耦合Schr?dinger方程的多朗斯基解研究

楊建文，馬　坤

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江 金華 321004)

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耦合Schr?dinger方程的多朗斯基解研究

楊建文，馬坤

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江 金華 321004)

[摘要]Wronskian技巧是數(shù)學(xué)研究中一類重要的工具之一，有著非常廣泛的應(yīng)用. 本文我們重點(diǎn)探討了三耦合的Schr?dinger方程.首先通過(guò)位勢(shì)變換將方程轉(zhuǎn)化成雙線性形式，然后在雙線性方程的基礎(chǔ)上引入新的函數(shù)，構(gòu)成行列式形式.利用Wronskian技巧，進(jìn)而求出方程4-Wronskian的解.

[關(guān)鍵詞]Wronskian技巧;Schr?dinger方程;位勢(shì)變換;雙線性方程

0引言及主要結(jié)果

孤立子理論在我們自然科學(xué)發(fā)展研究中起著非常重要的作用，像許多非線性的發(fā)展方程都具有一定的孤立子特性.特別是KdV方程在1895年被提出來(lái)以后，數(shù)學(xué)和物理學(xué)家們?cè)诤芏嘌芯款I(lǐng)域發(fā)現(xiàn)了大量的具有實(shí)際意義背景的非線性演化方程.因此如何得到方程的解，在理論研究中就顯得尤為重要了，事實(shí)上，對(duì)于一般的非線性孤子方程是很難求得其精確解的，這里有的孤子方程是無(wú)解的，也有的方程是需要借助某些特定條件方能求出的顯式表達(dá)式解.對(duì)于非線性演化方程的研究是一個(gè)很復(fù)雜的過(guò)程，一些數(shù)學(xué)和物理學(xué)家們經(jīng)過(guò)近百年的不懈研究努力，終于得到了一些行之有效的求解方法，比如Hirota雙線性方法[1-2]、B?cklund變換[3-5]、Pfaffian方法[6]、Wronskian技巧[7-9]、達(dá)布變換法[10-12]等等.本文主要介紹的是用Wronskian技巧來(lái)解決三耦合的Schr?dinger方程，首先我們從非線性Schr?dinger方程出發(fā)，

iqt+qxx+2|q|2q=0

(1)

在文獻(xiàn)[13]對(duì)二階等譜方程組的討論中，對(duì)于Schr?dinger方程，陳登遠(yuǎn)是用2-Wronskian解決的.雙耦合的Schr?dinger方程，利用Wronskian技巧，田波已經(jīng)得到了其相應(yīng)的3-Wronskian解[14].現(xiàn)在我們討論的重點(diǎn)是三耦合系統(tǒng)，也借助Wronskian技巧來(lái)完成它的求解.

1耦合Schr?dinger方程的雙線性

考慮三耦合Schr?dinger的方程，

iq1,t+q1,xx+2(|q1|+|q2|+|q3|2)q=0.

(2)

iq2,t+q2,xx+2(|q1|+|q2|+|q3|2)q=0.

(3)

iq3,t+q3,xx+2(|q1|+|q2|+|q3|2)q=0.

(4)

做變換

(5)

其中f為實(shí)函數(shù)，g，h，k為虛函數(shù)， 且表達(dá)式為

這里RN×M，SN×M，JN×M(M=N-1，N，N+1)，以及KN×M(M=N-1，N，N+1)

由文獻(xiàn)[14]中3-Wronskian的設(shè)法推知，這里可設(shè)為：

(6)

(7)

(8)

(9)

其中

φk，x=-iλkφk，ψk，x=iλkψk，

τk，x=iλkτk，χk，x=λkχk

(10)

φk，t=2iφk，xx，ψk，t=-2iψk，xx，

τk，t=-2iτk，xx，χk，t=-2iχk，xx

(11)

然而經(jīng)過(guò)(5)變換后，得到(2)，(3)，(4)的雙線性形式

(iDt+Dx2)g·f=0，

(12)

(iDt+Dx2)h·f=0，

(13)

(iDt+Dx2)k·f=0，

(14)

Dx2f·f-2(g2+h2+k2)=0

(15)

2耦合Schr?dinger方程的4-Wronskian解

下面只要驗(yàn)證方程(12)和(15)即可，(13)和(14)可用同樣的方法證得. 為此先求出方程所需的各階導(dǎo)數(shù)：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

將其分別代入到雙線性方程(12)和(15)中，并利用Plücker關(guān)系式和構(gòu)造的朗斯基行列式恒等式， 化簡(jiǎn)即可得：

(igt+gxx)f+g(fxx-ift)-2gxfx

(28)

2ffxx-2fx2-2(g2+h2+k2)

(29)

利用矩陣的拉普拉斯展開(kāi)和朗斯基行列式的性質(zhì)，可證得以上兩個(gè)方程恒等于零，因此限制性條件(10)和(11)是成立的.即三耦合的方程是存在4-Wronskian解的.

