從單一網(wǎng)絡(luò)向《網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)》的轉(zhuǎn)變進(jìn)程
——略論多層次超網(wǎng)絡(luò)模型的探索與挑戰(zhàn)

方錦清

(中國(guó)原子能科學(xué)研究院核技術(shù)應(yīng)用所 北京 102413)

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從單一網(wǎng)絡(luò)向《網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)》的轉(zhuǎn)變進(jìn)程
——略論多層次超網(wǎng)絡(luò)模型的探索與挑戰(zhàn)

方錦清

(中國(guó)原子能科學(xué)研究院核技術(shù)應(yīng)用所 北京 102413)

摘要：簡(jiǎn)要回顧單一網(wǎng)絡(luò)的理論框架的總體概貌；概述當(dāng)前令人關(guān)注的“網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)”或超網(wǎng)絡(luò)的諸多特點(diǎn)、相關(guān)定義和概念，簡(jiǎn)介若干多層次超網(wǎng)絡(luò)的理論模型研究概況，最后對(duì)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)面臨的十大挑戰(zhàn)性課題給予說(shuō)明。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)我痪W(wǎng)絡(luò)；網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)；多層次超網(wǎng)絡(luò)；十大挑戰(zhàn)性課題

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)無(wú)處不在、無(wú)時(shí)不在。在世紀(jì)之交(1998—1999)以小世界網(wǎng)絡(luò)和無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)兩大發(fā)現(xiàn)為標(biāo)志，誕生了一門(mén)廣泛交叉的新興科學(xué)：網(wǎng)絡(luò)科學(xué)[1-11]。正如無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的發(fā)現(xiàn)者艾伯特-拉斯洛·巴拉巴西(A-L.Barabasi)在2012年指出[3]： “作為一個(gè)范例，還原論已經(jīng)過(guò)時(shí)了；作為一個(gè)領(lǐng)域，復(fù)雜性研究也疲憊不堪了；現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)科學(xué)來(lái)取而代之了。基于數(shù)據(jù)的復(fù)雜系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型正在提供一個(gè)全新的視角，迅速發(fā)展成為了一門(mén)嶄新的交叉學(xué)科：網(wǎng)絡(luò)科學(xué)?！?18年來(lái)，國(guó)內(nèi)外不斷掀起了網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的研究熱潮。一方面，它成為探索人類(lèi)面臨的挑戰(zhàn)性問(wèn)題的科學(xué)方法和思想武器，對(duì)推動(dòng)和促進(jìn)社會(huì)進(jìn)步具有現(xiàn)實(shí)和長(zhǎng)遠(yuǎn)的意義。另一方面，迄今它發(fā)展起來(lái)的網(wǎng)絡(luò)理論框架主要是基于單個(gè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，這是一種簡(jiǎn)化的網(wǎng)絡(luò)科學(xué)理論框架，而現(xiàn)實(shí)世界總是存在著大量相互關(guān)聯(lián)和彼此依存的錯(cuò)綜復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)，值得關(guān)注的是，現(xiàn)實(shí)廣泛存在的“網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)”(“Networks of Networks”，NON)或稱(chēng)超網(wǎng)絡(luò)(Supernetwork)正在成為網(wǎng)絡(luò)科學(xué)最新的前沿課題，最富有挑戰(zhàn)性。由于NON課題的復(fù)雜性、多樣性和艱巨性，正在逐步從單個(gè)網(wǎng)絡(luò)向“網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)”的研究推進(jìn)中，主要在NON的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性和動(dòng)力學(xué)同步功能兩大方面展開(kāi)理論工作，取得了一定的進(jìn)展。本文將簡(jiǎn)要回顧單一網(wǎng)絡(luò)的理論框架概貌；

概述NON或超網(wǎng)絡(luò)的諸多特點(diǎn)、相關(guān)定義和概念，簡(jiǎn)介若干多層次超網(wǎng)絡(luò)的理論模型研究概況，以及網(wǎng)絡(luò)科學(xué)面臨的十大挑戰(zhàn)性課題。

1單一網(wǎng)絡(luò)的簡(jiǎn)要回顧

美國(guó)網(wǎng)絡(luò)科學(xué)家巴拉巴西是一位致力于網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的國(guó)際領(lǐng)軍人物。正是他首次在1999年揭開(kāi)了單一復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)幕之一——無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的奧秘。迄今，他出版的代表作有二本網(wǎng)絡(luò)科學(xué)科普著作[4-5]：《鏈接：網(wǎng)絡(luò)新科學(xué)》和《爆發(fā)》。前書(shū)功在標(biāo)志世紀(jì)之交國(guó)際上誕生了一門(mén)廣泛交叉的網(wǎng)絡(luò)科學(xué)，展示了網(wǎng)絡(luò)科學(xué)發(fā)展觀方法理論的廣泛應(yīng)用，它覆蓋了自然界和人類(lèi)社會(huì)廣闊的空間;后書(shū)深刻揭示了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)無(wú)時(shí)不在，如何覆蓋浩瀚的時(shí)間長(zhǎng)河，發(fā)現(xiàn)了社會(huì)網(wǎng)絡(luò)等不同層次的人類(lèi)行為特點(diǎn)和某些可預(yù)測(cè)性，例如人類(lèi)的行為特性93%是可以預(yù)測(cè)的。這樣，上述兩本著作把復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間與空間不可分割地聯(lián)系在一起，形成了比較完整的傳統(tǒng)意義上的網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的理論框架。2006年他與Newman、Wattsh出版合著：《網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)與動(dòng)力學(xué)》。他探索網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題始于1994年博士后研究，經(jīng)過(guò)20年的頑強(qiáng)拼搏，根據(jù)報(bào)道，2015年他正式單獨(dú)出版了第一本個(gè)人專(zhuān)著：《網(wǎng)絡(luò)科學(xué)》，國(guó)內(nèi)迄今還沒(méi)有看到此書(shū)。根據(jù)報(bào)道介紹，該書(shū)系統(tǒng)而全面地總結(jié)了他的團(tuán)隊(duì)從事網(wǎng)絡(luò)科學(xué)研究20年的豐碩成果，可以說(shuō)，這是迄今國(guó)際上基于單一網(wǎng)絡(luò)的理論框架的一本標(biāo)志性著作。

