T.Figiel定理及其應(yīng)用

馬玉梅

(大連民族大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連116605)

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T.Figiel定理及其應(yīng)用

馬玉梅

(大連民族大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連116605)

摘要：等距延拓問題是幾何和泛函分析領(lǐng)域的重要課題。在Mazur-Ulam定理基礎(chǔ)上，給出了T.Figiel定理的一個等價命題以及它在等距逼近問題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：等距；等距逼近；連通集

等距算子及其延拓問題的研究在幾何泛函分析領(lǐng)域占有重要位置。80多年來一直是研究的熱點問題[1-13]。 1932年Mazur-Ulam定理給出兩個賦范空間之間的滿等距映射必為仿射變換。1968年T.Figiel考慮將Mazur-Ulam定理中的“滿映射”改為“嵌入映射”給出了一個一般性的著名定理[1]：

為了證明T.Figiel定理，該作者首先給出了以下兩個引理：

本文推廣了引理1，同時也給出了一個與T.Figiel定理等價的命題。

此外，本文還考慮了非線性Lipschitzε-等距逼近問題：映射T:E→F為Lipschitzε-等距，如果對任何x,y∈E，有

對于這類ε-等距映射T是否存在等距逼近一直是許多數(shù)學(xué)家從事的課題[2-10]。

1T.Figiel引理的推廣

證明首先，定理2?T.Figiel定理顯然成立。

再令：

2T.Figiel引理的應(yīng)用

作為T.Figiel定理的一個應(yīng)用，下面考慮Lipschitzε-等距逼近問題，這里的證明方法是通過改進P.M.Gruber[11]的方法(絕對誤差的ε-等距逼近問題的證明過程中的方法)得到的。

(2)T(0)=U(0)=0，

(1)

(2)

下面證明

(3)

事實上，由于T是滿射，?y∈Y，?x∈X，使得Tx=y，從而對于?λ>0,?xλ∈X使得

(4)

根據(jù)式(1)得到

(5)

由于

(6)

于是由式(4)(5)得到

當(dāng)反過來考慮上面的命題時可以得到當(dāng)空間為有限維時的以下定理。

下面證明

(7)

(8)

此式與式(8)矛盾。這樣完成了命題的證明。

注：從這個命題可以發(fā)現(xiàn)這一結(jié)果不十分理想，沒有得到U(x)為等距映射。

下面證明存在N，使得當(dāng)r≥N時，

(9)

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(責(zé)任編輯鄒永紅)

T.Figiel′s Theorem and Its Application

MA Yu-mei

(School of Science, Dalian Minzu University, Dalian Liaoning 116605, China)

Abstract:The extension problem on isometry is an important issue in the field of geometry and functional analysis. Base on Mazur-Ulam theorem, we give an equavilent proposition of T.Figiel' s theorem and its applications on isometric approximate problems.

Key words:isometry；isomatric approximation；connected set

收稿日期：2015-06-30；最后修回日期：2106-01-05

基金項目：中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項資金資助項目(DC201502050301)。

作者簡介：馬玉梅(1962-)， 女，遼寧海城人，教授，博士，主要從事泛函分析相關(guān)問題研究。

文章編號：2096-1383(2016)03-0224-02

中圖分類號：O177.3

文獻標(biāo)志碼：A