如何破解原創(chuàng)題，命題專家來揭秘

劉東升

由于近年來參與各級(jí)命題（中考、縣區(qū)期末）工作，構(gòu)思了很多原創(chuàng)考題，有機(jī)會(huì)在這里與大家一起分享，并講解命題的心路歷程，揭秘破題關(guān)鍵，也是很有意義的一件事.首先要指出的是，所謂原創(chuàng)題，并不是“天外飛來”，它一定有原型或影子，而這些原型往往就來自教材或同學(xué)們熟悉的經(jīng)典習(xí)題，只是經(jīng)過改編、包裝甚至偽裝，掩蓋了問題的本來面目，這里破解的關(guān)鍵就需要同學(xué)們擁有孫悟空的“火眼金睛”.下面舉例說明：

原創(chuàng)題1 已知a+=，求的值.

命題揭秘：這是一道例題改編，先熟悉這兩種變形a+2=a2+2+，a-2=a2-2+.由a+=，可得a2+2+=11，a2+=9，進(jìn)一步a2-2+=9-2，配方得a - 2=7，所以a-=±，即下面我們?cè)侔炎帜竌換成m，然后再將條件適當(dāng)變形，得出如下變式題：

變式題 設(shè)m>1，m2+1=4m，求的值.

【講解】由m2+1=4m變形得（m+1）2=6m，（m-1）2=2m，于是=3，由m>1，所以.

原創(chuàng)題2 關(guān)于x的一元二次方程kx2-3x+1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根都在0和1之間（不包括0和1），則k的取值范圍是（ ）.

A. k>1 B. k<

C. 1

命題揭秘：首先由Δ=9-4k>0，得k<，且k≠0；接著從函數(shù)角度思考一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根：拋物線y=kx2-3x+1圖像如圖1，于是從“形”的角度發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)值一定為正數(shù)，即k-3+1>0，于是可以確定k的另一范圍，從而最終獲解.類似的，我們也可提供如下一道看似代數(shù)式求值問題，但本質(zhì)上卻需要通過二次函數(shù)圖像“以形助數(shù)”思考.

變式題 已知實(shí)數(shù)m，n滿足m-n2=1，則代數(shù)式m2+2n2+4m-1的最小值等于_______.

【講解】待分析的代數(shù)式有兩個(gè)變量，由已知條件變形m=n2+1，代入m2+2n2+4m-1中，消去m，可得（n2+1）2+2n2+4（n2+1）-1，整理，得（n2+4）2-12，令y=（n2+4）2-12，接下來就是分析函數(shù)y的最小值問題.如果簡(jiǎn)單地認(rèn)為最小值是-12，則是缺少對(duì)自變量取值范圍的常識(shí)理解.

因?yàn)閷?duì)于n2+4來說，可以看成拋物線（如圖2），根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)容易發(fā)現(xiàn)n2+4不小于4，故當(dāng)n2+4=4時(shí)，如圖3，拋物線y=（n2+4）2-12有最小值4.即原式最小值為4.

原創(chuàng)題3 已知：如圖4，O為正方形ABCD的中心，分別延長(zhǎng)OA到點(diǎn)F，OD到點(diǎn)E，使OF=2OA，OE=2OD，連接EF.將△FOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角得到△F′OE′（如圖5）.

（1） 探究AE′與BF ′的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

（2） 當(dāng)α=30°時(shí)，求證：△AOE′為直角三角形.

命題揭秘：這是我參與命題的一道中考試題，難點(diǎn)是第（2）問，不少考生都沒有規(guī)范證明，出現(xiàn)很多想當(dāng)然的錯(cuò)漏，需要排除干擾，把目光聚焦在△AOE′中，條件只有一個(gè)∠AOE′=60°，OE′=2OA，這時(shí)如果想到倍長(zhǎng)OA（或取OE′的中點(diǎn)），構(gòu)造等邊三角形就能獲得重要進(jìn)展了.事實(shí)上，命題構(gòu)思中，我們還有如下的兩個(gè)拓展，這里不妨鏈接如下，供大家思考：