無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的發(fā)現(xiàn)、無(wú)標(biāo)度特性的生成機(jī)制的揭示和發(fā)展過(guò)程具體反映了網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的誕生和發(fā)展所經(jīng)歷的曲折道路。巴拉巴西在第一本個(gè)人專(zhuān)著《網(wǎng)絡(luò)科學(xué)》中自述了許多真實(shí)的故事，他及其團(tuán)隊(duì)所經(jīng)歷的許多失敗和挫折正是網(wǎng)絡(luò)科學(xué)發(fā)展進(jìn)程中最好的代表和見(jiàn)證，他的頑強(qiáng)堅(jiān)持的精神值得我們學(xué)習(xí)。在專(zhuān)著引言介紹里，他真實(shí)透露了所經(jīng)歷的5次失敗教訓(xùn)：不僅有3篇論文(1995，1996，1998))曾經(jīng)失敗、受挫、被拒或被推遲發(fā)表，例如探索映射網(wǎng)絡(luò)遭到失敗(1996)；其實(shí)1999年給美國(guó) “科學(xué)”雜志投稿時(shí)開(kāi)始也一度被拒，但是他頑強(qiáng)地與編輯據(jù)理力爭(zhēng)，BA無(wú)標(biāo)度模型的論文才得以發(fā)表，這個(gè)新發(fā)現(xiàn)在國(guó)際上產(chǎn)生了廣泛而深刻的影響。但是由于論文對(duì)于無(wú)標(biāo)度特性缺乏嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明曾一度被質(zhì)疑，導(dǎo)致他科研經(jīng)費(fèi)難以申請(qǐng)(例如美國(guó)國(guó)家基金和美國(guó)國(guó)防部項(xiàng)目的申請(qǐng)失敗)。所有這些挫折和失敗都沒(méi)有動(dòng)搖他的斗志。反而給他在科學(xué)史留下和增添了可歌可泣的難忘故事和難得的啟迪。

巴拉巴西為首的科研團(tuán)隊(duì)對(duì)于網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的誕生無(wú)疑作出了突出貢獻(xiàn)，不僅首先發(fā)現(xiàn)了許多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的無(wú)標(biāo)度特性及其產(chǎn)生的物理機(jī)制，把這個(gè)普遍特性應(yīng)用于研究各種實(shí)際網(wǎng)絡(luò)。更難得的是，不斷引領(lǐng)和推動(dòng)新課題的創(chuàng)新，例如，他們把物理學(xué)中玻色-愛(ài)因斯坦凝聚現(xiàn)象與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)巧妙地聯(lián)系起來(lái)，把復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)自然推到物理學(xué)的懷抱，成為網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的兩大理論基石之—；并提出和建立了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的控制理論方法。他說(shuō)得好：正是“這些物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、電腦科學(xué)家、社會(huì)學(xué)家以及生物學(xué)家等人共同努力，深入詳細(xì)地研究了無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型及其擴(kuò)展模式后，獲得了大量實(shí)證結(jié)果，從而建立了一套內(nèi)容豐富、完整的網(wǎng)絡(luò)增長(zhǎng)和進(jìn)化理論體系?！保虼?，這個(gè)十多年來(lái)發(fā)展的關(guān)于單一網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的理論不妨稱(chēng)為網(wǎng)絡(luò)科學(xué)傳統(tǒng)的理論體系，多學(xué)科科學(xué)家的貢獻(xiàn)功不可沒(méi)。這個(gè)傳統(tǒng)理論體系提出了各種理論模型，并揭示復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部鏈接、鏈接重排、刪除節(jié)點(diǎn)和鏈接、節(jié)點(diǎn)老齡化、非線(xiàn)性效應(yīng)等許多因素的影響，揭開(kāi)了網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)特性(功能)的各種過(guò)程及其規(guī)律，共同構(gòu)成傳統(tǒng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)演化的理論框架。實(shí)際上，產(chǎn)生無(wú)標(biāo)度特性的物理機(jī)制具有多樣性，BA無(wú)標(biāo)度模型只不過(guò)是一個(gè)特例?？傊?，迄今復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，無(wú)標(biāo)度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不是例外，而是普遍的常態(tài)，這就解釋了為什么大多數(shù)真實(shí)網(wǎng)絡(luò)都是無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。演化網(wǎng)絡(luò)理論把網(wǎng)絡(luò)看作隨時(shí)間連續(xù)不斷變化的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，以無(wú)標(biāo)度模型為代表的大量研究結(jié)果深刻地揭開(kāi)了蘊(yùn)含在各種增長(zhǎng)網(wǎng)絡(luò)的生成機(jī)制。這些發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新為傳統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)科學(xué)體系的建立作出了重要的貢獻(xiàn)，巴拉巴西成為建立基于網(wǎng)絡(luò)共性的前期科學(xué)理論的先行者和領(lǐng)軍人物，他的科研團(tuán)隊(duì)功不可沒(méi)。無(wú)疑，巴拉巴西具有高瞻遠(yuǎn)矚的眼光，充滿(mǎn)對(duì)于網(wǎng)絡(luò)的真知灼見(jiàn)，它使人們認(rèn)識(shí)了許多現(xiàn)代社會(huì)和自然界里絢麗多彩的網(wǎng)絡(luò)世界。令人驚奇的是，借助現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)，正不斷揭開(kāi)社會(huì)關(guān)系網(wǎng)絡(luò)、高科技企業(yè)網(wǎng)絡(luò)、新陳代謝網(wǎng)絡(luò)和細(xì)胞網(wǎng)絡(luò)等諸多網(wǎng)絡(luò)具有相似性和共性，并超出了它們之間的差異性。這些發(fā)現(xiàn)提供了嶄新而重要的網(wǎng)絡(luò)科學(xué)發(fā)展觀，應(yīng)用來(lái)考察和審視周?chē)匀唤绾腿祟?lèi)社會(huì)的豐富多彩相互連接關(guān)系及其變化規(guī)律。中國(guó)網(wǎng)絡(luò)科學(xué)領(lǐng)域也取得了與國(guó)際上同步的發(fā)展。

