關(guān)于『真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)』教學(xué)設(shè)計的談話
——與張奠宙教授的對

◇李勇

關(guān)于『真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)』教學(xué)設(shè)計的談話
——與張奠宙教授的對

◇李勇

我是一名剛參加工作的年輕教師，有機會認(rèn)識了華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系的張奠宙教授。最近我聽了一節(jié)關(guān)于“真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)”的課，收獲頗多，也有一些思考。記得張教授說過，他很愿意了解一線課堂的真實情況，于是我就向他請教。他高興地接待了我。以下是我們的談話記錄。

李勇（以下簡稱李）：真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，是蘇教版實驗教材五年級下冊第四單元中的一節(jié)課。學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了分?jǐn)?shù)的意義，對分?jǐn)?shù)的定義很熟悉。因此，如果只是按照教材中的內(nèi)容，在黑板上抄一下真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)的定義，然后要求學(xué)生按定義指認(rèn)哪些是真分?jǐn)?shù)、哪些是假分?jǐn)?shù)，學(xué)生似乎也能掌握本節(jié)課的知識。

張奠宙（以下簡稱張）：是啊。我看了網(wǎng)上推薦的一些教案，大多數(shù)也是這么做的。其實，五年級的學(xué)生，已經(jīng)能夠進行比較深入的思考?，F(xiàn)在強調(diào)讓學(xué)生主動提出問題，我想在這節(jié)課上，學(xué)生一定在想：分?jǐn)?shù)還有假的嗎？為什么要分真和假呢？分真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)有什么好處呢？我想我們的教學(xué)，除了認(rèn)識真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，還需要引導(dǎo)學(xué)生思考并解決這些自然會產(chǎn)生的問題。

李：我聽的那節(jié)課，就是企圖打破“套用定義，反復(fù)練習(xí)”的教學(xué)定式。授課教師設(shè)計了四個活動。

活動一：區(qū)分真和假。要求學(xué)生比較兒子的年齡與母親的年齡，由學(xué)生探究出：兒子的年齡比母親的年齡?。ㄕ妫瑑鹤拥哪挲g大于或等于母親的年齡（假）。

活動三：對上述填寫好的分?jǐn)?shù)進行分類。探究：是否可以分為分子小于分母的和分子等于或大于分母的兩類？

活動四：在數(shù)軸上畫出這些分?jǐn)?shù)。

張：我覺得這樣的設(shè)計很有新意，其目的是引導(dǎo)學(xué)生理解真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的意義。讓我們來討論這幾個活動。

這里的活動一，能夠針對“真和假”進行討論，有創(chuàng)意。但是這個問題不大自然，容易橫生枝節(jié)。例如，很多人會想到：兒子的年齡不僅比母親的年齡小，而且會小幾十歲呢，等等。不如簡單地說：“（在平面內(nèi)）三角形內(nèi)角和等于180度”是真命題，“三角形內(nèi)角和為380度”是假命題。

李：實際教學(xué)過程中，學(xué)生感覺兒子、母親的年齡問題有點兒唐突，學(xué)生在回答時不太自然。

張：我覺得，這節(jié)課是談?wù)娣謹(jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，一開始從真命題和假命題入手未嘗不可。討論的重點是區(qū)分兩種“真假”：第一種，假警察一定不是警察，假人民幣一定不是人民幣，等等；第二種，假命題還是命題，假話還是一句話，等等。

李：明白了，我們討論的假分?jǐn)?shù)，仍然是分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)也有分子、分母、分?jǐn)?shù)線，和真分?jǐn)?shù)一樣，只不過分子不小于分母而已。學(xué)生一開始聽到假分?jǐn)?shù)這個詞，會作“假警察不是警察”那樣的聯(lián)想，于是會帶著“假分?jǐn)?shù)不是分?jǐn)?shù)”這樣的猜想走進課堂。所以用“命題有真和假，假命題也是命題”作為情境來引入新課，是不錯的選擇。然后告訴學(xué)生，我們今天學(xué)習(xí)的假分?jǐn)?shù)也是一種分?jǐn)?shù)。隨后進入活動二。

