厚金屬板與任意方位圓柱線圈間的電磁力計(jì)算

羅垚

(武漢大學(xué) 電氣工程學(xué)院，湖北 武漢 430072)

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厚金屬板與任意方位圓柱線圈間的電磁力計(jì)算

羅垚

(武漢大學(xué) 電氣工程學(xué)院，湖北 武漢 430072)

摘要:針對(duì)一個(gè)交流電激勵(lì)的圓柱線圈傾斜放置于金屬板上方時(shí)，它們之間的電磁作用力無法以傳統(tǒng)方法進(jìn)行解析計(jì)算的問題，引入高階矢量勢(shì)求解該問題，并采用矢量分析和Struve函數(shù)化簡(jiǎn)，可得到適用于任意方位圓柱線圈的二重積分表達(dá)式。所得結(jié)果表明任意方位圓柱線圈至多受到兩個(gè)方向力的作用。在線圈軸垂直或平行于導(dǎo)電板的特殊情形，表達(dá)式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為單重積分，而線圈將只受垂直力的作用。隨后以數(shù)值算例對(duì)給出公式的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。數(shù)值結(jié)果表明，對(duì)于線圈軸的某個(gè)傾角，垂直力分量周期均值可以為零，而水平力分量周期均值將在某個(gè)傾角處達(dá)到最大值。當(dāng)線圈通以直流電時(shí)，僅當(dāng)金屬板的磁導(dǎo)率與空氣磁導(dǎo)率一致時(shí)線圈才不受電磁力的作用。

關(guān)鍵詞:圓柱線圈；電磁力；高階矢量勢(shì)；Bessel函數(shù)；Struve函數(shù)

0引言

當(dāng)一個(gè)置于平板導(dǎo)體附近的矩形截面圓柱線圈通以交變電流時(shí)，由于線圈的交變電磁場(chǎng)將在導(dǎo)體中感應(yīng)出渦流，線圈本身將受到這一渦流的電磁力作用。這樣的電磁結(jié)構(gòu)在電工技術(shù)中有許多應(yīng)用，如快速動(dòng)作斷路器(fast acting circuit breaker,FACB)[1]。對(duì)這種結(jié)構(gòu)的電磁作用力的計(jì)算，常見于線圈軸線與導(dǎo)電體表面垂直的情形[1-3]。若線圈軸線傾斜于導(dǎo)電體表面，則此時(shí)的電磁力分析傳統(tǒng)上只能借助于純數(shù)值方法，如有限元法(FEM)，邊界元法(BEM)。然而，考慮到純數(shù)值方法無法給出待求電磁力與電磁系統(tǒng)各結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，故在這一問題中解析或半解析工作仍然具有不可取代的優(yōu)勢(shì)。在已有工作中，為了便于計(jì)算通常將磁通密度B表為磁矢勢(shì)A的旋度，但這一方法卻無法用以處理線圈軸與導(dǎo)電面不垂直的一般情形。為了對(duì)一般方位的線圈電磁力進(jìn)行解析處理，我們將引入高階矢量勢(shì)并借助Fourier積分求得一般情形的電磁力表達(dá)式。所得的電磁力表達(dá)式包括3個(gè)函數(shù)，它們均含二重積分，在線圈軸垂直于導(dǎo)電面的特殊情形可化為單重積分表達(dá)式。

1導(dǎo)電板附近任意載流環(huán)的電磁力作用

設(shè)有電導(dǎo)率κ，磁導(dǎo)率μ=μrμ0(μ0=4π×10-7H/m)的無窮大金屬板，其厚度較之趨膚深度而言可視為無窮大，即可將該金屬板視為一半無窮導(dǎo)電空間。在其上方的非導(dǎo)電空間磁導(dǎo)率為μ0，有一任意方位和形狀的載流環(huán)c置于其中，而環(huán)c上載有電流i=Icosωt。由于i隨時(shí)間變化，故其將在下方的導(dǎo)電板中感應(yīng)出渦流，而環(huán)c本身則將受到這一渦流在上半空間激發(fā)出的磁場(chǎng)的電磁力作用。傳統(tǒng)的勢(shì)論僅能處理載流環(huán)為水平的情形而無法對(duì)任意方位的載流環(huán)進(jìn)行解析計(jì)算。然而，若考慮Coulomb規(guī)范

divA=0,

(1)

則可對(duì)A可引入高階矢勢(shì)P[4]

A=rotP,

(2)

(3)

其中：P1，P2為兩個(gè)僅與坐標(biāo)有關(guān)的標(biāo)量函數(shù)，ex為x方向的單位矢量。由此可以Fourier積分求得導(dǎo)電板中的感應(yīng)電流在上半空間中激發(fā)的磁矢勢(shì)

(4)

其中

(5)

(6)

式(4)由Biot-Savart定律得出，故對(duì)環(huán)c的方位與形狀均無限制。另由式(4)，式(6)的形狀可以看出，無論載流環(huán)的形狀與方位如何，由導(dǎo)電板中感應(yīng)電流在上半空間激發(fā)的磁矢勢(shì)均不含垂直分量。

得到磁矢勢(shì)A后即由B=rotA得到感應(yīng)磁通密度。由Ampere定律得到隨時(shí)間變化的微分力為

dF(t)=I(t)drc×B(t)。

(7)

其中B(t)為導(dǎo)電板中感應(yīng)電流在上半空間激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。對(duì)于時(shí)諧激勵(lì)源，我們關(guān)心的通常是一個(gè)周期內(nèi)的平均力

(8)

其中*表示復(fù)共軛量。從而載流環(huán)在一個(gè)周期內(nèi)所受的平均力將為

(9)

