基于跨組生長與生態(tài)平衡種群模型的最優(yōu)收獲

郭冬雪，何澤榮，李晨晨

(杭州電子科技大學(xué)運籌學(xué)與控制論研究所，浙江 杭州 310018)

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基于跨組生長與生態(tài)平衡種群模型的最優(yōu)收獲

郭冬雪，何澤榮，李晨晨

(杭州電子科技大學(xué)運籌學(xué)與控制論研究所，浙江 杭州 310018)

摘要：考慮一類跨組生長的離散尺度結(jié)構(gòu)種群模型，個體按照尺度由小到大被分為3個小組，既考慮跨組生長也顧及生長遲緩情形.在生態(tài)平衡約束下研究最優(yōu)收獲問題，應(yīng)用凸集上的函數(shù)極值理論導(dǎo)出了兩階段模式的最優(yōu)收獲策略，具體收獲比例由模型參數(shù)確定.研究結(jié)論表明，資源管理領(lǐng)域的“雙窗原理”在一定條件下對非正常演化的尺度結(jié)構(gòu)種群仍然成立.

關(guān)鍵詞：尺度結(jié)構(gòu)；跨組生長；離散種群模型；最優(yōu)收獲策略

0引言

對許多種群而言，用差分離散模型描述其演化是很方便的[1-2]，近半個世紀以來，離散年齡結(jié)構(gòu)生態(tài)模型的研究取得了顯著成就，比如，文獻[3]針對一類Leslie矩陣模型，討論生態(tài)平衡制約下各年齡組個體的最優(yōu)收獲問題，獲得了兩階段策略；而文獻[4]則研究McKendrick種群模型的收獲問題，結(jié)果顯示，最優(yōu)策略是至多收獲3個不同的年齡段.尺度結(jié)構(gòu)模型比年齡結(jié)構(gòu)更加接近實際.文獻[5]探究了具有跨組生長現(xiàn)象的尺度結(jié)構(gòu)種群的演化行為，文獻[6]研究了投放環(huán)境下的種群演化，文獻[7]研究了一類離散尺度結(jié)構(gòu)模型的最優(yōu)收獲問題.本文進一步考慮個體跨組生長行為，探討一類離散尺度模型的最優(yōu)控制問題.

1種群模型

考慮如下具有3個尺度小組的種群模型：

N(t+1)=AN(t),t=0,1,2,…,

(1)

再令yi(0≤yi≤1,i=1,2,3且y1≠1)表示對第i組個體的收獲比率，用收獲矩陣Y表示如下：

(2)

為了資源的可持續(xù)利用，人類對種群收獲后依然要保持生態(tài)平衡，則種群要滿足條件：

(E-Y)AN=N,

(3)

(4)

2最優(yōu)收獲策略

令1-yi=λi,i=1,2,3，則方程(E-Y)AN=N即為：

(5)

由式(5)知：

(6)

將式(6)代入式(5)中的第1個式子，得：

(7)

(8)

記(A-E)v=b，即b1=(s1-1)v1+l1v2+mv3,b2=f2v1+(s2-1)v2+l2v3,b3=f3v1+(s3-1)v3.

由式(6)和式(8)得：

(9)

記

(10)

得出：

(11)

由于向量a,b是已知的，因此要求V的最大值只需確定η.記

ζ1=s1,ζ2=f2,ζ3=f3,ζ=(ζ1,ζ2,ζ3)T.

(12)

綜上所述，最優(yōu)收獲問題的容許變量集合為：

(13)

文獻[7]證明了如下結(jié)果：首先對n個尺度小組種群定義，Di=ζ1+ζ2+…+ζi=s1+f2+…+fi,Bi=a1+a2+…ai,i=1,2,…,n.

引理如果Dn>1,li-1+si=1,i=2,…,n,且滿足以下條件中任一條件：

1)Bi≥0,i=1,2,…r-1;Bi>0,i=r,r+1,…n.

則種群的最優(yōu)收獲策略存在，最優(yōu)收獲策略為：

應(yīng)用以上引理可得如下最優(yōu)收獲策略：

3結(jié)束語

本文采用的模型有兩個主要特點：一是跨組生長，二是保持平衡.種群個體分為3個小組，研究結(jié)果表明，兩階段策略仍為最優(yōu)，第一組個體不予收獲.這既有理論依據(jù)，也與實踐經(jīng)驗吻合，故幼體應(yīng)該保留.另一方面，分組數(shù)目多于3時，相應(yīng)的跨組生長模型收獲問題無法運用本文的思路，需要進一步探索其它途徑.關(guān)于模型的實際應(yīng)用，由于經(jīng)過對個體的收獲以后，單位時間內(nèi)種群數(shù)量應(yīng)該復(fù)原，因此時間單位的選擇不能太短，一般以年為單位為宜.

參考文獻

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[2]陳蘭蓀,宋新宇,陸征一.數(shù)學(xué)生態(tài)模型與研究方法[M].成都：四川科學(xué)技術(shù)出版社, 2003：55-88.

[3]RORRES C, FAIR W. Optimal harvesting policy for an age-specific population[J]. Mathematical Biosciences, 1975, 24(1)：31-47.

[4]MURPHY L F, SMITH S J. Optimal harvesting of an age-structured population[J]. Journal of Mathematical Biology, 1990, 29(1)：77-90.

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[6]鄒世平,何澤榮,楊立志.具有投放和選擇性捕撈的種群模型研究[J].杭州電子科技大學(xué)學(xué)報,2014,34(5)：43-47.

[7]何澤榮,吳鵬,周娟.生態(tài)平衡制約下離散尺度結(jié)構(gòu)種群的最優(yōu)收獲[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報A輯,2015,30(2)：171-179.

Optimal Harvesting of Discrete Size-dependent Population Based on Ecological Balance and Group-crossing Growth

GUO Dongxue, HE Zerong, LI Chenchen

(InstituteofOperationalResearchandCybernetics,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

Abstract：This paper considers a class of discrete size-structured population model with group-crossing growth, and the individual is divided into three groups from small to large. Both the cross and slow growth are taken account. Also, it investigates an optimal harvesting problem under the constraint of ecological balance. By means of the extreme theory of functions on convex sets, the optimal strategy is obtained and the specific harvest ratio is determined by the model parameters. The conclusion shows that “double windows principle” in the resource management field is still established for the non-normal evolution of size-structured population under certain conditions.

Key words：size-structure; group-crossing growth; discrete population model; optimal harvesting strategy

DOI：10.13954/j.cnki.hdu.2016.02.016

收稿日期：2015-10-12

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11271104)

作者簡介：郭冬雪(1990-)，女，河南濮陽人，碩士研究生，運籌學(xué)與控制論.通信作者：何澤榮教授，E-mail：zrhe@hdu.edu.cn.

中圖分類號：O175.1

文獻標識碼：A

文章編號：1001-9146(2016)02-0077-03