Heston模型下最優(yōu)投資-消費(fèi)策略選擇

楊　鵬

(西京學(xué)院 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)與理學(xué)系　陜西 西安 710123)

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Heston模型下最優(yōu)投資-消費(fèi)策略選擇

楊鵬

(西京學(xué)院 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)與理學(xué)系陜西 西安 710123)

摘要：在隨機(jī)金融市場(chǎng)模型中，研究了最優(yōu)投資-消費(fèi)策略選擇問(wèn)題.隨機(jī)金融市場(chǎng)由無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成，在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的方差滿(mǎn)足Heston模型下，求得最優(yōu)投資-消費(fèi)策略最大化終端財(cái)富和累積消費(fèi)的期望折現(xiàn)效用.在冪效用函數(shù)情形下，通過(guò)求解值函數(shù)滿(mǎn)足的Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)方程，得到了最優(yōu)投資-消費(fèi)策略以及值函數(shù)的顯式解.

關(guān)鍵詞：Heston模型； HJB方程； 冪效用； 投資策略； 消費(fèi)策略

0引言

應(yīng)用隨機(jī)控制理論研究最優(yōu)投資-消費(fèi)策略選擇是數(shù)理金融中的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題[1—4].文獻(xiàn)[1]首次研究了投資-消費(fèi)問(wèn)題，假設(shè)投資者的資產(chǎn)可以在消費(fèi)和投資之間進(jìn)行分配，目標(biāo)是在時(shí)間區(qū)間[0,T]或[0,∞)上尋求最優(yōu)的投資-消費(fèi)策略和值函數(shù)的顯式解.文獻(xiàn)[2]研究了不完備市場(chǎng)上的投資-消費(fèi)問(wèn)題.文獻(xiàn)[3]研究了財(cái)富有限制情形的投資消費(fèi)問(wèn)題.文獻(xiàn)[4]研究了帶比例交易費(fèi)用的投資-消費(fèi)問(wèn)題.文獻(xiàn)[5]研究了投資-消費(fèi)問(wèn)題，假設(shè)在金融市場(chǎng)上含有多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，給出了比較好的數(shù)值解.文獻(xiàn)[6]應(yīng)用隨機(jī)脈沖理論研究投資-消費(fèi)問(wèn)題.上述對(duì)最優(yōu)投資-消費(fèi)問(wèn)題的研究，都假設(shè)金融資產(chǎn)滿(mǎn)足Black-Scholes模型，很多學(xué)者在研究最優(yōu)投資問(wèn)題時(shí)都對(duì)Black-Scholes模型進(jìn)行了推廣.文獻(xiàn)[7]研究了CEV模型下基于確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資.文獻(xiàn)[8] 在O-U模型下，研究了基于確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資.文獻(xiàn)[9]在Heston模型下基于確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資.文獻(xiàn)[10]在Heston模型下研究了保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)，文獻(xiàn)[11]在Ho-Lee利率模型下研究了最優(yōu)投資-消費(fèi)問(wèn)題.本文致力于研究Heston模型下，最優(yōu)投資-消費(fèi)策略選擇問(wèn)題.關(guān)鍵是求解值函數(shù)滿(mǎn)足的HJB方程，根據(jù)邊界條件構(gòu)造了解的形式，求得值函數(shù)和最優(yōu)投資-消費(fèi)策略的顯式解.

1市場(chǎng)模型

假設(shè)所有的隨機(jī)變量和過(guò)程都定義在完備的概率空間(Ω,F,P),滿(mǎn)足Ft右連續(xù)且P-完備.假設(shè)沒(méi)有交易費(fèi)用，資產(chǎn)是無(wú)窮可分的，在概率空間(Ω,F,P)上定義兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)W1(t)和W2(t)，兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的相關(guān)系數(shù)為ρ，即t=ρt.

一個(gè)金融市場(chǎng)由兩個(gè)金融資產(chǎn)組成：一個(gè)是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(債券)，時(shí)刻t的價(jià)格為Bt；另一個(gè)為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(股票)，時(shí)刻t的價(jià)格記為S(t).Bt滿(mǎn)足方程dBt=rBtdt，這里常數(shù)r>0為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的利率，B0=1.假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益和方差都是隨機(jī)的，即S(t)滿(mǎn)足下面的Heston模型

(1)

其中k是一個(gè)正常數(shù)，η(t)滿(mǎn)足下面的CIR模型,

設(shè)時(shí)刻t在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資金額為π(t)，投資者的總財(cái)富為X(t)，則在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上投資的金額為X(t)-π(t).以c(t)表示投資者在t時(shí)刻的消費(fèi)率，則考慮投資、消費(fèi)后，財(cái)富過(guò)程X(t)滿(mǎn)足下面的隨機(jī)微分方程

(2)

定義1一策略θ(·)=(c(·),π(·))稱(chēng)為可行的，如果θ(·)關(guān)于流{Ft}是可料的，且對(duì)于任意時(shí)刻t≥0,過(guò)程θ(·)滿(mǎn)足下面的條件：

3) 式(2)對(duì)于θ(t)有唯一的強(qiáng)解,所有可行策略記為Θ.

2Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程

假設(shè)投資者的目的是在區(qū)間[0,T]和最終時(shí)刻T最大化期望折現(xiàn)消費(fèi)效用.記Vθ(t,η,x)是時(shí)刻t在投資-消費(fèi)策略θ(t)=(c(t),π(t))和盈余為x，η(t)=η時(shí)的值函數(shù)，即

(3)

其中：u1(x)和u2(x)是2個(gè)二次可微、單調(diào)增加的凹的效用函數(shù);a∈[0,1]為常數(shù);參數(shù)β是折現(xiàn)率;u1(x)是度量消費(fèi)的效用函數(shù);u2(x)是度量最終財(cái)富的效用函數(shù).本文假設(shè)消費(fèi)效用和最終財(cái)富的效用是相互獨(dú)立的,研究目標(biāo)是尋找到值函數(shù)

(4)

和最優(yōu)的策略θ*使得

V(t,η,x)=Vθ*(t,η,x).

