一類四階非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造

原新生，呂金城，李　波

(安陽師范學院，河南 安陽 455000)

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一類四階非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造

原新生，呂金城，李波

(安陽師范學院，河南 安陽 455000)

[摘要]本文用能量度量算法構(gòu)造了一類四階非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)從而研究了它們零解的全局漸近穩(wěn)定性．

[關(guān)鍵詞]李雅普諾夫函數(shù)；能量度量算法；非線性系統(tǒng)；全局漸近穩(wěn)定性

1引言

S．Kasprzyk[1]在1972年曾致力于下列三個非線性的三階系統(tǒng)

(1.1)

(1.2)

(1.3)

f(0)=g(0)=0

(1.4)

(1.5)

g(0)=0

(1.6)

(1.7)

f(0)=0

(1.8)

Wall的能量度量算法可歸納為下面六步[9][10]：

第一步，將所描述的系統(tǒng)寫成一階聯(lián)立的微分方程組

(1.9)

其中x=(x1，x2，…，xn).

第二步，將微分方程組(1.9)寫成如下形式

(1.10)

第三步，將微分方程組(1.10)寫成

Fj(x)dxi=Fi(x)dxj，j>i

(1.11)

第四步，用適當?shù)拇鷵Q和加法，將微分方程組(1.11)化為

ω1(x)dx1+ω2(x)dx2+…+ωn(x)dxn=0

(1.12)

第五步，求出V(x1，x2，…，xn)

V(x1，x2，…，xn)=∫0x1ω1(x1，0，…，0)dx1+∫0x2ω2(x1，x2，0，…，0)dx2+∫0xnωn(x1，x2，…，xn)dxn

(1.13)

第六步，求出V(x1，x2，…，xn)的全導(dǎo)數(shù)，

(1.14)

2主要結(jié)果

考慮四階非線性系統(tǒng)

(2.1)

將其化為等價系統(tǒng)

兩兩分別相除得

(2.3)

即

ydy=zdx

(2.4)

ydz=udx

(2.5)

(dx+f(y)y+bz+au)dx=-ydu

(2.6)

zdz=udy

(2.7)

(dx+f(y)y+bz+au)dy=-zdu

(2.8)

(dx+f(y)y+bz+au)dz=-udu

(2.9)

由(2.4)×(b2-2d)+(2.5)+(2.6)×b+(2.7)×(a2-b)+(2.8)×a+(2.9)×2得

[bdx+bf(y)y+2dz+(ab-1)u]dx+[2dx+y+2f(y)y+(a2+b)z+2au]dz+[adx+(b2-2d)y+af(y)y+abz+(2a2-b)u]dy+(by+az+2u)=0

(2.10)

所以

(2.11)

(2.12)

于是，我們得到下述定理：

定理[8]如果a>0，d>0，abf(y)-f2(y)-a2d>0，則系統(tǒng)(2.2)的零解是全局漸近穩(wěn)定的.

[參考文獻]

[1]S．Kasprzyk， Stablity in the large of certain nonlinear systems of differential equations of order three， Ann．Polon． Math．，25(1972)，241-247．

[2]P．Hartman and C．Olech， On global asymptatic stability of solutions of differential equations，Trans．Amer．Math．Soc．，104(1962)，154-178．

[3]王聯(lián)，王慕秋．一類三階非線性系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)構(gòu)造之分析[J]．應(yīng)用數(shù)學學報，1983，6(3):309-325．

[4]原新生．兩個三階非線性系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造[J]．安陽師范學院學報，2000，(4):7-9．

[5]原新生．兩個三階非線性系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性[J]．安陽師范學院學報，2002，(5):4-5．

[6]李波，原新生．一類三階非線性系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性[J]．安陽師范學院學報，2004，(5):11-12．

[7]原新生，張懷濤．一類三階非線性系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造[J]．安陽師范學院學報，2011，(5):53-55．

[8]徐靜．一類四階非線性系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性[J]．安徽機電學院學報，2002，17(3):18-19．

[9]E．T．Wall， M．T．Moe， An Energy Metric Algorithm for the Generation of liapunov funtion[J]． IEEE trans． Automat Contr．(corresp)．1968，13(2)：121—122．

[10]E．T．Wall，A modification of the Energy Mertic Algorithm to Include the Routh Hurwitz Criteria[J]． IEEE trans．Automat Contr．(corresp)．1970，15(6):373-374．

[11]秦元勛，王慕秋，王聯(lián)．運動穩(wěn)定性理論與應(yīng)用[M]．北京：科學出版社，1981．

[12]王聯(lián)，王慕秋．非線性常微分方程定性分析[M]．哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，1987．

[13]葉伯英．李雅普諾夫函數(shù)能量度量算法的改進[J]．應(yīng)用數(shù)學學報，1987，10(4):457-463．

[責任編輯：張懷濤]

On the Construction of Liapunov Function of a Type of Nonlinear Fourth-Order System

YUAN Xin-sheng，LV Jin-cheng，LI Bo

(Anyang Normal University， Anyang 455000，China)

Abstract：This paper constructs the Liapunov function of a type of nonlinear fourth-order system by the energy metric algorithm to study its globally asymptotic stability．

Key words:Liapunov function； energy metric algorithm；nonlinear system； globally asymptotic stability

[收稿日期]2016-01-05

[作者簡介]原新生(1967-)，男，河南林州人，教授，主要從事微分方程穩(wěn)定性和高等數(shù)學的教學與研究.

[中圖分類號]O175.1

[文獻標識碼]A

[文章編號]1671-5330(2016)02-0004-03