萬有引力距離平方反比關系的三種不同思維層次的推導

何堯榮

摘 要：萬有引力定律的建立關鍵是平方反比關系的確立，教材限于學生的水平只做了近似推導。本文從培養(yǎng)學生思維嚴密性的目的出發(fā)，從近似法、假設法、嚴密推理法等3個不同的思維層次進行了推導，不失為一種嘗試，對于重點中學的學生和那些學有余力的學生，進行了有效的思維訓練和拓展，對思維品質(zhì)是一種很大的提升。

關鍵詞：萬有引力；平方反比；假設

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2016）5-0036-3

萬有引力定律的建立是人類長期對行星運動的觀察，科學記錄觀察數(shù)據(jù)（第谷的觀察數(shù)據(jù)），并通過嚴格的數(shù)據(jù)分析、綜合得到開普勒行星運動三大定律的基礎上，牛頓借助運動定律，通過嚴格推理，地、月檢驗而得。借助萬有引力發(fā)現(xiàn)的這個載體，挖掘其中的思維、思想，是對學生思維嚴密性培養(yǎng)的好素材。本文擬從3個高度不同的思維層面，還原物理學家在萬有引力大小與距離平方成反比關系發(fā)現(xiàn)的思維過程，以期對學生思維品質(zhì)的提升起到一定的促進作用。

開普勒在第谷幾十年對行星觀察數(shù)據(jù)的基礎上，通過科學的方法總結得到了行星運動三大定律：

第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。

第二定律：對于任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。

如圖1所示，Δt內(nèi)行星和太陽的連線所掃過的面積ΔS=r·rΔθ=r2Δθ。

1 普通高中課程標準實驗教科書物理必修2中的近似推理[1]

假設行星繞太陽的運動是圓周運動，根據(jù)開普勒行星運動第一、第二定律，行星以太陽為圓心做勻速圓周運動，太陽對行星的引力就等于行星做勻速圓周運動的向心力。

這種推理一般學生都能理解和接受，但總有一種近似的感覺，似乎萬有引力定律是個近似定律。

2 假設推理

根據(jù)開普勒行星運動第一定律，行星繞太陽做橢圓軌道運動，任何曲線運動都是變速運動，受力都不平衡，因而行星繞太陽運動時受力一定不平衡，必會受到周圍天體對它的力的作用，在太陽系中可忽略其他行星的作用，認為其所受合力就是太陽對它的引力作用。并且，物體做曲線運動時在短時間內(nèi)都可看成是在一小段圓弧上的圓周運動。假設行星所受太陽對它的引力與距離的n次方成正比，即設：F=krn。

行星運動到近日點和遠日點時，由開普勒行星運動第二定律得：速度分別為最大值和最小值。因而，只有向心加速度，沒有切向加速度，由向心力公式及牛頓第二定律得：

萬有引力定律的建立是人類長期對行星運動的觀察，科學記錄觀察數(shù)據(jù)（第谷的觀察數(shù)據(jù)），并通過嚴格的數(shù)據(jù)分析、綜合得到開普勒行星運動三大定律的基礎上，牛頓借助運動定律，通過嚴格推理，地、月檢驗而得。借助萬有引力發(fā)現(xiàn)的這個載體，挖掘其中的思維、思想，是對學生思維嚴密性培養(yǎng)的好素材。本文擬從3個高度不同的思維層面，還原物理學家在萬有引力大小與距離平方成反比關系發(fā)現(xiàn)的思維過程，以期對學生思維品質(zhì)的提升起到一定的促進作用。

開普勒在第谷幾十年對行星觀察數(shù)據(jù)的基礎上，通過科學的方法總結得到了行星運動三大定律：

第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。

第二定律：對于任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。

如圖1所示，Δt內(nèi)行星和太陽的連線所掃過的面積ΔS=r·rΔθ=r2Δθ。

在開普勒行星運動三大定律的基礎上，萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)過程中，分別經(jīng)歷了近似推理，假設推理和嚴格的數(shù)理推理及地、月檢驗等過程，體現(xiàn)了物理學的研究方法，對學生是一個不可多得的教學素材。

1 普通高中課程標準實驗教科書物理必修2中的近似推理[1]