3總結(jié)與展望

本篇論文主要研究了耦合的非線性Schr?dinger方程的四朗斯基解.然而在對(duì)此方程的研究中，我們還做了一些猜想，首先由于非線性Schr?dinger方程是存在2-Wronskian形式的解，而Manakov方程也是存在3-Wronskian解的，實(shí)際上Manakov方程可以看做雙耦合的Schr?dinger方程，本篇論文也證明了三耦合的Schr?dinger方程是存在相應(yīng)的4-Wronskian形式的解的.那么我們可以歸納總結(jié)N耦合的Schr?dinger方程也應(yīng)該存在相應(yīng)形式的N+1-Wronskian解的，當(dāng)然由于行列式的階數(shù)在逐漸增加，對(duì)應(yīng)其所需要的運(yùn)算以及恒等式的構(gòu)造也會(huì)更加復(fù)雜. 另一方面這類方程是否還存在其他方面的一些應(yīng)用，這些內(nèi)容都值得我們做進(jìn)一步的探討和研究.

[參考文獻(xiàn)]

[1]Hirota R. The direct method in soliton theory [M].Cambridge University Press， Cambridge， 2004.

[2]Hirota R. Exact soliton of the KdV equation for multiple collisions of solitons [J]. Phys. Rev. Lett. 1971(27): 1192-1194.

[3]陳登遠(yuǎn).B?cklund 變換與N-孤子解[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論，2005(25): 479-488.

[4]陳登遠(yuǎn). 孤子引論[M]. 北京：科學(xué)出版社， 2006.

[5]Rogers C， Shadwick W R.B?cklund transformation and their application [M] Academic Press， New York，1982.Texts in Applied Mathematics. Cambridge University Press.

[6]Date E， Jimbo M， Kashiwar M， Miwa T. Transformation groups for soliton equations (A new hierarchy of soliton equations of KP-type)[J]. Phys. D， 1982(3): 343-365.

[7]Freeman N C， Nimmo J J C. Soliton solutions of the Korteweg-de Vries and Kadomtsev-Petmiashvili equations， the Wronskian technique [J]. Phys. Lett. A， 1983(95): 1-3.

[8]Satsuma J. A Wronskian representation of N-soliton solutions of nonlinear evolution equation [J]. Phys. Soc. Jpn， 1979(46): 359-360.

[9]W. X. Ma， generalized Wronskian and solutions to the Korteweg-de Vries equation， Chaos Solitons Fractals， 19 (2004) 163.

[10]李翊坤.孤子與可積系統(tǒng)[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?， 2006.

[11]谷超豪，胡和生，周子翔. 孤立子理論中的達(dá)布變換及其幾何應(yīng)用[M]. 上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?1999.

[12]Matveev V B，Salle M A. Darboux Transformation and Solitons[M]. Berlin: Springer-Verlag， 1991.

[13]陳登遠(yuǎn). AKNS方程的新雙 Wronskian 解[J].中國(guó)科學(xué)A輯：數(shù)學(xué)， 2007， 37 (11) 1335-1348.

[14]T. Xu， B. Tian，Bright N-soliton solutions in terms of the triple Wronskian for the coupled nonlinear Schr?dinger equations in optical fibers， J. Phys. A: Math. Theor. 43 (2010) 245205.

[責(zé)任編輯：張懷濤]

The Multiple Wronskian Solution for the Coupling Schr?Dinger Equation

YANG Jian-wen， MA Kun

(Zhejiang Normal University，Jinhua Zhejiang 321004,China)

Abstract:Wronskian technique is an important tool in mathematical research， and it has a very wide range of applications. This paper，mainly recommends the three coupling Schr?dinger equation. In the first place，It introduces potential equation transformation that can be converted into the bilinear form. Then， on the basis of the double linear equation， the Wronskian determinant can be made by introducing some new functions. The 4-Wronskian solutions are obtained by using the Wronskian technique.

Key words:Wronskian technique;Schr?dinger equation; potential equati on transformation; double linear equation

[收稿日期]2016-03-05

[作者簡(jiǎn)介]楊建文(1990-)，男，安徽安慶人，主要從事孤立子理論的研究。

[中圖分類號(hào)]O175

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1671-5330(2016)02-0012-05