一種基于Lü系統(tǒng)的混沌信號幅度控制方法

沈怡然

(杭州電子科技大學(xué)電子信息學(xué)院，浙江 杭州 310018)

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一種基于Lü系統(tǒng)的混沌信號幅度控制方法

沈怡然

(杭州電子科技大學(xué)電子信息學(xué)院，浙江 杭州 310018)

摘要：基于Lü系統(tǒng)提出了一種保持恒定Lyapunov指數(shù)的混沌信號幅度控制方法.分析了3種不同情況下的幅度控制，通過檢查受控Lü系統(tǒng)的動力學(xué)特性，證明了引入的控制函數(shù)可以控制信號幅度，同時不改變系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜.該幅度控制方法既實(shí)現(xiàn)了信號幅度可控，又不改變系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)，可應(yīng)用于含有二次方項(xiàng)的混沌系統(tǒng)方程組.

關(guān)鍵詞：混沌；Lü系統(tǒng)；Lyapunov指數(shù)

0引言

當(dāng)前，對混沌信號幅度控制方法的研究主要應(yīng)用于保密通信中混沌系統(tǒng)的同步.文獻(xiàn)[1]提出了通過分析Lyapunov指數(shù)研究混沌系統(tǒng)同步的方法，文獻(xiàn)[2-5]分別研究了Lü系統(tǒng)的同步問題.在研究系統(tǒng)的同步過程中，如果能夠通過控制混沌信號幅度的方法實(shí)現(xiàn)同步，將大大簡化系統(tǒng)的硬件.其中，文獻(xiàn)[6]給出了一種幅度控制方法以實(shí)現(xiàn)混沌同步，該方法在系統(tǒng)方程中引入反饋系數(shù)和反饋函數(shù)，從而達(dá)到控制混沌信號的幅度的目的.文獻(xiàn)[7-13]在研究混沌同步問題的同時，提出了恒定Lyapunov指數(shù)譜下若干混沌系統(tǒng)的幅度控制方法，這些混沌系統(tǒng)一般具有絕對值項(xiàng).2013年，文獻(xiàn)[14]又專門提出了應(yīng)用于經(jīng)典Lorenz系統(tǒng)的具有恒定Lyapunov指數(shù)譜的幅度控制方法.本文針對Lü系統(tǒng)提出了一種具有恒定Lyapunov指數(shù)譜的幅度控制方法.方法通過在系統(tǒng)的二次項(xiàng)前引入控制函數(shù)來實(shí)現(xiàn)幅度控制.這種方法可應(yīng)用于混沌系統(tǒng)同步的實(shí)現(xiàn)，也可以用來產(chǎn)生幅度受控的混沌PN序列.

1幅度控制方案

混沌通信中，希望能夠用已知函數(shù)控制混沌方程組中相應(yīng)變量(信號)的幅度，在發(fā)送混沌信號時對其進(jìn)行幅度調(diào)制，而在接收信號時，也能以可控的方式(反函數(shù))進(jìn)行解調(diào).從而為實(shí)現(xiàn)混沌同步提供條件.本文分析了3種幅度控制方案，分別為：

1)在混沌方程組中，用f(m)與xy相乘，來控制x和y這2個變量的幅度，同時保持變量z不變；

2)在混沌方程組中，用f(m)分別與xz和xy相乘，來控制x，y和z這3個變量的幅度；

3)在混沌方程組中，用f(m)和g(n)的組合與相關(guān)項(xiàng)相乘來控制變量x，y，z的幅度.

1.1方案1

Lü系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：

(1)

發(fā)生混沌的典型參數(shù)值是a=36，b=20，c=3.為了實(shí)現(xiàn)幅度控制，在第3個方程的二次項(xiàng)前引入控制函數(shù)，記為f(m)，修改后的Lü系統(tǒng)變?yōu)椋?/p>

(2)

(3)

可以看出以上方程和原始的Lü系統(tǒng)方程一致.因此，f(m)控制變量x，y的同時能保持變量z不變.

