基于多元t-copula模型的未決賠款準(zhǔn)備金

胡曉偉，　劉　燕

(鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院　河南 鄭州 450001)

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基于多元t-copula模型的未決賠款準(zhǔn)備金

胡曉偉，劉燕

(鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院河南 鄭州 450001)

摘要：在非壽險(xiǎn)精算領(lǐng)域中，單業(yè)務(wù)準(zhǔn)備金的估計(jì)是研究的重點(diǎn)，而在非壽險(xiǎn)公司對所有業(yè)務(wù)的總準(zhǔn)備金水平進(jìn)行評估時，不同業(yè)務(wù)之間存在著一定的相關(guān)性，將單業(yè)務(wù)的準(zhǔn)備金進(jìn)行簡單的相加得到的總準(zhǔn)備金往往大于實(shí)際理賠金額.因此，利用多元t-copula模型，從理論到實(shí)際數(shù)據(jù)等方面研究不同業(yè)務(wù)間的相關(guān)性，從而得出準(zhǔn)備金的估計(jì)值，并通過風(fēng)險(xiǎn)邊際的下降來說明在總準(zhǔn)備金的估計(jì)中研究不同業(yè)務(wù)間的相關(guān)問題的必要性.

關(guān)鍵詞：多元未決賠款準(zhǔn)備金； t-copula模型； 相關(guān)性； 風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度

0引言

準(zhǔn)備金的計(jì)提和管理是保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)管理中非常重要的部分.非壽險(xiǎn)公司的不同業(yè)務(wù)之間既非完全獨(dú)立也非完全相關(guān)，將單業(yè)務(wù)的準(zhǔn)備金進(jìn)行簡單的相加得到的總準(zhǔn)備金往往會大于實(shí)際理賠金額.文獻(xiàn)[1]指出，當(dāng)各業(yè)務(wù)的理賠變量之間存在相關(guān)性時，對總的理賠變量的均方誤差的估計(jì)也會更加復(fù)雜.因此，人們開始著重于研究多元未決賠款準(zhǔn)備金.一種思路是將一元鏈梯法擴(kuò)展到多元的情況[2]，文獻(xiàn)[3]在多元線性模型的基礎(chǔ)上提出多元加法準(zhǔn)備金模型，文獻(xiàn)[4]給出其均方誤差的計(jì)算.另一種研究思路是利用copula連接函數(shù)，將關(guān)于單個業(yè)務(wù)的賠款變量的一維模型作為邊緣分布，再通過copula函數(shù)建立一個關(guān)于多業(yè)務(wù)賠款變量的多維聯(lián)合分布模型，從而考察總的業(yè)務(wù)組合的未決賠款準(zhǔn)備金問題.文獻(xiàn)[5]利用正態(tài)copula在邊緣分布是正態(tài)分布的假設(shè)下,研究了多個流量三角形之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，并對總的準(zhǔn)備金預(yù)測值進(jìn)行了隨機(jī)模擬.文獻(xiàn)[6]利用t-copula研究了多個保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的總賠款之間的相關(guān)性，通過模擬的方法從理論上驗(yàn)證了多業(yè)務(wù)的賠款之間存在相關(guān)性會對總賠款額的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值產(chǎn)生影響.文獻(xiàn)[7]從理論上研究了基于a-stable分布的copula方法及其在CDO定價(jià)中的應(yīng)用.文獻(xiàn)[8]用“D藤copula”來描述相關(guān)性關(guān)系的GAMLSS模型以及準(zhǔn)備金的評估，同時還刻畫了不同業(yè)務(wù)線之間的尾部相依性.文獻(xiàn)[9]基于Copula-Kernel模型研究了保險(xiǎn)公司的綜合風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)濟(jì)資本度量與配置.

