巴拿赫空間中斜演化半流的多項(xiàng)式漸近行為

岳　田 ，　劉開(kāi)拓, 2，　雷國(guó)梁

(1.湖北汽車工業(yè)學(xué)院 理學(xué)院　湖北 十堰 442002；2.中南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院　湖南 長(zhǎng)沙 410083)

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巴拿赫空間中斜演化半流的多項(xiàng)式漸近行為

岳田1，劉開(kāi)拓1, 2，雷國(guó)梁1

(1.湖北汽車工業(yè)學(xué)院 理學(xué)院湖北 十堰 442002；2.中南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院湖南 長(zhǎng)沙 410083)

摘要：給出了斜演化半流一致多項(xiàng)式穩(wěn)定和一致多項(xiàng)式不穩(wěn)定的一些充要條件,用所得結(jié)論推廣了已有結(jié)果.

關(guān)鍵詞：斜演化半流； 一致多項(xiàng)式穩(wěn)定性； 一致多項(xiàng)式不穩(wěn)定性； 多項(xiàng)式增長(zhǎng)

0引言

近年來(lái)，利用斜演化半流來(lái)研究無(wú)限維空間中演化方程的漸近性質(zhì)取得了長(zhǎng)足發(fā)展[1—3]．關(guān)于斜演化半流的概念首先由Stoica和Megan[4]引入，與演化算子、演化族、斜積流不同的是它依賴于三個(gè)變量，而其他僅依賴于兩個(gè)變量，因此利用斜演化半流來(lái)研究演化方程解的漸近行為更為合理，尤其是在指數(shù)穩(wěn)定性方面．如文獻(xiàn)[5]給出Banach空間中斜演化半流一致指數(shù)穩(wěn)定的性質(zhì)刻畫(huà)，并得到了相應(yīng)性質(zhì)在一致集上的統(tǒng)一形式.文獻(xiàn)[6]利用Banach函數(shù)空間及Banach序列空間分別給出了線性斜演化半流一致指數(shù)穩(wěn)定的連續(xù)與離散特征.文獻(xiàn)[7]給出了線性斜演化半流一致指數(shù)穩(wěn)定的連續(xù)及離散型Barbashin 定理.文獻(xiàn)[8]采用類似文獻(xiàn)[5]中的方法，研究了斜演化半流非一致指數(shù)穩(wěn)定的若干性質(zhì)．在指數(shù)不穩(wěn)定性方面，文獻(xiàn)[4]對(duì)斜演化半流的一致指數(shù)不穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，得到了相應(yīng)的Datko型結(jié)論[9].文獻(xiàn)[10]給出了斜演化半流的弱指數(shù)膨脹性相關(guān)性質(zhì)，并利用Lyapunov函數(shù)來(lái)刻畫(huà)了弱指數(shù)膨脹的相關(guān)特征.

由于指數(shù)漸近行為的要求比較苛刻，因此有必要尋找更為一般的關(guān)于斜演化半流的其他漸近行為.文獻(xiàn)[11—13]針對(duì)演化算子提出了多項(xiàng)式穩(wěn)定的概念，并給出了相應(yīng)特征刻畫(huà).本文將在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上給出斜演化半流呈一致多項(xiàng)式穩(wěn)定與不穩(wěn)定的定義，并討論相關(guān)性質(zhì)，從而推廣了Datko[9], Stoica及Megan[5]等人的結(jié)論.本文所用方法與文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[12]中方法不同，分別利用斜演化半流的收縮性及擴(kuò)張性來(lái)研究其一致多項(xiàng)式穩(wěn)定與不穩(wěn)定特性.

1預(yù)備知識(shí)

定義1[5—7]σ:T×Θ→Θ為Θ上的演化半流，如果滿足以下性質(zhì):

σ(t,t,θ)=θ, ?(t,θ)∈R+×Θ；

σ(t,s,σ(s,r,θ))=σ(t,r,θ), ?(t,s), (s,r)∈T, ?θ∈Θ.

定義2[5—7]如果σ為Θ上的演化半流且映射Φ:T×Φ→L(X)滿足如下條件：

Φ(t,t,θ)=I, ?(t,θ)∈R+×Θ；

Φ(t,r,θ)=Φ(t,s,σ(s,r,θ))Φ(s,r,θ), ?(t,s),(s,r)∈T, ?θ∈Θ；

Φ(·,·,θ)x連續(xù)，?(x,θ)∈ε．稱π=(Φ,σ)為ε=X×Θ上的斜演化半流.