張：活動二是本課的關(guān)鍵。這一設(shè)計很到位，它讓學(xué)生思考：自己理解的分?jǐn)?shù)概念是否僅限于真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)什么時候會出現(xiàn)、其意義何在等一系列問題。這里，我想請問你兩個問題。首先，如果讓學(xué)生舉一個分?jǐn)?shù)的例子，學(xué)生是不是會毫無例外地舉出真分?jǐn)?shù)的例子？其次，在本節(jié)課之前，教材中是否出現(xiàn)過假分?jǐn)?shù)？

李：這兩個問題與學(xué)情分析相關(guān)。我相信，讓學(xué)生舉一個分?jǐn)?shù)的實際例子，大家百分之百會舉真分?jǐn)?shù)。在“分?jǐn)?shù)的意義”單元中，出現(xiàn)的都是分子n小于分母m的情境。直到這節(jié)課之前，教材中從來沒有出現(xiàn)過分子大于分母的分?jǐn)?shù)。所以，我覺得有必要在本節(jié)課增加一個貼近學(xué)生生活的實例，以使學(xué)生感悟真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)。

張：好。按照你說的“學(xué)情”學(xué)習(xí)真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，還得回到分?jǐn)?shù)定義中去尋求答案。事實上，分?jǐn)?shù)定義是“將一個整體平均分為m份，表示這樣的一份或n份的數(shù)，叫作分?jǐn)?shù)”。這里對份數(shù)n沒有限制，n份能夠比m份多，n可以是任何自然數(shù)。但是，學(xué)生頭腦里的分?jǐn)?shù)卻只是分子小于分母那樣的分?jǐn)?shù)。這是學(xué)情和教學(xué)內(nèi)容之間存在的矛盾。

李：我從來沒有在教材和課堂上見過這樣的討論，我覺得教材中回避了這個問題。確實，真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)都符合分?jǐn)?shù)的定義，但學(xué)生的頭腦里卻都是真分?jǐn)?shù)。正因為如此，有些教案中，要求以學(xué)生探究把5張餅或9張餅分給唐僧師徒四人為例，說明假分?jǐn)?shù)、的存在，并讓學(xué)生體會到在分餅過程中，每人先用整數(shù)除法分到1張餅或2張餅，之后再用分?jǐn)?shù)定義增加張餅。因此，當(dāng)分?jǐn)?shù)的分子大于分母時，它的數(shù)值可能會是某個整數(shù)再加上那樣的真分?jǐn)?shù)。這有點兒把帶分?jǐn)?shù)提前了。

張：我覺得出現(xiàn)分母為4的假分?jǐn)?shù)，為接下來帶分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)作一個鋪墊也未嘗不可。這個例子既說明了假分?jǐn)?shù)的存在性，又給出了假分?jǐn)?shù)可以化為整數(shù)+真分?jǐn)?shù)的一個例子。這樣做，使得學(xué)生對分?jǐn)?shù)的原始定義有了更深刻的了解。至于帶分?jǐn)?shù)這個名詞，以后再說。

李：這就是說，分?jǐn)?shù)的定義中對n沒有限制，表明假分?jǐn)?shù)同樣符合分?jǐn)?shù)的定義，所以假分?jǐn)?shù)也是一種分?jǐn)?shù)。但在實際應(yīng)用中，一般只討論真分?jǐn)?shù)，即n

張：對呀。我們?yōu)槭裁磳W(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)？說到底，分?jǐn)?shù)主要是為了處理小于1而大于0的量。也就是說，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的重點在于研究真分?jǐn)?shù)的意義。下一步學(xué)了帶分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)的結(jié)構(gòu)就更加清楚了。建議教材認(rèn)真處理分?jǐn)?shù)定義中n＞m的情形。