本文利用文獻(xiàn)[5]中多元正態(tài)copula模型的研究方法，同時為了更好地復(fù)合市場的“尖峰、厚尾”的特性，提出多元t-copula模型，利用不同業(yè)務(wù)的損失流量三角形，從理論和實(shí)際數(shù)據(jù)等方面研究不同業(yè)務(wù)間的相關(guān)性，并且計(jì)算出準(zhǔn)備金的估計(jì)值，通過變異系數(shù)的大小可以判斷出模型的穩(wěn)定性，以及通過風(fēng)險(xiǎn)邊際的下降來說明在總準(zhǔn)備金的估計(jì)中研究不同業(yè)務(wù)間的相關(guān)性的必要性.

1copula模型

增量賠款的流量三角形的觀測數(shù)據(jù)是按照歷年t=i+j-1(t=1,2,…,n)的順序發(fā)生的，可獲得第m個子業(yè)務(wù)的流量三角形的增量賠款觀測值Dm={xmij,1≤t≤n,t=i+j-1}，即流量三角形上三角數(shù)據(jù)，而未測增量賠款集合為(Dm)C={xmij,n+1≤t≤2n-1,t=i+j-1}，即流量三角形下三角數(shù)據(jù)，如表1.

表1　第m個子業(yè)務(wù)的流量三角形

利用copula理論構(gòu)建多元未決賠款準(zhǔn)備金模型，需要考慮兩個因素，邊際分布和copula函數(shù)形式.

首先，假定第m個子業(yè)務(wù)的邊際分布函數(shù)為Fm，則Fm(xmij)=ymij，m=1,2,…,M，ymij是流量三角形元素xmij的邊際分布函數(shù)值.

其次，需要利用copula函數(shù)C來構(gòu)造M個業(yè)務(wù)的增量賠款X=(X1,X2,…,XM)的聯(lián)合分布，記為FX，即

FX(X1,X2,…,XM)=C(F1(X1),F2(X2),…,FM(XM))=C(Y1,Y2,…,YM),

其中：Xm=(xmij,i=1,2,…,n;j=1,2,…,n);Ym=(ymij,i=1,2,…,n;j=1,2,…,n).

2多元t-copula

2.1模型構(gòu)造

對增量賠款xmij構(gòu)造一個多元t-copula模型，即

(1)

其中:tp(·)是自由度為p的學(xué)生t分布函數(shù)，Σ是M×M維協(xié)方差矩陣，它的主對角線元素為1;tp,Σ表示自由度為p的多元t分布的聯(lián)合分布函數(shù).

(2)

其中“°”表示函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算.

通過(2)式的變換，可以將增量賠款的觀測數(shù)據(jù)Xm一一對應(yīng)的變換為服從t分布的變量Zm，將變換出的流量三角形的數(shù)據(jù)中的各個元素按照其對應(yīng)的事故年i和進(jìn)展年j記為zmij.

2.2因子分析

利用因子分析的思想，對變換后的變量zmij進(jìn)行因子分析[10]，即

(3)

(4)

第m個流量三角形在同一個日歷年t=i+j-1有共同因子βmt，它是由自由度p和不同的流量三角形的相關(guān)系數(shù)矩陣Σ決定的，而εmij是獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，且各εmij與βmt互相獨(dú)立，即

ε={εmij,m=1,2,…,M;i=1,2,…,n;j=1,2,…,n}～N(0,It).

其中It表示單位矩陣.

那么Kronecker乘積P?Q是一個mg×nf的矩陣，具體表示為

故向量Zt是服從均值為0、協(xié)方差矩陣如下的多元t分布：

(5)

2.3模型估計(jì)

對于基于copula的多元準(zhǔn)備金的隨機(jī)模型，一般采用兩階段極大似然估計(jì)法.

第一步，利用常規(guī)的參數(shù)估計(jì)的方法估計(jì)邊際分布的參數(shù)，如矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法，利用相關(guān)軟件可以直接對邊際分布模型進(jìn)行擬合.

(6)

第二步，利用選擇的copula函數(shù)，估計(jì)copula模型的有關(guān)參數(shù)，如公因子權(quán)重am，特殊因子權(quán)重bm，共同因子βmt以及相關(guān)系數(shù)矩陣Σ.