迄今，網(wǎng)絡(luò)科學(xué)已經(jīng)滲透到各個(gè)角落和不同領(lǐng)域，它成為一種有力的科學(xué)思想武器，開(kāi)闊了人們的視野，開(kāi)辟了新天地，繼續(xù)產(chǎn)生越來(lái)越廣泛而深刻的影響。

2“網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)”的概況、基本特點(diǎn)和定義

2.1概況

實(shí)際上廣泛存在“網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)(NON)”，或稱(chēng)“超網(wǎng)絡(luò)”，或稱(chēng)“體系的體系”，目前叫法術(shù)語(yǔ)不盡相同，但是有著共同的特點(diǎn)和內(nèi)含，這些網(wǎng)絡(luò)之間相互嵌套在一起，你中有我，我中有你。如大腦網(wǎng)絡(luò)就是一個(gè)非常典型的NON， 它有3個(gè)層次：微觀尺度(神經(jīng)元)、中尺度(神經(jīng)集群)和大尺度(大范圍腦區(qū)域)，實(shí)際研究時(shí)只能簡(jiǎn)化處理這個(gè)典型復(fù)雜大腦NON；國(guó)民基礎(chǔ)設(shè)施超網(wǎng)絡(luò)由許多子網(wǎng)絡(luò)組成，包括電力網(wǎng)，海陸空交通網(wǎng)，信息傳輸網(wǎng)和社會(huì)關(guān)系網(wǎng)等錯(cuò)綜交叉在一起；中國(guó)高科技超網(wǎng)存在4個(gè)層次：中關(guān)村科技園(Z-Park)網(wǎng)絡(luò)、中國(guó)高科技園區(qū)與高校科學(xué)園區(qū)聯(lián)合網(wǎng)絡(luò)(CHTPN)、中國(guó)高技術(shù)產(chǎn)業(yè)網(wǎng)絡(luò)(CHTEN)和世界高科技網(wǎng)絡(luò)，各個(gè)層次之間相互交叉和影響,實(shí)質(zhì)上它是多層次的超網(wǎng)絡(luò)；國(guó)防領(lǐng)域的戰(zhàn)爭(zhēng)超網(wǎng)絡(luò)包含通信網(wǎng)絡(luò)、指揮控制網(wǎng)、預(yù)警探測(cè)網(wǎng)、空間衛(wèi)星網(wǎng)等4大信息網(wǎng)?！拔锫?lián)網(wǎng)”是以互聯(lián)網(wǎng)為基本構(gòu)架由交通網(wǎng)、電力網(wǎng)、物流網(wǎng)等多種性質(zhì)不同的存在錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)聯(lián)的網(wǎng)絡(luò)組成。如此的超網(wǎng)絡(luò)，無(wú)處不在，從層次/聯(lián)系方式看超網(wǎng)絡(luò)有：大腦網(wǎng)絡(luò)，戰(zhàn)爭(zhēng)網(wǎng)絡(luò)，高科技網(wǎng)絡(luò)，社會(huì)網(wǎng)絡(luò)，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)，蛋白質(zhì)網(wǎng)絡(luò)，新陳代謝網(wǎng)，生物-社會(huì)傳播網(wǎng)。從網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)看超網(wǎng)絡(luò)有：互聯(lián)網(wǎng)，供應(yīng)鏈與社會(huì)超網(wǎng)絡(luò)，電子商務(wù)中的供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)模型，回收超網(wǎng)絡(luò)模型，閉環(huán)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)模型，物聯(lián)網(wǎng)。

由于各種類(lèi)型超網(wǎng)絡(luò)的研究難度極大，迄今國(guó)內(nèi)外尚非常缺乏對(duì)于NON或超網(wǎng)絡(luò)的普遍有效的理論方法和突破性的進(jìn)展。隨著網(wǎng)絡(luò)科學(xué)研究的不斷積累和深入發(fā)展，深入揭開(kāi)NON之奧秘的時(shí)機(jī)正在到來(lái)。

2.2NON的諸多特點(diǎn)