1.分?jǐn)?shù)的定義中n可以是任意自然數(shù)。

2.實際教學(xué)中使用的往往是n

3.所有分?jǐn)?shù)依n

4.一些假分?jǐn)?shù)可以化為整數(shù)+真分?jǐn)?shù),另一些假分?jǐn)?shù)可以直接化為整數(shù)。

張：對。在具體教學(xué)設(shè)計中，應(yīng)該盡可能體現(xiàn)這四個問題。

李：那么關(guān)于活動三，您有何評論？

張：先聽聽你的看法。

李：當(dāng)時在課堂上學(xué)生不知道分類的目的。我在巡視中看到學(xué)生的分類五花八門。有些預(yù)習(xí)過教材的學(xué)生，知道要分為真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)。所以最后還是由學(xué)生說出了真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)這樣的分類結(jié)果。

張：我覺得活動三的問題，開放度大了一些。真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)是西方學(xué)者在歷史上形成的。中國古代沒有真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的區(qū)分。這種歷史上給某對象命名的歷史事實，沒有必要讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，直接閱讀教材就好了。

李：通過上面的討論，我們進一步理解了分?jǐn)?shù)的定義中份數(shù)n可以大于等于分割數(shù)m,并且知道假分?jǐn)?shù)也是分?jǐn)?shù)，只是一些假分?jǐn)?shù)可以化為一個整數(shù)和一個真分?jǐn)?shù)之和,而另一些假分?jǐn)?shù)可以直接化為一個整數(shù)。因此假分?jǐn)?shù)的“假”，就假在這個“整數(shù)”上。

張：事實上，真真假假是各式各樣的。假分?jǐn)?shù)的“假”，就是因整數(shù)而產(chǎn)生的。假分?jǐn)?shù)也是分?jǐn)?shù)，和真分?jǐn)?shù)的差別只在一個整數(shù)。

李：這些建議，大家恐怕不容易接受。許多老師會覺得這堂課的主要任務(wù)是讓學(xué)生學(xué)會判別分?jǐn)?shù)的真和假，至于為什么要分真和假，小學(xué)階段不必涉及。分?jǐn)?shù)的定義只是形式定義而已，小學(xué)和初中階段對形式定義的教學(xué)，重在研究其相關(guān)的屬性。

張：仁者見仁，智者見智，大家討論就是了。不過，現(xiàn)在教學(xué)設(shè)計要落實三維目標(biāo)，不能只有知識與技能，還要有過程與方法。五年級學(xué)生學(xué)習(xí)真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，應(yīng)該理解它們的發(fā)生、發(fā)展過程，況且在學(xué)習(xí)上也不見得會有多難。

李：還有活動四呢？

張：這個活動，教材和許多教學(xué)設(shè)計中都有，大家的做法差不多。我沒有意見可以發(fā)表。只是有一點兒遺憾：分?jǐn)?shù)的定義中分?jǐn)?shù)是沒有大小的。我曾建議在其定義中“表示一份或幾份”后面加上“大小”二字，卻一直未被采納。希望有一天，分?jǐn)?shù)回到有大小的數(shù)系里來。

李：聽了您的一些建議，我想找機會試試。以前有人說對于數(shù)學(xué)大家玩的是數(shù)學(xué)概念，今天真是見識了。但是，是不是有時太求全，反而會忽略事物最重要的部分？我感覺小學(xué)生還是應(yīng)在具體的實踐活動中多感悟、多體會。

張：謝謝你的理解。我是大學(xué)教師，可以參加討論，但是實踐經(jīng)驗很少。

李：真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)內(nèi)容背后滲透的思想、方法，非常有研究價值。感謝張教授從與眾不同的角度所作的剖析。

（作者單位：江蘇阜寧縣阜師附屬小學(xué)）

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《這樣的數(shù)學(xué)作業(yè)有意思——小學(xué)數(shù)學(xué)探究性作業(yè)設(shè)計與實施》

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