對式(3)兩邊求均值，有

(7)

用式(3)減去式(7)，得

即

由此可以推出因子權(quán)重的估計(jì)量分別為:

進(jìn)而得出

2.4準(zhǔn)備金預(yù)測

第m個子業(yè)務(wù)的流量三角形在日歷年t=n+1,n+2,…,2n-1的預(yù)期損失模型為:

Fm(xmt)=tp(am1tβmt+bmεmt), βt～N(0,∑), εmt～N(0,It),

其中:t=i+j-1；i=1,2,…,n;j=1,2,…,n；xmt, εmt元素分別為xmij,εmij的2n-t維向量；1t是所有元素均為1的2n-t維向量；It是(2n-t)×(2n-t)維單位矩陣.

(8)

由此可以計(jì)算保險(xiǎn)業(yè)務(wù)m的未來預(yù)期總的未決賠款及公司全部M個業(yè)務(wù)的總的未決賠款準(zhǔn)備金，其分別為：

利用多次隨機(jī)模擬的結(jié)果，就可以得出各業(yè)務(wù)以及公司整體的未決賠款準(zhǔn)備金的分布情況.

2.5模型評價(jià)

由隨機(jī)變量分布特點(diǎn)可知，如果只考慮保險(xiǎn)公司準(zhǔn)備金總量的期望值，可以直接將各業(yè)務(wù)的準(zhǔn)備金的期望值直接相加，而準(zhǔn)備金總量的方差，就必須要考慮各業(yè)務(wù)之間的協(xié)方差,

Var(X)=Var(X1)+Var(X2)+Var(X3)+2cov(X1,X2)+2cov(X1,X3)+2cov(X2,X3).

如果要考慮準(zhǔn)備金總量的風(fēng)險(xiǎn)度量值，就不能將各業(yè)務(wù)準(zhǔn)備金的風(fēng)險(xiǎn)度量值簡單直接相加，各業(yè)務(wù)之間存在相關(guān)性，和的風(fēng)險(xiǎn)度量與各風(fēng)險(xiǎn)度量的和并不相等，并且還會存在較大的差異.常用的風(fēng)險(xiǎn)度量的方法有很多，如風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度、條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度、期望損失、條件尾部期望等，在本文將采用風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度度量方法.

風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度用VaR表示，在一段時間內(nèi)，有u的把握，損失量不會大于V.u即為置信水平，V就是風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度VaR.即對于風(fēng)險(xiǎn)變量X，給定置信水平u∈(0,1)，則相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度為

其中FX表示X的累積分布函數(shù)，VaR就是風(fēng)險(xiǎn)變量X在概率值為u點(diǎn)上的分位數(shù).

用M(X)表示X的風(fēng)險(xiǎn)邊際

M(X)=VaR[X,u]-E[X],

根據(jù)文獻(xiàn)[11]對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度量方法的研究，基于VaR計(jì)算的風(fēng)險(xiǎn)邊際M可以表示為：

M(X)=cov{X,φ°F(X)}=σXσφρX,ρX=cor{X,φ°F(X)},φ(v)=I{v=u},

其中：I{·}表示0-1示性函數(shù)，σX,σφ分別表示X和φ°F(X)的標(biāo)準(zhǔn)差，ρX表示它們的相關(guān)系數(shù).

3實(shí)例分析

3.1實(shí)際數(shù)據(jù)

本文研究使用的數(shù)據(jù)是文獻(xiàn)[12]中我國某財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)公司2010年起10個季度的增量賠款數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)包含3個保險(xiǎn)產(chǎn)品的流量三角形，即M=3.這3種保險(xiǎn)業(yè)務(wù)分別是機(jī)動車輛保險(xiǎn)、企業(yè)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)和責(zé)任保險(xiǎn)，其中機(jī)動車輛保險(xiǎn)屬于長尾業(yè)務(wù)，企業(yè)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)和責(zé)任保險(xiǎn)都屬于短尾業(yè)務(wù).表2是對本文數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的直觀展示，單位為元，表2中每個元素對應(yīng)一個保險(xiǎn)業(yè)務(wù)m在給定事故年i和進(jìn)展年j的增量賠款額，每個事故年的3行元素對應(yīng)的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)分別為：機(jī)動車輛保險(xiǎn)、企業(yè)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)、責(zé)任保險(xiǎn).例如，表2內(nèi)25 644表示機(jī)動車輛保險(xiǎn)在第一事故年、進(jìn)展年為1中的增量賠款，951 988表示企業(yè)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)在第一事故年、進(jìn)展年為1中的增量賠款，45 263表示責(zé)任保險(xiǎn)在第一事故年、進(jìn)展年為1中的增量賠款.