“網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)”(NON)或超網(wǎng)絡(luò)，實(shí)際上都是典型的復(fù)雜開(kāi)放系統(tǒng)，網(wǎng)絡(luò)之間相互嵌套、相互依存、彼此關(guān)聯(lián)、相互影響。NON至少具有下列“諸多”特點(diǎn)之一：多層性、多維性、多屬性、多重性、多目標(biāo)、多參數(shù)、多準(zhǔn)則、多選擇。更具體說(shuō)，有如下特點(diǎn)：

圖1　互聯(lián)網(wǎng)顯示的“網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)”交叉和嵌套關(guān)系

1)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)是2個(gè)或更多個(gè)的子網(wǎng)絡(luò)組成，存在交集, 具有多種層次結(jié)構(gòu)形式，或可以從多層次相互交叉角度進(jìn)行探討；如交通運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)有海陸空不同層次，也有物理層、業(yè)務(wù)層和管理層之分；通信網(wǎng)絡(luò)協(xié)議是多層的，層內(nèi)和層間都有連接；也就是說(shuō)，網(wǎng)絡(luò)嵌套著網(wǎng)絡(luò)，或網(wǎng)絡(luò)中包含著網(wǎng)絡(luò)，包括可由不同社區(qū)網(wǎng)絡(luò)所組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)本身可以是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，其節(jié)點(diǎn)具有不同質(zhì)性、連邊具有不同屬性、網(wǎng)絡(luò)是相互嵌套和集成，存在多個(gè)網(wǎng)絡(luò)的交集。如圖1所示，互聯(lián)網(wǎng)就是典型的NON系統(tǒng)，它以電網(wǎng)為支撐，而電網(wǎng)又通過(guò)電信網(wǎng)得到指令。電網(wǎng)、電信、銀行全部登陸互聯(lián)網(wǎng)，并在網(wǎng)上互通信息，多種網(wǎng)絡(luò)相互交叉、相互依存和相互影響?？梢哉f(shuō)，各種網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)、形形色色的多層網(wǎng)絡(luò)無(wú)處不在。

2)一般說(shuō)，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)是開(kāi)放的復(fù)雜系統(tǒng)，網(wǎng)絡(luò)內(nèi)外之間可能存在物質(zhì)、能量與信息等多種相互交換，屬于非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)系綜，雖然目前傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)科學(xué)多限于平衡態(tài)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的研究，但是實(shí)際上處理NON問(wèn)題迫切需要發(fā)展和應(yīng)用非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)理論與方法。

3)相互依存的子網(wǎng)絡(luò)之間和節(jié)點(diǎn)之間連邊都可能存在復(fù)雜的相互作用方式，特別是非線(xiàn)性作用，存在多重網(wǎng)絡(luò)之間的錯(cuò)綜復(fù)雜的交互作用和相互影響，使得具有多樣性和復(fù)雜性。

4)總體上，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、功能和動(dòng)力學(xué)的時(shí)空演化特性，與傳統(tǒng)的單一網(wǎng)絡(luò)比較，網(wǎng)絡(luò)更可能涌現(xiàn)豐富多彩的自組織行為特性。

5)NON可能表現(xiàn)具有多層次的金字塔結(jié)構(gòu)形式：如，生命復(fù)雜性金字塔:金字塔最底部是第1層次，代表生命系統(tǒng)的細(xì)胞功能的傳統(tǒng)組織網(wǎng)絡(luò)：基因、轉(zhuǎn)錄組、蛋白質(zhì)和新陳代謝這些網(wǎng)絡(luò)，在規(guī)則性和結(jié)構(gòu)層次兩方面都存在各種層面的非凡集成；從底層向上的第2層次里這些組分形成調(diào)控基因識(shí)別和新陳代謝網(wǎng)絡(luò),接著向上第3層次依次是功能模塊的建筑社區(qū)，第4層次是那些社區(qū)被嵌套而產(chǎn)生一個(gè)無(wú)標(biāo)度的大標(biāo)度組織的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),研究發(fā)現(xiàn)：從細(xì)胞功能網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)與自然界和社會(huì)的網(wǎng)絡(luò)有著驚人的相似性,能夠完成從信息存儲(chǔ)、處理到執(zhí)行的全工程。因此，生命系統(tǒng)復(fù)雜性金字塔深刻地揭示了：人類(lèi)身體內(nèi)從細(xì)胞功能網(wǎng)絡(luò)到萬(wàn)維網(wǎng)(WWW)都存在著一個(gè)普遍的自組織原則，那就是說(shuō)，從分子層次的微觀網(wǎng)絡(luò)到大自然與人類(lèi)社會(huì)的宏觀網(wǎng)絡(luò)世界，它們的組織原則都具有相似性，節(jié)點(diǎn)度分布是冪函數(shù)P=aK-b形式，b為冪指數(shù),稱(chēng)為無(wú)標(biāo)度特性。上下層次都有內(nèi)在關(guān)聯(lián)和影響。金字塔從下向上是簡(jiǎn)單性和普適性增加了，而從上向下復(fù)雜性和多樣性增強(qiáng)了。

6)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)具有多維性、多屬性、多目標(biāo)控制和其他特殊性

要求等。例如,網(wǎng)絡(luò)流量可以是多維的，費(fèi)用(代價(jià))是流量的函數(shù)；對(duì)于物流網(wǎng)絡(luò)、能量網(wǎng)絡(luò)、供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)等存在多種流量；可以用多參數(shù)來(lái)刻畫(huà)。