假設行星繞太陽的運動是圓周運動，根據(jù)開普勒行星運動第一、第二定律，行星以太陽為圓心做勻速圓周運動，太陽對行星的引力就等于行星做勻速圓周運動的向心力。

這表明：太陽對不同行星的引力，與行星的質(zhì)量成正比，與行星和太陽間距離的二次方成反比。

這種推理一般學生都能理解和接受，但總有一種近似的感覺，似乎萬有引力定律是個近似定律。

2 假設推理

根據(jù)開普勒行星運動第一定律，行星繞太陽做橢圓軌道運動，任何曲線運動都是變速運動，受力都不平衡，因而行星繞太陽運動時受力一定不平衡，必會受到周圍天體對它的力的作用，在太陽系中可忽略其他行星的作用，認為其所受合力就是太陽對它的引力作用。并且，物體做曲線運動時在短時間內(nèi)都可看成是在一小段圓弧上的圓周運動。假設行星所受太陽對它的引力與距離的n次方成正比，即設：F=krn。

行星運動到近日點和遠日點時，由開普勒行星運動第二定律得：速度分別為最大值和最小值。因而，只有向心加速度，沒有切向加速度，由向心力公式及牛頓第二定律得：

這種推理巧妙地利用假設法，抓住特殊位置進行推理，曲線運動在短時間內(nèi)可以看作圓弧運動，進行了思維拓展，開闊學生的思維，享受到了思維大餐，但還是有一種小聰明和近似的感覺。

3 極坐標法進行嚴格推理

如圖2所示，取太陽所在位置為極點，軌道長軸方向為極軸方向，則行星的位置可用位矢r=r er表示[2]。

萬有引力定律的建立是人類長期對行星運動的觀察，科學記錄觀察數(shù)據(jù)（第谷的觀察數(shù)據(jù)），并通過嚴格的數(shù)據(jù)分析、綜合得到開普勒行星運動三大定律的基礎上，牛頓借助運動定律，通過嚴格推理，地、月檢驗而得。借助萬有引力發(fā)現(xiàn)的這個載體，挖掘其中的思維、思想，是對學生思維嚴密性培養(yǎng)的好素材。本文擬從3個高度不同的思維層面，還原物理學家在萬有引力大小與距離平方成反比關系發(fā)現(xiàn)的思維過程，以期對學生思維品質(zhì)的提升起到一定的促進作用。

開普勒在第谷幾十年對行星觀察數(shù)據(jù)的基礎上，通過科學的方法總結得到了行星運動三大定律：

第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。

第二定律：對于任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。

如圖1所示，Δt內(nèi)行星和太陽的連線所掃過的面積ΔS=r·rΔθ=r2Δθ。

2 假設推理

根據(jù)開普勒行星運動第一定律，行星繞太陽做橢圓軌道運動，任何曲線運動都是變速運動，受力都不平衡，因而行星繞太陽運動時受力一定不平衡，必會受到周圍天體對它的力的作用，在太陽系中可忽略其他行星的作用，認為其所受合力就是太陽對它的引力作用。并且，物體做曲線運動時在短時間內(nèi)都可看成是在一小段圓弧上的圓周運動。假設行星所受太陽對它的引力與距離的n次方成正比，即設：F=krn。

行星運動到近日點和遠日點時，由開普勒行星運動第二定律得：速度分別為最大值和最小值。因而，只有向心加速度，沒有切向加速度，由向心力公式及牛頓第二定律得：

這種推理巧妙地利用假設法，抓住特殊位置進行推理，曲線運動在短時間內(nèi)可以看作圓弧運動，進行了思維拓展，開闊學生的思維，享受到了思維大餐，但還是有一種小聰明和近似的感覺。

3 極坐標法進行嚴格推理

如圖2所示，取太陽所在位置為極點，軌道長軸方向為極軸方向，則行星的位置可用位矢r=r er表示[2]。

由開普勒行星運動第三定律=k得：

即F=-4π2ker，太陽對行星作用力的大小與行星到太陽的距離成反比，方向沿兩者連線指向太陽的方向，太陽對行星的作用力是吸引力。

通過嚴密的數(shù)理推理得到了引力的距離平方反比規(guī)律，學生雖然感覺數(shù)學上有點難，但基于對推理嚴密性的追求，還是能夠接受的，再通過牛頓的地、月檢驗后，徹底接受了萬有引力定律，并且還享受到了嚴密的邏輯推理過程，在震撼之余思維品質(zhì)得到了提升，對學生的今后所從事的工作將會起到良好的促進作用。

參考文獻：

[1]物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標準實驗教科書 物理2[M].北京：人民教育出版社，2010：37.

[2]周衍柏.理論力學教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1986：14.（欄目編輯 羅琬華）