定義3如果存在常數(shù)M,ω,λ>0使得

(1)

斜演化半流π=(Φ,σ)稱為是多項(xiàng)式增長(zhǎng)的.

定義4若存在常數(shù)K,α,λ>0使得

(2)

斜演化半流π=(Φ,σ)稱為一致多項(xiàng)式穩(wěn)定的.

定義5如果存在常數(shù)K,α,λ>0使得

(3)

斜演化半流π=(Φ,σ)稱為一致多項(xiàng)式不穩(wěn)定的.

2主要結(jié)論

定理1 (收縮性)具有多項(xiàng)式增長(zhǎng)的斜演化半流π=(Φ,σ)是一致多項(xiàng)式穩(wěn)定的,當(dāng)且僅當(dāng)存在δ>0,r0>1,0

(4)

證明必要性顯然，下面證明充分性．

(5)

又因?yàn)?/p>

利用式(1)、(4) 及(5)可知

故斜演化半流π=(Φ,σ)是一致多項(xiàng)式穩(wěn)定的．

定理2具有多項(xiàng)式增長(zhǎng)的斜演化半流π=(Φ,σ)是一致多項(xiàng)式穩(wěn)定的,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?x∈X，存在δ,β(x)>0使得

(6)

證明必要性顯然，下面證明充分性．

設(shè)λ=δ,若t≤sδ，則有

(7)

進(jìn)而由上式及式(5)可得

(8)

則由(6)式，對(duì)?x∈X有

故再次利用一致有界原理可得，存在常數(shù)L′>0使得

定理3具有多項(xiàng)式增長(zhǎng)的斜演化半流π=(Φ,σ)是一致多項(xiàng)式穩(wěn)定的,當(dāng)且僅當(dāng)存在δ,D>0使得

(9)

證明必要性顯然，下面證明充分性．

設(shè)t≥s,若s≤t≤sδ，則有

(10)

(11)

定理4 (擴(kuò)張性)具有多項(xiàng)式增長(zhǎng)的斜演化半流π=(Φ,σ)是一致多項(xiàng)式不穩(wěn)定的,當(dāng)且僅當(dāng)存在δ>0、r0、c>1使得對(duì)?s≥δ,x∈X有

‖Φ(r0s,s,θ)x‖≥c‖x‖．

(12)

證明必要性顯然，下面證明充分性．

(13)

又因?yàn)?/p>

利用式(1)、式(12)可知

(14)

結(jié)合式(13)、(14)可得

故斜演化半流π=(Φ,σ)是一致多項(xiàng)式不穩(wěn)定的．

定理5具有多項(xiàng)式增長(zhǎng)的斜演化半流π=(Φ,σ)是一致多項(xiàng)式不穩(wěn)定的,當(dāng)且僅當(dāng)Φ(t,s,θ)為單射，?t≥s≥δ,θ∈Θ,且存在D>0使得

(15)

證明必要性顯然，下面證明充分性．

任取t≥s≥δ．由多項(xiàng)式增長(zhǎng)性知對(duì)?τ∈[t,tδ]有

利用(15)式可得

參考文獻(xiàn)：

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(責(zé)任編輯：方惠敏)

Polynomial Asymptotic Behaviors of Skew-evolution Semiflows in Banach Spaces

YUE Tian1，LIU Kaituo1,2，LEI Guoliang1

(1.SchoolofScience,HubeiUniversityofAutomotiveTechnology,Shiyan,Hubei442002,China2.SchoolofMathematicsandStatistics,CentralSouthUniversity,Changsha,Hunan410083,China)

Abstract:Some necessary and sufficient conditions for uniform polynomial stability and uniform polynomial instability were given, respectively. Generalizations of some well-known results were obtained due to Datko, Stoica, Megan in the case of polynomial asymptotic of skew-evolution semiflows in Banach spaces.

Key words:skew-evolution semiflows; uniform polynomial stability； uniform polynomial instability； polynomial growth

收稿日期:2015-09-19

基金項(xiàng)目:湖北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014CFB629);湖北汽車工業(yè)學(xué)院校預(yù)研基金資助項(xiàng)目(2014XY06)．

作者簡(jiǎn)介:岳田(1988—)，男，四川南江人，助教，碩士，主要從事微分系統(tǒng)定性理論研究，E-mail: ytcumt@163.com．

中圖分類號(hào)：O175.13

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1671-6841(2016)01-0041-04

DOI:10.3969/j.issn.1671-6841.201509021

引用本文：岳田，劉開(kāi)拓，雷國(guó)梁．巴拿赫空間中斜演化半流的多項(xiàng)式漸近行為[J]．鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2016，48(1)：41—44.