2.3“網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)”——基于多層網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)定義

S.Boccaletti，G.Bianconi和R.Criado等12人在國(guó)際著名的《物理報(bào)告》中發(fā)表“多層網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)與動(dòng)力學(xué)”綜述[12]，從多層網(wǎng)絡(luò)角度[13]，結(jié)合 “網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)(NON)” 的主要特點(diǎn)，他們首次給出數(shù)學(xué)上的正式基本數(shù)學(xué)定義：

一組多層網(wǎng)絡(luò)是一對(duì)M=(g,C)圖，其中g(shù)={Gα;α∈{1，…，M}}是一族(有向或無(wú)向，有權(quán)或無(wú)權(quán))圖Gα=(Xα，Eα)(稱(chēng)為M層)，和C={Eαβ?Xα×Xβ；α，β∈{1，…，M}，α≠β}是不同層Gα和Gβ網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)之間相互鏈接的集合。

M的投影網(wǎng)絡(luò)是proj(M)=(XM,EM)，這里

這個(gè)數(shù)學(xué)定義很適合描述社會(huì)系統(tǒng)以及其他復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的多層次網(wǎng)絡(luò)及其許多現(xiàn)象。例如，應(yīng)用這個(gè)定義，可以同時(shí)考慮在不同社群之間的相互鏈接、不同層之間的關(guān)聯(lián)性質(zhì)以及每個(gè)層次的特殊性與整體網(wǎng)絡(luò)的關(guān)系。

對(duì)于一個(gè)多層網(wǎng)絡(luò)，其中X1=X2=…=XM=X，對(duì)于α,β∈{1，…M}，α≠β，Eαβ={(x，x)；x∈X}。即換句話(huà)說(shuō)，多層網(wǎng)絡(luò)是由不同類(lèi)型的鏈接它們所對(duì)應(yīng)的固定節(jié)點(diǎn)的集合組成的。多層網(wǎng)絡(luò)的范例就是社會(huì)系統(tǒng)，因?yàn)檫@些系統(tǒng)能夠看成是復(fù)雜社會(huì)網(wǎng)絡(luò)的疊加，其節(jié)點(diǎn)表示代表個(gè)人和鏈接抓住了不同的社會(huì)關(guān)系。

多層網(wǎng)絡(luò)M能夠與為它提供有價(jià)值信息的幾個(gè)單一網(wǎng)絡(luò)相關(guān)。一個(gè)特殊的例子是投影網(wǎng)絡(luò)proj(M)=(XM,EM)，它的鄰階矩陣元為

A=A1IN…ININA2…IN????ININ…AM?è?????????÷÷÷÷÷÷÷∈RNM×NM

這里IN是N-維單位矩陣。

3多層網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)定義的幾種推廣

上述定義基本上統(tǒng)一了迄今文獻(xiàn)上的不同提法，因此，它可以推廣研究相關(guān)NON的不同類(lèi)型。

3.1多層網(wǎng)絡(luò)

如前所述，一個(gè)多層網(wǎng)絡(luò)M，具有M層，是層{Gα；α∈{1，…，M}}的集合，這里每層是一個(gè)圖(有向或無(wú)向圖，加權(quán)或無(wú)權(quán)圖)，Gα=(Xα，Eα)，Xα={x1,…,xN}。所有層都有相同的節(jié)點(diǎn)，這可以被認(rèn)為是對(duì)于每個(gè)1≤α≠β≤M，取Eαβ={x，x}；x∈X的一個(gè)多層網(wǎng)絡(luò)。

對(duì)于多層次網(wǎng)絡(luò)?？梢孕问蕉x如下：令G=(X，E)是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，多水平網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)三重圖M=(X，E，&)，這里&={S1，…，Sp}是一個(gè)超圖Sj=(Xj，Ej)的族，G的j=1,…p，使得：

G網(wǎng)絡(luò)是M網(wǎng)絡(luò)的投影網(wǎng)絡(luò)。每個(gè)子圖Sj∈&i稱(chēng)為M的一份。很顯然每個(gè)多水平網(wǎng)絡(luò)M=(X，E，&)能夠理解為具有層次(S1，…，Sp)和交叉層Eαβ={X，X}的多層網(wǎng)絡(luò)，對(duì)于每個(gè)1≤α≠β≤p，X∈Xα∩Xβ。直截了當(dāng)檢查：每個(gè)分層網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)多水平網(wǎng)絡(luò)，對(duì)于所有1≤α，β≤p僅僅如果Xα=Xβ，那么多水平網(wǎng)絡(luò)M=(X，E，&)就是一個(gè)多分層網(wǎng)絡(luò)。

3.2時(shí)效網(wǎng)絡(luò)

一個(gè)時(shí)效網(wǎng)絡(luò)能夠表示為{G1,…,GT}層集合的一個(gè)多層網(wǎng)絡(luò)，這里Gt=G(t)，Eαβ=? ifβ≠α+1,而

Eα，α+1={(x，x)；x∈Xα∩Xα+1}

如圖2所示，注意：這里存在一個(gè)整數(shù)而不是連續(xù)參數(shù)。

3.3相互作用或相互鏈接的網(wǎng)絡(luò)

如果考慮一族網(wǎng)絡(luò)相互作用的網(wǎng)絡(luò){G1,…,GL}，它們可以模型化為{G1,…,GL}多層網(wǎng)絡(luò)，以及那些交叉層Eαβ相應(yīng)于Gα和Gβ，圖3為一個(gè)相互作用的網(wǎng)絡(luò)直接轉(zhuǎn)換成一個(gè)多層網(wǎng)絡(luò)的示意圖，在左邊上每個(gè)網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)于右邊上一個(gè)不同的層。

