10是孤獨(dú)數(shù)的初等數(shù)學(xué)方法探討

劉　念

(南陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 南陽 473000)

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10是孤獨(dú)數(shù)的初等數(shù)學(xué)方法探討

劉念

(南陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 南陽 473000)

[摘要]在數(shù)論中，許多正整數(shù)已被證明是孤獨(dú)數(shù)或者是友誼數(shù)，但還有許多正整數(shù)并未證明其是否是孤獨(dú)數(shù)，例如10，14，15，20等等，文章通過數(shù)學(xué)初等方法對(duì)正整數(shù)的分類討論，篩除，反證來探討10是一個(gè)孤獨(dú)數(shù)的條件。

[關(guān)鍵詞]素?cái)?shù)；孤獨(dú)數(shù)；因子函數(shù)；整數(shù)分解；分類討論

數(shù)學(xué)中有太多的問題和觀點(diǎn)值得我們?nèi)ヌ接懞脱芯?，有些問題是極具挑戰(zhàn)性的，例如哥德巴赫猜想，費(fèi)馬定理等等，這些問題有的用了幾個(gè)世紀(jì)的時(shí)間才把它徹底解出來，而有的至今仍是未解之謎。本文所探討的孤獨(dú)數(shù)也是諸多數(shù)學(xué)問題中的一個(gè)，下面通過初等數(shù)學(xué)方法證明數(shù)字10是一個(gè)孤獨(dú)數(shù)。

1基本概念與定理

1.1定義

1.2算術(shù)基本定理

1.3約數(shù)和定理

2初等數(shù)學(xué)方法證明10是孤獨(dú)數(shù)

3分類討論

2.當(dāng)n∈M1且n不能被3整除時(shí)，此時(shí)則有

K值2K+2的值14384106147169201022…………

(2)當(dāng)3k-1(k取正整數(shù))為奇數(shù)時(shí)，k取大于0的偶數(shù)，而當(dāng)k=2時(shí)，可以知道n=50，不符合②式；而當(dāng)k取大于2的偶數(shù)時(shí)，則有3k-1是奇合數(shù)或者素?cái)?shù)。若3k-1為素?cái)?shù)時(shí)，此時(shí)n=2×5×(3k-1)，根據(jù)①式得：

(3)當(dāng)3k+1為偶數(shù)時(shí)，此時(shí)與情況(1)相同，這里不在重復(fù)敘述。

(4)當(dāng)3k+1(k取正整數(shù))為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)k取大于0的偶數(shù)。而此時(shí)3k+1又可分為奇合數(shù)或者素?cái)?shù)。若3k+1為素?cái)?shù)時(shí)，n=2×5×(3k+1)，根據(jù)②式可得：

由①式化簡得：

2.當(dāng)n∈Q1且不能被3整除時(shí)，此時(shí)則有

K值2K+1的值25375116138179191123122514291531…………

所以根據(jù)2K+1的值將其分為兩類：一類是以5為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，即5+6(k-1)=6k-1，第二類是以7為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，即7+6(k-1)=6k+1。又因?yàn)閚能是5的倍數(shù)，令Q3={n|n=5×(6k-1)，k∈N+}，Q4={n|n=5×(6k+1)，k∈N+}。

(1)?n∈Q3時(shí)，由于n能被5整除，而不能被3整除，所以6k-1一定為奇數(shù)。若6k-1為奇素?cái)?shù)時(shí)：當(dāng)k=1時(shí)，不符合③式；當(dāng)k≥2時(shí)，此時(shí)n=5×(6k-1)，由①式可得，

(2)?n∈Q4時(shí)，6k+1一定為奇數(shù)，此時(shí)n=5×(6k-1)。若6k+1為奇素?cái)?shù)時(shí)：由①式可得，

那么若6k+1為奇合數(shù)時(shí)，如果存在一個(gè)k值使得③式成水，則說明10不是孤獨(dú)數(shù)；如果找不到這樣的k值，則說明對(duì)任意的n∈Q4都不會(huì)使③式成立。

至此，我們也將5的正奇數(shù)倍全部分類討論，我們5的正奇數(shù)倍的分類示意圖為：

下面我們將整個(gè)文章對(duì)正整數(shù)分類討論的過程做一個(gè)大致示意圖，如下：

4結(jié)論

在對(duì)正整數(shù)集進(jìn)行了分類討論，篩除之后我們可以得出一個(gè)結(jié)論，即在正整數(shù)集中，判斷10是否是一個(gè)孤獨(dú)數(shù)，那么這樣的n值只需在集合Q3和Q4中尋找。若在Q3和Q4都不存在這樣的n值滿足③式，則說明10是個(gè)孤獨(dú)數(shù)；反之若在Q3或Q4中找到這樣的n值使得n滿足③式，則說明10不是一個(gè)孤獨(dú)數(shù)。

[參考文獻(xiàn)]

[1]閔嗣鶴，嚴(yán)士健.初等數(shù)論[M].第三版.北京：高等教育出版社，2005. 14-17.

[2]陳景潤.初等數(shù)論(Ⅰ)[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2012. 24-32.

[3]杜德利. 基礎(chǔ)數(shù)論[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011. 41-44.

[責(zé)任編輯：弓心水]

[收稿日期]2015-09-05

[作者簡介]劉念，男，主要從事初等數(shù)論方面的研究。

[中圖分類號(hào)]O15

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1671-5330(2016)02-0022-05