變利率相依風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)概率的積分方程和界

呂海娟，　彭江艷，　武德安

(電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院　四川 成都 611731)

?

變利率相依風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)概率的積分方程和界

呂海娟，彭江艷，武德安

(電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院四川 成都 611731)

摘要：考慮了一個(gè)帶有隨機(jī)利率離散時(shí)間相依風(fēng)險(xiǎn)模型，其中利率過(guò)程為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，保費(fèi)過(guò)程和索賠過(guò)程都具有高階自回歸結(jié)構(gòu)．針對(duì)保費(fèi)在期初收取和索賠在期末收取的情況，利用遞歸的方法，得出此模型破產(chǎn)概率的積分方程和上界、下界．

關(guān)鍵詞：隨機(jī)利率； 高階自回歸； 破產(chǎn)概率； 遞歸方法； 界

0引言

保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)概率是度量保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)的最基本手段，風(fēng)險(xiǎn)模型的研究最開始是在連續(xù)時(shí)間的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，但離散時(shí)間在實(shí)際保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)中的應(yīng)用性更強(qiáng)，如利率并不是連續(xù)變化的，是按階段進(jìn)行變化的，索賠也不會(huì)在事故一發(fā)生就進(jìn)行．文獻(xiàn)[1]對(duì)離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了討論，之后不少學(xué)者對(duì)模型和結(jié)果進(jìn)行拓展．文獻(xiàn)[2]討論了常利率下的相依風(fēng)險(xiǎn)情況，其中保費(fèi)過(guò)程和索賠過(guò)程都僅限于一階自回歸結(jié)構(gòu)(AR(1)).文獻(xiàn)[3]研究了隨機(jī)利率下離散時(shí)間保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型，利用鞅技巧得出了最終破產(chǎn)概率的Lundberg界，其保費(fèi)過(guò)程和索賠過(guò)程都僅是兩個(gè)獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量序列.文獻(xiàn)[4]考慮了隨機(jī)利率離散風(fēng)險(xiǎn)模型，得出了破產(chǎn)概率的遞歸方程和界，但其利率過(guò)程、保費(fèi)過(guò)程和索賠過(guò)程都只是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量.文獻(xiàn)[5]考慮保費(fèi)收取和賠付為負(fù)二項(xiàng)過(guò)程、干擾為標(biāo)準(zhǔn)Wiener過(guò)程的多險(xiǎn)種隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)模型.文獻(xiàn)[6—7]研究了常利率下風(fēng)險(xiǎn)模型.文獻(xiàn)[8]研究了當(dāng)利率服從AR(m)的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型，其保費(fèi)過(guò)程和索賠過(guò)程依然是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，得出了破產(chǎn)盈余分布.文獻(xiàn)[9]討論了理賠量具有一階自回歸的情形下，利用遞歸方法得出破產(chǎn)前的盈余分布.文獻(xiàn)[10—11]研究了一類特殊的變利率離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型，得到了破產(chǎn)前一刻盈余分布的一個(gè)上界估計(jì)．

本文在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，在模型中引入更符合實(shí)際需求的隨機(jī)利率，將保費(fèi)過(guò)程和索賠過(guò)程推廣到高階自回歸結(jié)構(gòu)，引起證明過(guò)程難度化和構(gòu)建技巧的復(fù)雜化．并且，高階自回歸結(jié)構(gòu)在時(shí)間序列分析中比一階自回歸結(jié)構(gòu)更具有普遍性，即在實(shí)際生活中，索賠額不僅僅與前一個(gè)階段相關(guān)，可能與以往n個(gè)階段相關(guān)．文中針對(duì)保費(fèi)在期初收取和索賠在期末收取的情況，運(yùn)用遞歸方法得出破產(chǎn)概率的積分方程和上界、下界．

1建立模型

考慮如下模型

(1)

其中：

1)u為保險(xiǎn)公司的初始準(zhǔn)備金，u≥0，Un表示保險(xiǎn)公司到n時(shí)刻的盈余．

2)Zi表示(i-1,i]時(shí)段內(nèi)的利率，為獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量列,G(z1)=P(Z1≤z1)．

3)Xi表示(i-1,i]時(shí)段內(nèi)的保費(fèi)，服從高階自回歸AR(p)模型，即

Xn=a1Xn-1+a2Xn-2+…+apXn-p+δn，n=1,2,…,

(2)

其中：0≤ai<1;X1-i=x1-i≥0;i=1,…,p;x0,x-1,…,x1-p為保費(fèi)以前p年的數(shù)據(jù);δn為獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量序列，H(x)=P(δ1≤x)．

4)Yi表示(i-1,i]時(shí)段內(nèi)的索賠額，服從高階自回歸AR(q)模型，即

Yn=b1Yn-1+b2Yn-2+…+bqYn-q+εn，n=1,2,…,

(3)

其中：0≤bi<1；Y1-i=y1-i≥0；i=1,…,q；y0,y-1,…,y1-q為索賠額以前q年的數(shù)據(jù)；εn為獨(dú)立同分布的非負(fù)的隨機(jī)變量序列，F(xiàn)(y)=P(ε1≤y)且F(0)=0．

5) 保費(fèi)在時(shí)間區(qū)間初交納，理賠在時(shí)間區(qū)間末進(jìn)行．{Zn,n=1,2,…}，{Xn,n=1,2,…},{Yn,n=1,2,…}相互獨(dú)立．

φ(u,x0,x-1,…,x1-p,y0,y-1,…,y1-q)=P{T<}．

一般地，為保證保險(xiǎn)公司平穩(wěn)地運(yùn)營(yíng)，需假設(shè)純利潤(rùn)條件E(Xn)>E(Yn)，n=1,2,….