拓展思考1：當(dāng)α為多少度時(shí)，AE′有最大（?。┲?？

拓展思考2：在圖4中，連接AE，將線段AE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段AE掃過的面積是多少？

【思路解析】拓展1中當(dāng)點(diǎn)A，E′，O在同一直線上時(shí)取得最大（小）值，即當(dāng)點(diǎn)E′落在OA延長(zhǎng)線上時(shí)，AE′有最小值；當(dāng)點(diǎn)E′落在AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，AE′取得最大值.而拓展2，有一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)就是以O(shè)為圓心，OA，OE為半徑的同心圓之間的圓環(huán)，而這是個(gè)典型錯(cuò)誤，較小的圓應(yīng)該是過O作OH⊥AE于H，則OH是小圓的半徑.

原創(chuàng)題4 如圖6，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2），取一點(diǎn)M（m，0），連接AM，作線段AM的垂直平分線l1，過點(diǎn)M作x軸的垂線l2，記l1，l2的交點(diǎn)為P.

（1） 當(dāng)m=3時(shí)，在圖中補(bǔ)全圖形（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2） 小敏多次取不同數(shù)值m，得出相應(yīng)的點(diǎn)P，并把這些點(diǎn)用平滑的曲線連接起來，發(fā)現(xiàn)：這些點(diǎn)P竟然在一條曲線L上！

①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），試猜想并說明曲線L是哪種曲線；

②設(shè)曲線L的最低點(diǎn)為Q，直線l1上有一動(dòng)點(diǎn)N，連接QN.當(dāng)△APM為等邊三角形，且QN取得最小值時(shí)，求線段QN所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

規(guī)范解答：（因?yàn)檫@是一道中考原創(chuàng)?？碱}，下面先給出解答，然后再解說命題揭秘）

（1） 考查尺規(guī)基本作圖，屬于送分題.

（2） ①猜想：曲線L是拋物線.

理由如下：

如圖7，連接AP，作PB⊥y軸于B，由l1垂直平分AM得PA=PM=y.

在Rt△ABP中，BP=OM=x，BA=PM-OA=y-2，根據(jù)勾股定理得（y-2）2+x2=y2，整理得y=x2+1.

即曲線L是二次函數(shù)y=x2+1的圖像，即為拋物線.

②如圖8，當(dāng)△APM為等邊三角形時(shí)，∠AMP=60°，

在Rt△AOM中，∠AMO=30°，∴AM=4，OM=2，

所以PM=AM=4，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）.

根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)，易知P′點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，4）.

設(shè)直線l1交y軸于C點(diǎn)，可得點(diǎn)C坐標(biāo)（0，-2），由點(diǎn)C，P可確定直線l1的解析式為y=x-2或y=-x-2.

易得曲線L的最低點(diǎn)為Q，坐標(biāo)為（0，1），

如圖8，當(dāng)QN取得最小值時(shí)，作QN⊥l1于N點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為

命題揭秘：從上面的解答來看，這道考題的前兩問并不復(fù)雜，主要難點(diǎn)在最后一問.概括來說，需要突破以下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

第一，△APM為等邊三角形能帶來哪些特殊信息？

經(jīng)過深入思考，等邊三角形這個(gè)強(qiáng)化條件能帶來點(diǎn)P在拋物線上的兩處特定位置，這兩個(gè)位置恰好關(guān)于y軸對(duì)稱，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）或（-2，4）.此外，還能發(fā)現(xiàn)此時(shí)Rt△AOM也是特殊的三角形（含30°的直角三角形），明確其特殊性是后續(xù)解題的關(guān)鍵.

第二，當(dāng)QN取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q、N位置如何？

明確函數(shù)圖像為拋物線之后，其最低點(diǎn)Q就是拋物線的頂點(diǎn)，而點(diǎn)N的位置如何呢？根據(jù)點(diǎn)到直線上各點(diǎn)距離的最小值是“垂線段”，所以作QN⊥l1于N點(diǎn)得到垂線段QN. 接著要思考的就是點(diǎn)N的坐標(biāo)，從而明確線段QN所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.這里要注意的還要考慮該函數(shù)解析式的自變量取值范圍.