本文分析和處理數(shù)據(jù)所用的軟件為R和Excel.

表2　3個保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的增量賠款

3.2擬合邊緣分布

分別畫出3個保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的增量賠款額的直方圖，結(jié)果如圖1所示：

從圖1中可以看出，增量賠款的直方圖與正態(tài)分布相差很遠(yuǎn)，假定對其所有數(shù)據(jù)求對數(shù)，可以看出其直方圖近似服從正態(tài)分布，所以假設(shè)邊際分布服從對數(shù)正態(tài)分布.為了避免待估參數(shù)過多造成過擬合，對增量賠款的均值只考慮列效應(yīng)，即進(jìn)展年j的效應(yīng).

建立對數(shù)正態(tài)模型，即

對參數(shù)μmj、σmj的估計(jì)結(jié)果如表3所示.

圖1　3個保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的增量賠款額及其對數(shù)

保險(xiǎn)業(yè)務(wù)m進(jìn)展年j1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 μ^110.5311.3011.2110.8310.849.909.469.107.869.60μ^214.2613.0711.3510.8510.209.938.618.116.864.61μ^310.7611.4911.2811.1011.3010.6710.2110.229.499.94σ^10.630.420.90.490.370.370.350.060.620σ^20.320.130.310.410.470.331.001.500.970σ^30.050.360.630.630.340.190.090.100.550

3.3模型的估計(jì)與預(yù)測

表4　3個保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的t分布的偽樣本

由因子權(quán)重和公因子的估計(jì)式：

表5　因子權(quán)重估計(jì)結(jié)果

從表5可以看出共同度am最大的業(yè)務(wù)是責(zé)任保險(xiǎn)，特殊方差bm最大的業(yè)務(wù)是機(jī)動車輛保險(xiǎn).

從表7可以看到，各業(yè)務(wù)之間都有一定的正相關(guān)或負(fù)相關(guān)性，說明將各業(yè)務(wù)的準(zhǔn)備金的方差和風(fēng)險(xiǎn)邊際進(jìn)行簡單的相加勢必會對總的結(jié)果造成低估或高估.所以，考慮業(yè)務(wù)間的相關(guān)性是十分必要的.

表6　公因子的估計(jì)結(jié)果

表7　多元t-copula模型的相關(guān)系數(shù)矩陣

利用未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測和評估方法，以及xmt的模擬值：

可以得到準(zhǔn)備金的期望、方差和風(fēng)險(xiǎn)邊際，模擬次數(shù)為10 000次，如表8.

表8　未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測

4結(jié)束語

在評估非壽險(xiǎn)保險(xiǎn)公司整體業(yè)務(wù)的準(zhǔn)備金總量水平時，需要考慮各業(yè)務(wù)間的相關(guān)性，利用copula連接函數(shù)，將關(guān)于單個業(yè)務(wù)的賠款變量的一維模型作為邊緣分布，通過copula函數(shù)建立一個關(guān)于多業(yè)務(wù)賠款變量的多維聯(lián)合分布模型.

在文中，利用文獻(xiàn)[5]中多元正態(tài)copula模型的研究方法，建立了多元t-copula模型，利用因子分析以及求均值的方法對所有參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)，計(jì)算出各業(yè)務(wù)間的相關(guān)系數(shù)矩陣，再利用多次隨機(jī)模擬的結(jié)果，得出各業(yè)務(wù)以及公司整體的未決準(zhǔn)備金的分布情況.通過變異系數(shù)的大小判斷出多元t-copula模型比較穩(wěn)定，并且使用風(fēng)險(xiǎn)邊際的下降比例說明在總準(zhǔn)備金的估計(jì)中研究不同業(yè)務(wù)間的相關(guān)問題的必要性.

