梁方程的一致緊吸引子

王素萍,　紹旭馗

(隴東學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院　甘肅 慶陽 745000)

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梁方程的一致緊吸引子

王素萍,紹旭馗

(隴東學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院甘肅 慶陽 745000)

摘要：考慮了當(dāng)外力項h滿足條件C* (而非平移緊時)，利用一致條件(C)證明了非自治梁方程在強(qiáng)拓?fù)淇臻gD(A)×V中一致吸引子的存在性.

關(guān)鍵詞：梁方程； 一致條件(C)； 條件C*； 一致吸引子

0引言

文獻(xiàn)[1—5]討論了非線性梁方程強(qiáng)解及強(qiáng)全局吸引子的存在性，文獻(xiàn)[6]討論了梁方程在弱拓?fù)淇臻gE0=V×H中指數(shù)吸引子存在性，在文獻(xiàn)[7]中，作者只給出了非線性梁方程在弱拓?fù)淇臻gE0=V×H中一致吸引子的存在性.假設(shè)Ω?R2是具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域.受以上研究及文獻(xiàn)[8]的啟發(fā)，本文將討論下面非自治的梁方程:

utt+Δ2u+δut+λu+g(u)=h(x,t), (x,t)∈Ω×R+,

(1)

u(x,t)=Δu(x,t)=0,x∈?Ω,t∈R+,

(2)

u(x,τ)=uτ(x),ut(x,τ)=pτ(x),x∈Ω.

(3)

在強(qiáng)拓?fù)淇臻gE1=D(A)×V中一致緊吸引子的存在性.其中u(x,t)描述了橋面在豎直平面內(nèi)的變形，h(x,t)和g(u)是外力項，δ>0表示黏性阻尼，λ>0.

假設(shè)非線性函數(shù)g滿足下面條件:

根據(jù)Poincare不等式，有

(4)

1 預(yù)備知識

定義2[10]過程族{Uσ(t,τ)}，σ∈Σ滿足一致(關(guān)于σ∈Σ)條件(C)，如果對任意固定τ∈R，B∈B(E)和ε>0，存在t0=t0(τ,B,ε)≥τ和E的有限維子空間Em，使得:

其中dimEm=m和Pm:E→Em是一有界投影，記B(E)是E的所有有界子集的集合.

1)T(r)Σ=Σ,?r∈R;2) 平移恒等性：Uσ(t+r,τ+r)=UT(r)σ(t,τ), ?σ∈Σ,t≥τ,τ∈R,r≥0.

定理1[11]在假設(shè)I下，過程族{Uσ(t,τ)}，σ∈Σ有緊一致(關(guān)于σ∈Σ)吸引子AΣ，它滿足AΣ=ω0,Σ(B0)=ωτ,Σ(B0),?τ∈R如果它有：

1) 一致有界吸收集B0；

2) 滿足一致條件(C).而且，如果E是一致凸的Banach空間，則逆也成立.

(5)

為方便起見,引進(jìn)符號E0=V×H,E1=D(A)×V.

2E1中的一致吸引子

2.1 E1中的一致有界吸收集

用Av=Aut+ε0Au乘以(1)式在H中作內(nèi)積

λε0‖u‖2+ ((g(u),Av))=(h(t),Av)，

(6)

由H?lder不等式及Young不等式,得

式中：x是d維設(shè)計變量，y(x)是目標(biāo)函數(shù)，gi(x)是約束函數(shù)。當(dāng)問題(1)的目標(biāo)和約束函數(shù)值只能通過昂貴仿真得到時，通常借助代理模型以降低優(yōu)化過程的仿真試驗(yàn)成本。

(7)

假設(shè)ε0足夠小，使得

(8)

根據(jù)(F2)，定理2和Sobolev嵌入定理，有g(shù)(u)、g′(u)、g″(u)在L上是一致有界的，即存在K3>0，使得

(9)

結(jié)合Holder不等式，Cauchy 不等式有

(10)

結(jié)合(7)～(10)式，由(6)式得

(12)

(13)

(14)

(15)

因此得到E1中的一致吸收集B1.

(16)

2.2 E1中的一致吸引子

引理2[1]設(shè)g∈C2(R,R),且滿足(F2)，則g:D(A)且→V是緊連續(xù)的.

其中B1是E1中的一致(關(guān)于h∈H(h0))吸收集.

0<λ1≤λ2≤,…,λi→,i→，

且Aωi=λiωi，?i∈N.記Gn=span{ω1,ω2,…,ωn},根據(jù)引理2，由于g:D(A)且→V是緊連續(xù)的，則對任意的ε>0，存在n>0,使得

(17)

Qn:D(A)→Gn都是正交投影，對任意的(u,ut)∈E1,作如下分解，

(u,ut)=(u1,u1t)+(u2,u2t)，(u1,u1t)=(Qnu,Qnut).

取0<σ0<1，用Av2=Au2t+σ0Au2與方程(1)相乘，并在H中作內(nèi)積可得

(18)

假若σ0足夠小，使得

(19)

由(18)～(19)式有

(20)

設(shè)

則有

(21)

由Gronwall引理，得

(22)

由引理1，任意的ε1=ε1(ε)>0,存在足夠大的n，使得

(23)

(24)

顯然，可取ε1=ε1(ε),使得

(25)

再結(jié)合(23)～(25)式，得y(t)≤ε1, ?t≥t2,h∈H(h0).這表明過程族{Uσ(t,τ)},h∈H(h0)在E1中關(guān)于h∈H(h0)滿足一致條件(C).證畢.

參考文獻(xiàn)：

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[11]MA S,ZHONG C K. The Attractors for weakly damped non-autonomous 2D Navier-stokes equations with normal external forces [J].Discrete Contin Dyn Syst, 2007,18:53—70.

(責(zé)任編輯：方惠敏)

Uniform Attractors for Beam Equation

WANG Suping,SHAO Xukui

(SchoolofMathematicalandStatistics,LongdongUniversity,QingYang745000,China)

Abstract:When forcing term only satisfies condition(C*), the existence of uniform attractors for the non-autonomous beam equations was proved in a strong topology space E1=D(A)×V by using the uniform condition (C).

Key words:beam equations; uniform condition(C);condition(C*);uniform attractors

收稿日期:2015-07-24

基金項目:甘肅省高等學(xué)?？蒲许椖?2015A-147)；隴東學(xué)院青年科技創(chuàng)新項目(XYZK1401)．

作者簡介:王素萍 (1980—), 女，甘肅鎮(zhèn)原人，副教授，碩士,主要從事無窮維動力系統(tǒng)及偏微分方程的研究，E-mail:shwangsp@163.com.

中圖分類號：O175.15

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1671-6841(2016)01-0027-05

DOI:10.3969/j.issn.1671-6841.201507039

引用本文：王素萍,紹旭馗.梁方程的一致緊吸引子[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版)，2016,48(1)：27—31.