接下來檢查系統(tǒng)(2)的幾個動力學(xué)特性.對于系統(tǒng)(2)，其狀態(tài)空間的體積收縮可以表示為，可以看出，當(dāng)f(m)變化時，這一值不變.令以及，得到系統(tǒng)(2)的3個平衡點(diǎn)P1=(0,0,0)=(0/β,0/β,0)，P2=(α/β,α/β,ω)，P3=(-α/β,-α/β,ω)，可以看出，控制函數(shù)以相同的方式沿x軸和y軸移動平衡點(diǎn)，同時不改變平衡點(diǎn)的z軸坐標(biāo).

式(2)的雅可比矩陣為：

(4)

式(4)的特征方程為：

λ3+(a-b+c)λ2+(ac-bc-ab+f(m)x2+az)λ+af(m)x2+af(m)xy+acz-abc=0.

(5)

實(shí)踐當(dāng)中，控制函數(shù)由電位計(jì)實(shí)現(xiàn)，不同的控制方法將導(dǎo)致不同的控制函數(shù).如果選擇最簡單的線性函數(shù)f(m)=m作為控制函數(shù)，相應(yīng)的最大x，最小x，最大y，最小y，最大z，最小z隨m的變化如圖1(a)所示.當(dāng)f(m)=m時，系統(tǒng)(2)的幅度控制圖如圖1所示.從圖1(b)中可以看出，Lyapunov指數(shù)譜在m變化時是保持恒定的.

圖1　f(m)=m(m∈[0.1,20.1])，初始條件(x0;y0;z0)=(0;1;0)時，系統(tǒng)幅度控制圖

為了便于比較，將控制函數(shù)改為f(m)=em.將m限制在[-2,2]，得到幅度控制圖如圖2所示.可以看到，盡管信號幅度改變了，Lyapunov指數(shù)仍保持不變.

圖2　f(m)=em(m∈[-2,2])，初始條件(x0;y0;z0)=(0;1;0)時，系統(tǒng)幅度控制圖

1.2方案2

考慮用1個函數(shù)控制3個變量.方法是將f(m)同時作用于2個二次方項(xiàng)：

(5)

通過這種方法，用1/f(m)控制3個變量x，y，z，同時保持Lyapunov指數(shù)恒定.

令u=x/f(m)，v=y/f(m)，w=z/f(m).可以看出在這種變化下，方程組不變，因此，控制函數(shù)通過1/f(m)控制3個變量.f(m)可以是任何函數(shù)，但是不能為零，否則變量的幅度變?yōu)闊o界.

式(5)的雅可比行列式為：

(6)

式(6)的特征方程為：

λ3+(a-b+c)λ2+(ac-bc-ab+f(m)2x2+azf(m))λ+af(m)2x2+af(m)2xy+acf(m)z-abc=0.

(7)

通過坐標(biāo)沿x軸，y軸，z軸移動，抵消了控制函數(shù).在坐標(biāo)變換u=x/f(m)，v=y/f(m)，w=z/f(m)下，特征根保持不變，因此，Lyapunov指數(shù)譜也不變.

如果選擇最簡單的線性函數(shù)f(m)=m作為控制函數(shù)，最大x，最小x，最大y，最小y，最大z，最小z隨m變化如圖3(a)所示，同時圖3(b)計(jì)算了系統(tǒng)(5)的Lyapunov指數(shù)譜.可以看到，Lyapunov指數(shù)譜保持不變.

圖3　f(m)=m，m∈[-4,6]，初始條件(x0;y0;z0)=(0;1;0)時，系統(tǒng)幅度控制圖

為了便于比較，把控制函數(shù)變?yōu)閒(m)=em.將參數(shù)m限制在[-2,2]，得到類似圖3的圖4.可以看到盡管信號幅度改變了，Lyapunov指數(shù)仍然保持不變.

圖4　f(m)=em，m∈[-2,2]，初始條件(x0;y0;z0)=(0;1;0)時，系統(tǒng)幅度控制圖

1.3方案3

方案3通過f(m)和g(n)控制變量x，y，z的幅度.

通過1個函數(shù)控制2個變量，如x和y，同時通過另外1個函數(shù)控制第3個變量z.在系統(tǒng)(1)的二次方項(xiàng)前引入2個控制函數(shù)f(m)和g(n)，得到如下方程組：

(8)

式(8)的雅可比矩陣為：

(9)

式(8)的特征方程為：

λ3+(a-b+c)λ2+[ac-bc-ab+f(m)(f(m)+g(n))x2+azf(m)]λ+af(m)(f(m)+g(n))x2+af(m)(f(m)+g(n))xy+acf(m)z-abc=0.