文中的不足之處就是t分布只有一個參數(shù)自由度p，可能在一些情況下對多變的市場情況模擬效果不理想，可以選擇更加復(fù)雜的混合分布，來符合金融市場的“尖峰、厚尾、偏斜”的特性，例如在金融市場經(jīng)常用到的雙t因子copula模型、穩(wěn)定因子copula模型、混合copula模型等.

參考文獻(xiàn)：

[1]MERZ M，WIITHRICH M V．Prediction error of the multivariate chain ladder reserving method[J]．North american actuary，2008，12(2)：175—197．

[2]ZHANG Y W.A general multivariate chain ladder model[J].Insurance:mathematics and economics,2010,46(3):588—599.

[3]SCHMIDT K D.Optimal and additive loss reserving for dependent lines of business[J]．Casualty actuarial society forum．2006,100(4)：319—351．

[4]MERZM，WTITHRICH M V.Prediction error of the multivariate additive loss reserving method for dependent lines of business[J]．Variance．2009，3(1)：131—151．

[5]JONG P D．Modelling dependence between loss triangles using copulas[J].North American acturial journal,2009,16(1):74—86．

[6]梁馮珍，史道濟(jì)．基于copula函數(shù)的保險(xiǎn)準(zhǔn)備金的確定方法[J]．統(tǒng)計(jì)與決策．2006，12(2)：142—144．

[7]ZHANG B, Li S.Collateralized debt obligation pricing with an a-stable copula[J]. Business computing and global information. SI AM Review, 2011，7(4):122—125.

[8]劉新紅，孟生旺．基于藤 Copula 的 GAMLSS 模型與非壽險(xiǎn)準(zhǔn)備金評估[J]．經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2014，4： 68—74.

[9]王依晨. 基于Copula-Kernel模型保險(xiǎn)公司綜合風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)濟(jì)資本度量與配置研究[D]. 廈門：廈門大學(xué)，2014.

[10]約翰 C.赫爾 (John C.Hull). 風(fēng)險(xiǎn)管理與金融機(jī)構(gòu)(第三版)[M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社. 2012.

[11]CHOO W D JONG P.Loss reserving using loss aversion functions[J]．Insurance,2009，45(2):271—277．

[12]吳妮娜. 自助法和秩相關(guān)法在非壽險(xiǎn)準(zhǔn)備金總量評估中的應(yīng)用[D]. 北京：中國人民大學(xué). 2010.

(責(zé)任編輯：方惠敏)

The Reserving for Outstanding Losses Based on Multivariatet-copula Model

HU Xiaowei,LIU Yan

(DepartmentofMathematicsandStatistics,Zhengzhouuniversity,Zhengzhou450001,China)

Abstract:In the non-life insurance actuarial field, people focus on the study of the single business reserve estimates rather than on the evaluation total reserve of all the business’s level.There is a certain relationship among different business. simple summing reserves of all single businesses The total reserves by greater than the actual amount of claims tended to be.The tolal reserves estimates were drawn after using multivariate t-copulas model in exploring the correlation among different types of businesses.The finding of the deline of marginal risk showed that,it was necessary to explore the correlation among different types of businesses in the study of total reserve estimates.

Key words:multivariate reserving for outstanding losses；t-copula model；correlation；VaR

收稿日期:2015-09-24

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10901143)．

作者簡介:胡曉偉(1991—)，女，河南南陽人，碩士研究生，主要從事金融工程與保險(xiǎn)精算研究，E-mail:1051162848@qq.com；通訊作者：劉燕(1978—)，女，河南開封人，副教授，博士，主要從事金融工程與保險(xiǎn)精算研究，E-mail:liuyan@zzu.edu.cn．

中圖分類號：F840

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1671-6841(2016)01-0001-09

DOI:10.3969/j.issn.1671-6841.201509027

引用本文：胡曉偉，劉燕.基于多元t-copula模型的未決賠款準(zhǔn)備金[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2016,48(1):1—9.