition

HE Chao-bing

（School of Mathematics and Statistics，Anyang Normal University，Anyang 455000，China）

In the paper，it was proved that a conditional distribution of sum of independent exponential random variables is exponential distribution，and it was also proved that a conditional distribution of a linear combination of independent geometric distribution variables is still geometric distribution.

exponential distribution;geometric distribution;independent;conditional distribution;additivity

O 211.3

A

1004－1729（2012）01－0020－06

2011－09－26

河南省教育廳自然科學(xué)基金資助項目（2009B110003）

何朝兵（1975－），男，河南周口人，安陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院講師，碩士.