圖2　時(shí)效網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換成多層次網(wǎng)絡(luò)示意圖

圖3　一個(gè)相互作用的網(wǎng)絡(luò)直接轉(zhuǎn)換成一個(gè)多層網(wǎng)絡(luò)的示意圖

3.4多維網(wǎng)絡(luò)

形式上，標(biāo)有一個(gè)邊的多圖(多維網(wǎng)絡(luò))是一個(gè)三重圖G=(V，E，D)，這里V為節(jié)點(diǎn)的集合，D為標(biāo)號(hào)集表示維數(shù)，E為標(biāo)記邊的集合，即它是一個(gè)三重集合E={(u，v，d)；u，v∈V，d∈D}。假設(shè)一對(duì)節(jié)點(diǎn)u，v∈V，可能存在唯一一個(gè)邊(u，v，d)。而且如果所考慮的模型是有向圖，邊(u,v,d)和(v,u,d)是不同的。這樣，給定|D|=m,G中的每對(duì)節(jié)點(diǎn)都能夠被大多數(shù)m條邊所鏈接。如果需要，可以考慮加權(quán)，則這樣的邊不再是三重的。但是變成4級(jí)(u,v,d,ω)，這里ω表示節(jié)點(diǎn)u,v∈V和標(biāo)號(hào)d∈D之間的關(guān)系權(quán)的實(shí)數(shù)。一個(gè)多維網(wǎng)絡(luò)可以通過(guò)把每個(gè)標(biāo)號(hào)映射為一個(gè)層，從而模型化為一個(gè)多重網(wǎng)絡(luò)，因此，也就是一個(gè)多層網(wǎng)絡(luò)。特別是，G能夠與層為{G1，…，G|D|}的多層網(wǎng)絡(luò)相關(guān)起來(lái)。這里對(duì)于每個(gè)α∈D，Gα=(Xα，Eα)，Xα=V，有

Eα={(u,v)∈V×V；(u,v,d)∈Eandd=α}

而對(duì)于每個(gè)1≤α≠β≤|D|，則有Eαβ={(X，X)；X∈V}

3.5相互依存(或分層)網(wǎng)絡(luò)

一個(gè)相互依存(或即多層次)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)不同網(wǎng)絡(luò)的集合，它們的節(jié)點(diǎn)是相互依存的。實(shí)際上，節(jié)點(diǎn)從網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)層依賴(lài)于一個(gè)不同層的控制節(jié)點(diǎn)。在這種類(lèi)型的表示中依賴(lài)性是鏈接不同層的附加的邊。在網(wǎng)絡(luò)層之間，這種結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)成為中尺度結(jié)構(gòu)。類(lèi)似于過(guò)去多維網(wǎng)絡(luò)的情形，可以通過(guò)識(shí)別具有一層的每個(gè)網(wǎng)絡(luò)，能夠把一個(gè)相互依存(或?qū)訝?網(wǎng)絡(luò)考慮為一個(gè)多層網(wǎng)絡(luò)。

相互依存的網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)也已取得一定進(jìn)展，例如：具有固定的超網(wǎng)絡(luò)和只允許復(fù)制的節(jié)點(diǎn)依賴(lài)連接的NON；具有給定的超網(wǎng)絡(luò)層次的NON；具有固定的超網(wǎng)絡(luò)和節(jié)點(diǎn)標(biāo)記按隨機(jī)排列的NON，等。

4超網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換成多層次網(wǎng)絡(luò)及其典型模型實(shí)例

迄今超網(wǎng)絡(luò)或超圖雖然有一些不同定義，根據(jù)上述方法，都可以把超圖轉(zhuǎn)換成多層次網(wǎng)絡(luò)，這節(jié)以3個(gè)典型超網(wǎng)絡(luò)模型為例說(shuō)明。

4.1超圖轉(zhuǎn)換為超網(wǎng)絡(luò)的依據(jù)

圖4　一個(gè)超圖轉(zhuǎn)換成一個(gè)多層網(wǎng)絡(luò)的示意圖

考慮一個(gè)超圖是一對(duì)H=(X，H)，這里X是節(jié)點(diǎn)的非空集，以及H={H1，…，HP}是X的非空子集，它們中的每一個(gè)稱(chēng)為H的一個(gè)超鏈接?，F(xiàn)在，如果G=(X，E)是一個(gè)圖，則一個(gè)超結(jié)構(gòu)S=(X，E，H)由頂點(diǎn)集X，邊集E、超邊集H形成的一個(gè)三重圖。如果H=(X，H)是超網(wǎng)絡(luò)或超圖，則可以模型化為一個(gè)多層網(wǎng)絡(luò)，使得對(duì)于每個(gè)超鏈接h=(x1,…,xk)∈H，我們定義一層Gh，它是節(jié)點(diǎn)x1，…，xk的一個(gè)完全圖，以及交叉層是Eαβ={(x,x);x∈Xα∩Xβ}，圖4為一個(gè)超圖轉(zhuǎn)換成一個(gè)多層網(wǎng)絡(luò)的示意圖，在左邊上的節(jié)點(diǎn)集定義了3個(gè)超鏈接(H1,H2,H3)，其中被映射到它的節(jié)點(diǎn)的一個(gè)完全圖組成的每一層。