通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法，可以得出(2)式等價(jià)于

(4)

同理可得(3)式等價(jià)于

(5)

考慮到保險(xiǎn)公司的運(yùn)營(yíng)，上述條件成立的前提條件是

E(δ)>E(ε)，ai≥bi，x1-i≥y1-i；i=1,…,n，p∧q.

由等價(jià)性可得到如下純利潤(rùn)條件

(6)

2破產(chǎn)概率的積分方程

(7)

(8)

證明給定δ1=x,ε1=y,Z1=z1，

(9)

由全期望公式可得

3破產(chǎn)概率的界

為求破產(chǎn)概率的界，首先引入兩個(gè)重要的量，其定義如下：

其中調(diào)節(jié)系數(shù)R>0滿足

(10)

證明考慮如下函數(shù)的凸性

易知g″(s)≥0，所以g(s)是下凹函數(shù)．又因?yàn)間(0)=0,g′(0)<0，所以存在唯一的R>0滿足(10)式，引理得證．

定理2在上述定理1的條件下，破產(chǎn)概率的界滿足

(11)

證明首先推導(dǎo)破產(chǎn)概率的下界.

由定理1中的積分方程可知

下界得證．下面利用數(shù)學(xué)歸納法求破產(chǎn)概率的上界.

對(duì)于?t≥0有

ξe-Rt∫teR(1+b1)ydF(y)≤ξe-RtE(eR(1+b1)ε1)，

(12)

假設(shè)

φn(u,x0,x-1,…,x1-p,y0,y-1,…,y1-q)≤ξE(exp[R(1+b1)ε1])E(exp[-

(13)

將(13)式和(12)式代入(7)式得

φn+1(u,x0,x-1,…,x1-p,y0,y-1,…,y1-q) ≤ξE(exp[R(1+b1)ε1])E(exp[-

(14)

因此，假設(shè)對(duì)于n=1,2,…都成立．對(duì)(14)式兩邊令n→取極限，由控制收斂定理得

φ(u,x0,x-1,…,x1-p,y0,y-1,…,y1-q)≤ξE(exp[R(1+b1)ε1])E(exp[-R((u+

由ξ<1和調(diào)節(jié)系數(shù)的定義可知φ(u,x0,x-1,…,x1-p,y0,y-1,…,y1-q)≤ξexp(-Ru)≤exp(-Ru).

綜上，可得出破產(chǎn)概率的界(11)式．

參考文獻(xiàn)：

[1]BOWERS N L，GERBER H U，HICKMAN J C，et al．Actuarial mathematics [M]．Itasca Illinois：Society of Actuaries，1986．

[2]YANG H L，ZHANG L H．Martingale method for ruin probability in an autoregressive model with constant interest rate [J]．Probability in the engineering and informational sciences，2003，17：183—198．

[3]王翠蓮，劉曉．隨機(jī)利率下離散時(shí)間保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型[J]．安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007，30(1)：19—20．

[4]WEI X，HU Y J．Ruin probabilities for discrete time risk models with stochastic rates of interest[J]．Statistics and probability letter，2008，78(6)：707—715．

[5]魏靜，葛世剛，劉海生，等．帶干擾的多險(xiǎn)種復(fù)合負(fù)二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J]．鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2015，47(2)：33—36．

[6]PENG J Y，HUANG J．Ruin probability in a one-sided linear model with constant interest rate[J]．Statistics and probability letters，2010，80(718)：662—669．

[7]彭江艷．相依保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型的理論研究[D]．成都：電子科技大學(xué)，2011．

[8]于莉，詹曉琳，傅瀚洋．利率服從離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)分布[J]．經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2013， 30(4)：90—93．

[9]于莉，詹曉琳，黃水弟．理賠量具有一階自回歸結(jié)構(gòu)的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問(wèn)題[J]．上海第二工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，31(1)：61—66．

[10]余國(guó)勝．變利率離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)問(wèn)題[J]．江漢大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，42(1)：32—35．

[11]夏征，王春偉，楊萬(wàn)才.一類帶利率的馬氏風(fēng)險(xiǎn)模型[J]．河南科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011,32(6)：72—76.

(責(zé)任編輯：方惠敏)

Integral Equations and Bounds for Ruin Probability in a Dependent Risk Model with Stochastic Interest

LYU Haijuan, PENG Jiangyan, WU De’an

(SchoolofMathematicalSciences,UniversityofElectronicScienceandTechnologyof

China,Chengdu611731,China)

Abstract:A discrete time dependent risk model was considered with stochastic interest where the interest rate process formed a sequence of independent and identically distributed random variables sequences, and both the premiums process and claims process had higher order autoregressive structures.The premiums were received at the beginning of each period and the claims were derived at the end of each period,integral equation upper and lower bound for infinite time ruin probabilities were derived by using recursive method.

Key words:stochastic interest rate; higher order autoregressive; ruin probability; recursive method; bounds

收稿日期:2015-07-08

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71501025)；中國(guó)博士后科學(xué)基金第57批面上項(xiàng)目(2015M572467)．

作者簡(jiǎn)介:呂海娟(1989—)，女，河北邯鄲人，碩士研究生，主要從事概率統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用研究，E-mail:1192435961@qq.com；通訊作者：彭江艷(1976—)，女，四川成都人，副教授，博士，主要從事概率統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用研究，E-mail:jiangeeryl@163.com．

中圖分類號(hào)：O211.9

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1671-6841(2016)01-0045-06

DOI:10.3969/j.issn.1671-6841.201507014

引用本文：呂海娟，彭江艷，武德安．變利率相依風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)概率的積分方程和界[J]．鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2016，48(1)：45—50．