(10)

圖5　f(m)=1/m,g(m)=em，m∈[0.1,10.1]，初始條件(x0;y0;z0)=(0;1;0)時，系統(tǒng)幅度控制圖

2結(jié)束語

本文通過在二次項(xiàng)前引入控制函數(shù)的方法，給出了基于Lü系統(tǒng)的混沌信號幅度控制方法，詳細(xì)討論了3種不同情況下的幅度控制方法并分析了相應(yīng)系統(tǒng)的動力學(xué)特性.這種幅度控制方法的關(guān)鍵在于既實(shí)現(xiàn)信號幅度可控，又不改變系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù).廣泛應(yīng)用于混沌保密通信中.

參考文獻(xiàn)

[1]GE Z M,WU H W.Chaos synchronization and chaos anticontrol of a suspended track with moving loads[J].Journal of sound and vibration,2004,270(4):685-712.

[2]VAIDYANATHAN S,RAJAGOPAL K.Global chaos synchronization of Lü and Pan systems by adaptive nonlinear control[M]//Advances in Digital Image Processing and Information Technology.Springer Berlin Heidelberg,2011:193-202.

[3]RAJCHAKIT G,RAJCHAKIT M.Chaos Synchronization Problem of Chaotic Lü System[C]//International Conference on Software Technology and Engineering (ICSTE 2012).ASME Press,2012:279-182.

[4]AGIZA H N.Chaos synchronization of Lü dynamical system[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods & Applications,2004,58(1):11-20.

[5]DENG W H,LI C P.Chaos synchronization of the fractional Lü system[J].Physica A:Statistical Mechanics and its Applications,2005,353:61-72.

[6]唐良瑞,樊冰,亢中苗.利用混沌信號幅值實(shí)現(xiàn)混沌同步[J].物理學(xué)報(bào),2012,61(8):080508.

[7]李春彪,王德純.一種恒Lyapunov指數(shù)譜混沌吸引子及其Jerk電路實(shí)現(xiàn)[J].物理學(xué)報(bào),2009,58(2):764-770.

[8]李春彪,陳謖,朱煥強(qiáng).一個改進(jìn)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)與同步控制[J].物理學(xué)報(bào),2009,58(4):2255-2265.

[9]李春彪,單梁,王德純.改進(jìn)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的廣義投影同步研究[J].物理學(xué)報(bào),2009,58(9):6016-6025.

[10]李春彪,王翰康.推廣恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)及其演變研究[J].物理學(xué)報(bào),2009,58(11):7514-7524.

[11]李春彪,王翰康,陳謖.一個新的恒Lyapunov指數(shù)譜混沌吸引子與電路實(shí)現(xiàn)[J].物理學(xué)報(bào),2010,59(2):783-791.

[12]李春彪,胡文.改進(jìn)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的同步方法與特性研究[J].物理學(xué)報(bào),2010,59(2):801-815.

[13]李春彪,徐克生,胡文.Sprott系統(tǒng)的恒Lyapunov指數(shù)譜混沌鎖定及其反同步[J].物理學(xué)報(bào),2011,60(12):120504.

[14]LI C B,SPRTTT J C.Amplitude control approach for chaotic signals[J].Nonlinear Dyn.,2013,73(3):1335-1341.

A Chaotic Signal Amplitude Control Method Applied to Lü System

SHEN Yiran

(SchoolofElectronicInformation,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

Abstract：In this paper, a method of amplitude control over chaotic signals is applied to Lü system. Three different scenarios are fully discussed and analyzed. By examining the dynamical properties of the modified Lü systems in detail, we prove that wherever control functions are introduced, the amplitude of the chaotic signals can be controlled without changing the Lyapunov exponent spectrum chaotic system equations containing square terms can be applied to this method.

Key words：chaos; Lü system; Lyapunov exponent

DOI：10.13954/j.cnki.hdu.2016.02.003

收稿日期：2015-06-25

作者簡介：沈怡然(1979-)，男，浙江杭州人，助理實(shí)驗(yàn)師，非線性電路與智能信息處理.

中圖分類號：O415.5

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1001-9146(2016)02-0013-05