本文以國(guó)內(nèi)提出的3個(gè)有代表性的超網(wǎng)絡(luò)模型轉(zhuǎn)換成多層次網(wǎng)絡(luò)為實(shí)例，作為上述方法的說(shuō)明。

圖5　超網(wǎng)絡(luò)模型-1(m0=3)演化過(guò)程示意圖

圖6　把圖5轉(zhuǎn)換成多層次網(wǎng)絡(luò)的示意圖。

4.2超網(wǎng)絡(luò)模型-1轉(zhuǎn)換為多層網(wǎng)絡(luò)

王建偉等[14]首先構(gòu)建了一條邊一個(gè)老節(jié)點(diǎn)的超網(wǎng)絡(luò)模型， 這個(gè)超網(wǎng)絡(luò)模型-1(m0=3)演化過(guò)程示意圖如圖5所示。

選取鏈接節(jié)點(diǎn)i的概率滿(mǎn)足：

上述模型我們把它轉(zhuǎn)換成一個(gè)多層超網(wǎng)絡(luò)，請(qǐng)看圖6。

4.3超網(wǎng)絡(luò)模型-2轉(zhuǎn)換為多層網(wǎng)絡(luò)

胡楓等[15]接著構(gòu)建了一條邊二個(gè)老節(jié)點(diǎn)的超網(wǎng)絡(luò)模型，這個(gè)超網(wǎng)絡(luò)模型-2(m0=3)演化過(guò)程示意圖如圖7所示。他們同樣得到超網(wǎng)絡(luò)的超度服從冪率分布。

同樣，可以把模型-2轉(zhuǎn)換成圖8所示的多層次超網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

4.4超網(wǎng)絡(luò)模型-3轉(zhuǎn)換為多層網(wǎng)絡(luò)

郭進(jìn)利等[16]人把上述兩模型統(tǒng)一起來(lái)。

圖9給出超網(wǎng)絡(luò)模型-3演化過(guò)程示意圖。(m0=4，m1=3,m=m2=2)和我們應(yīng)用上述方法把模型-3轉(zhuǎn)換成多層次超網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖10為相應(yīng)于圖9的多層次網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

他們利用Poisson過(guò)程理論證明了可以得到“富者愈富”現(xiàn)象。得到了超度分布為冪率分布。

超網(wǎng)絡(luò)演化模型-3的穩(wěn)態(tài)平均超度分布為

圖7　超網(wǎng)絡(luò)模型-2(m0=3)演化過(guò)程示意圖

圖8　模型-2轉(zhuǎn)換成多層次超網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

圖9　超網(wǎng)絡(luò)模型-3演化過(guò)程示意圖

當(dāng)λ=1，m=m2=1時(shí)，模型-3退化為模型-1的結(jié)果。當(dāng)然λ=1，m=m1=1時(shí)，模型-3退化為模型-2的結(jié)果。當(dāng)λ=1，m1=m2=1時(shí)，模型-3退化為BA模型的結(jié)果，即

從上可見(jiàn)：基于超圖的超網(wǎng)絡(luò)模型3把前面兩個(gè)超網(wǎng)絡(luò)模型1和2比較好地統(tǒng)一起來(lái)，能夠描述基于超圖的超網(wǎng)絡(luò)演化特性，當(dāng)新增加節(jié)點(diǎn)批量充分大時(shí)網(wǎng)絡(luò)趨于均勻化。雖然它不是BA模型的簡(jiǎn)單推廣，但是它卻把BA模型作為特例包括在內(nèi)。

需要指出：NON或超網(wǎng)絡(luò)的主要進(jìn)展除了提出超網(wǎng)絡(luò)增長(zhǎng)模型及其獲得拓?fù)涮匦酝?，多層超網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計(jì)系綜的研究也有所進(jìn)展，包括涉及有固定的超網(wǎng)絡(luò)和只允許復(fù)制節(jié)點(diǎn)之間連接的情形、具有給定超度分布的情形、具有固定的超網(wǎng)絡(luò)和節(jié)點(diǎn)標(biāo)記按隨機(jī)排列的情形、具有多個(gè)互聯(lián)的超網(wǎng)絡(luò)-NON等。另外，多層耦合網(wǎng)絡(luò)上傳播動(dòng)力學(xué)的研究近年來(lái)取得了可喜進(jìn)展，諸如，發(fā)現(xiàn)相對(duì)于單一網(wǎng)絡(luò)上生物或者社會(huì)傳播在多層耦合網(wǎng)絡(luò)上這些傳播過(guò)程更易爆發(fā)；同時(shí)還存在各種有趣的相變現(xiàn)象；而對(duì)于多層耦合網(wǎng)絡(luò)上的生物-社會(huì)耦合傳播，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)越不相似時(shí)，越難控制疾病，等等。

總之，隨著國(guó)內(nèi)外“網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)”或多層次超網(wǎng)絡(luò)的研究不斷深入，已發(fā)現(xiàn)一些其他類(lèi)型超網(wǎng)絡(luò)的有意義進(jìn)展，限于篇幅在此從略，請(qǐng)?jiān)斂次墨I(xiàn)[12，16-24]及其中大量引文。

5復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的十大挑戰(zhàn)性問(wèn)題

大自然界和人類(lèi)社會(huì)表現(xiàn)出多種多樣復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。迄今如何從一般單一網(wǎng)絡(luò)的傳統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)科學(xué)理論框架轉(zhuǎn)向描述“網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)”或超網(wǎng)絡(luò)的理論體系，目前還缺乏共認(rèn)，如何深刻理解、主自設(shè)計(jì)、自由駕馭或控制網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)，許多課題、理論方法或總體框架，都面臨著前所未有的挑戰(zhàn)。