(5)

與文獻(xiàn)[12—13]類(lèi)似，應(yīng)用隨機(jī)控制理論，易得值函數(shù)V(t,η,x)滿(mǎn)足下面的定理1和定理2.

定理1假設(shè)由(4)式，V關(guān)于變量t是連續(xù)可微的函數(shù)，同時(shí)關(guān)于x,η的二階連續(xù)可微的函數(shù)，則V滿(mǎn)足下面的HJB方程

ρσπ(t)η(t)Vxη+ae-βtu1(c(t))-c(t)Vx}=0,

(6)

邊界條件

V(T,η,x)=(1-a)e-βTu2(x).

(7)

這里Vt、Vx、Vxx分別記作:V關(guān)于t的一階導(dǎo)數(shù)，關(guān)于x的一階導(dǎo)數(shù)，關(guān)于x的二階導(dǎo)數(shù)，Vη、Vηη分別是關(guān)于η的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù).

定理2設(shè)W∈C2是HJB方程(6)的解，是單調(diào)遞減的凹函數(shù)，且滿(mǎn)足邊界條件式(7).則式(4)定義的V恰好等于W，進(jìn)一步設(shè)θ*使下式成立,

ρσπ*(t)η(t)Vxη+ae-βtu1(c*(t))-c*(t)Vx=0,

則θ*(·)是最優(yōu)策略，即W(t,x)=V(t,x)=Vθ*(t,x).(6)式在π*(t)、c*(t)處取得最大值，且滿(mǎn)足下式

(8)

(8)式代入(6)式得

ae-βtu1(c*(t))-c*(t)Vx=0.

(9)

下面將求解(9)式，得到值函數(shù)的顯式解，進(jìn)一步得到最優(yōu)投資-消費(fèi)策略的顯式解.

3最優(yōu)投資-消費(fèi)策略及值函數(shù)

引理1n(t)滿(mǎn)足如下的Rieeati方程

(10)

則方程(10)的解為：

1) 當(dāng)Δ>0時(shí)，

2) 當(dāng)Δ=0時(shí)，

3) 當(dāng)Δ<0時(shí)，

其中：

1) 當(dāng)Δ>0時(shí),方程(10)可變形為

(11)

(12)

式(12)兩端在[t,T]上求積分，注意n(T)=0，即可求出n(t).

2) 當(dāng)Δ=0時(shí)，方程(10)可變形為

(13)

(14)

式(14)兩端在[t,T]上求積分，注意n(T)=0，即可求出n(t).

引理2m(t)滿(mǎn)足常微分方程

m′(t)+m(t)[l3+bn(t)]=0,m(T)=1,

(15)

則方程(15)的解為

引理3設(shè)

(16)

若g(t,η)∶=g滿(mǎn)足方程

(17)

(18)

且

(19)

n(t)、m(t)分別滿(mǎn)足引理1和引理2.

，

則(17)式可寫(xiě)為gt+.應(yīng)用(16)式，(17)式可寫(xiě)成

(20)

又因?yàn)?/p>

(21)

所以(20)式等于(21)，因此

也就是

(22)

(23)

要使(23)式成立，則

通過(guò)前面3個(gè)引理的準(zhǔn)備，下面就可以求解方程(9)了,由邊界條件式(7)，可設(shè)方程(9)有如下形式的解

(24)

所以，有

代入方程(9)有

上式消除對(duì)x的依賴(lài)，得到

(25)

(25)式很難直接求解，需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，設(shè)

f(t,η)=[g(t,η)]1-γ,

(26)

所以

代入(25)式，得到

上式為零，即(17)成立，通過(guò)引理3即可求得g(t,η)，進(jìn)一步就可以表示出V(t,η,x).

通過(guò)上述討論，得到下面的定理.

定理3對(duì)于財(cái)富過(guò)程(2)最優(yōu)的投資策略為

(27)

最優(yōu)的消費(fèi)策略為

(28)

相應(yīng)的值函數(shù)為

(29)

其中：

n(t),m(t)分別滿(mǎn)足引理1和引理2.

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(責(zé)任編輯：方惠敏)

Optimal Investment-consumption Policies Selection for Heston Model

YANG Peng

(DepartmentofAppliedStatisticsandScience,XijingUniversity,Xi’an, 710123,China)

Abstract:The optimal investment-consumption policies selection problems were studied with stochastic financial market. In stochastic financial market, assets are composed of risk-free and risky asset, and the volatility of the risky asset was described by a Heston model. Optimal investment-consumption policies which maximize the expected discounted utility of terminal wealth and accumulative consumption was found. By solving the corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation, closed-form solutions for the value function as well as the investment-consumption policies in the power utility function case are obtained.

Key words:Heston model； HJB equation； Power utility； Investment policy； Consumption policy

收稿日期:2015-07-23

基金項(xiàng)目:陜西省教育廳專(zhuān)項(xiàng)科研計(jì)劃項(xiàng)目(15JK2183).

作者簡(jiǎn)介:楊鵬(1983—)，男，山東臨沂人，講師，主要從事風(fēng)險(xiǎn)理論和數(shù)理金融的研究，E-mail:yangpeng511@163.com.

中圖分類(lèi)號(hào)：F830；O211.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1671-6841(2016)01-0017-06

DOI:10.3969/j.issn/1671-6841.201507035

引用本文:楊鵬.Heston模型下最優(yōu)投資-消費(fèi)策略選擇[J]．鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2016，48(1)：17—22.