在2014年長(zhǎng)沙召開(kāi)的“2014第10屆全國(guó)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)學(xué)術(shù)會(huì)議”上，經(jīng)過(guò)征集與會(huì)者和專(zhuān)家的建議，經(jīng)網(wǎng)上投票評(píng)選出今后“復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)科學(xué)十大問(wèn)題”[17-22]：“網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)”(NON)研究，人類(lèi)行為特性對(duì)傳播動(dòng)力學(xué)的影響，基本與真實(shí)數(shù)據(jù)的傳播問(wèn)題，多層次動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)理論分析及時(shí)空演化問(wèn)題，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)魯棒性產(chǎn)生機(jī)制及網(wǎng)絡(luò)安全應(yīng)用，精確描述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涮卣鞯睦碚搯?wèn)題，非線(xiàn)性時(shí)間序列與網(wǎng)絡(luò)圖的相互表征及刻畫(huà)，NON的可控性、能觀性及其控制新的理論方法，網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)變化問(wèn)題，多層交互網(wǎng)絡(luò)中的傳播與控制問(wèn)題。主要的挑戰(zhàn)性大部分與NON-超網(wǎng)絡(luò)的研究密切相關(guān)。這里歸納幾點(diǎn)予以說(shuō)明。

1)對(duì)NON物理數(shù)學(xué)理論的復(fù)雜性描述，需要高瞻遠(yuǎn)矚地研究NON復(fù)雜系統(tǒng)統(tǒng)一的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淅碚撔驴蚣芎托路椒?，NON理論涉及實(shí)際網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的高維屬性(諸多特點(diǎn))和錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，需要?jiǎng)?chuàng)新高維空間的子空間流形拓?fù)淅碚摵痛鷶?shù)幾何拓?fù)鋵W(xué)理論，并超越傳統(tǒng)圖論的方法去描述子空間多元關(guān)系。超圖正在發(fā)展張量方法可能對(duì)于復(fù)雜的鄰階矩陣的譜特性探索提供新 的思路。

2)對(duì)當(dāng)今NON網(wǎng)絡(luò)規(guī)模涉及大數(shù)據(jù)范疇，上千萬(wàn)億級(jí)或高高的海量科學(xué)計(jì)算，需要研究大規(guī)模稀疏網(wǎng)絡(luò)(矩陣)結(jié)構(gòu)的科學(xué)計(jì)算理論和算法，面對(duì)大規(guī)模稀疏網(wǎng)絡(luò)求解問(wèn)題，迫切需要在計(jì)算和統(tǒng)計(jì)分析以及優(yōu)化數(shù)學(xué)方法上創(chuàng)新，并利用高性能超級(jí)計(jì)算機(jī)進(jìn)行高效并行計(jì)算機(jī)。

圖10　模型-3轉(zhuǎn)換成多層次網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

3)對(duì)網(wǎng)絡(luò)時(shí)間-空間的動(dòng)態(tài)演化復(fù)雜性的挑戰(zhàn)，需要研究大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的時(shí)空動(dòng)力學(xué)行為，并涉及微觀、中觀和宏觀等多層次的不同類(lèi)型的大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)力學(xué)行為研究，這勢(shì)必涉及高維偏微分方程組的分析和求解難題，因此要求數(shù)理學(xué)理論方法更大的創(chuàng)新和發(fā)現(xiàn)。

4)對(duì)NON不同層次網(wǎng)絡(luò)混雜或交叉問(wèn)題，迫切需要研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)融合的物理和數(shù)學(xué)機(jī)理，例如互聯(lián)網(wǎng)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、社會(huì)網(wǎng)絡(luò)、物聯(lián)網(wǎng)絡(luò)等各種網(wǎng)絡(luò)彼此交叉、滲透，并體現(xiàn)了信息域、社會(huì)域和物理域等多域交鏈和相互作用的結(jié)果，不僅催生大量新型的網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用，而且對(duì)網(wǎng)絡(luò)融合機(jī)理和理論方法提出前所未有的挑戰(zhàn)。

顯然，NON相關(guān)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)最具挑戰(zhàn)性，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)越錯(cuò)綜復(fù)雜，對(duì)物理數(shù)學(xué)理論工具的需求就越迫切。

感謝李永和劉強(qiáng)等多年來(lái)的真誠(chéng)合作。

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(責(zé)任編輯耿金花)

From a Single Network to “Network of Networks” Development Process: Some Discussions on the Exploration of Multilayer Supernetwork Models and Challenges

FANG Jinqing

(Department of Nuclear Technology Application,China institute of atomic energy, Beijing 102413,China)

Abstract:In this paper, a brief review of the theoretical framework of a single network picture is given; Overview of the current concern of the "network of networks" or super network, the related definitions and concepts, introduction to several theory model of multilayer super network research, finally puts forward ten challenging tasks to network science.

Key words：single networks; network of networks; multiplayer networks; ten big challenge

文章編號(hào)：16723813(2016)01004008;

DOI:10.13306/j.1672-3813.2016.01.002

收稿日期：2015-07-31

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(61174151)

作者簡(jiǎn)介：方錦清(1939-)，男，福建莆田人，研究員，主要研究方向?yàn)榉蔷€(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)科學(xué)與應(yīng)用。

中圖分類(lèi)號(hào)：N94

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A