2任意方位矩形截面圓柱線圈感應(yīng)場(chǎng)的確定

設(shè)上半非導(dǎo)電空間中有一載流圓環(huán)圓心為A，半徑為R，圓環(huán)軸線為l，所載電流為i=Icosωt。若取過點(diǎn)A且垂直于導(dǎo)電平面的直線為z軸，將l在z=0上的投影取為y軸，并設(shè)l與z=0交于點(diǎn)B，則可設(shè)OA=H，AB=a，并記AB與z軸的夾角為γ，如圖1所示。在這樣的坐標(biāo)選擇下，我們得到源點(diǎn)矢量為

(10)

運(yùn)用積分

(11)

(12)

其中I1(α)為第一類一階變形Bessel函數(shù)，我們得到矢量激勵(lì)普函數(shù)為

圖1　任意位置圓環(huán)的坐標(biāo)系選取Fig.1　　　　Selection of coordinate system for arbitrarily　　　 located circular loop

(13)

其中

u=nsinγ-jpcosγ。

(14)

從而

(-exn+eym)dmdn。

(15)

矩形截面圓柱線圈的感應(yīng)場(chǎng)可由對(duì)單個(gè)載流圓環(huán)的感應(yīng)場(chǎng)進(jìn)行積分得到。設(shè)有一導(dǎo)電半無窮空間上方的圓柱線圈，其匝數(shù)為N，內(nèi)外半徑分別為R1，R2，高為2h，坐標(biāo)系取法如圖1，這時(shí)線圈軸與z軸夾角為γ，線圈中心點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)間的距離為H，AB=d。將式(15)對(duì)軸向與徑向積分，并運(yùn)用積分

(16)

其中Ln(x)為n階變形Struve函數(shù)，則線圈產(chǎn)生的感應(yīng)磁通密度為

(e2hpcosγ-1)e-j(mx+ny)-pzg1(u)dmdn。

(17)

(e2hpcosγ-1)e-j(mx+ny)-pzg1(u)dmdn。

(18)

(e2hpcosγ-1)e-j(mx+ny)-pzg1(u)dmdn。

(19)

3矩形截面圓柱線圈的受力計(jì)算

首先有

(20)

運(yùn)用式(11)，式(12)得

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

其中

v=psinγ-jncosγ。

(26)

從而

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

將式(21)～式(25)中的I置換為NI/2h(R2-R1)，我們得到矩形截面圓柱線圈所受的力為

ez(-wy+jwxcosγ)]。

(32)

也就是說，導(dǎo)電板上方任意方位的圓柱線圈將只受到y(tǒng)與z方向的力，這是因?yàn)閳A柱線圈關(guān)于x軸對(duì)稱。對(duì)于軸線平行于導(dǎo)電平面的圓柱線圈，有γ=π/2，式(32)中各函數(shù)均將趨于0/0的不定式情形，顯然此時(shí)僅有z向的力不為零，經(jīng)過極限步驟

(33)

得到其值為

(34)

式(34)表明水平圓柱線圈的受力與線圈本身的長(zhǎng)度無關(guān)。這是可以理解的，因?yàn)閷?duì)無窮大金屬板而言水平軸線圈的每匝都處于同等位置，每匝線圈與金屬板的電磁相互作用特性是一樣的，因此電磁力與匝數(shù)有關(guān)而與線圈長(zhǎng)度無關(guān)。

4檢驗(yàn)：線圈軸垂直于導(dǎo)電平面的特殊情形

現(xiàn)以線圈軸垂直于導(dǎo)電平面的特殊情形來檢驗(yàn)式(32)的正確性。在這種情形有γ=0。對(duì)這種軸對(duì)稱的場(chǎng)，應(yīng)只有力的垂直分量而無水平分量。引入

(35)

(36)

從而Fy=0。另一方面有

(37)

此式與文獻(xiàn)[3]中給出的表達(dá)式一致。

5數(shù)值計(jì)算與比較

作為算例，取線圈參數(shù)H=0.1 m，h=0.03 m，R1=0.03 m，R2=0.08 m，N=500，激勵(lì)電流參數(shù)為I=5 A，ω=2 000π rad/s，金屬板參數(shù)κ=5.8×107S/m，μr=1(銅)，以式(32)計(jì)算Fy與Fz隨夾角γ的變化值并繪制曲線圖，并將此模型以有限元軟件CST Studio仿真的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，在仿真中分別取γ=0°，15°，30°，45°，60°，75°，90°。其結(jié)果如圖2所示，圖中的離散點(diǎn)即為CST的仿真計(jì)算結(jié)果。

圖2　圓柱線圈受力隨夾角γ的變化Fig.2　　　　Forces acting on the cylindrical coils　　　 dependent on the axial angle γ

由圖2可以看到，在我們所取的各項(xiàng)參數(shù)下，γ=0，π/2時(shí)Fy=0，且Fy有一最大值出現(xiàn)在γ=70°附近，隨著γ的變化，F(xiàn)y將保持方向不變。而Fz在γ=60°附近有一零點(diǎn)，過零之后Fz將反向。

保持其他各參數(shù)不變，取κ=1×107S/m(普通鐵磁材料電導(dǎo)率)，我們觀察式(34)所描述的水平軸圓柱線圈的受力隨激勵(lì)電流角頻率ω變化的規(guī)律。分別繪制μr=1，μr=100，μr=1 000時(shí)的線圈受力曲線，并以將此模型以有限元軟件CST Studio仿真的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，在仿真中分別取ω=1 000，3 000，5 000，7 000，9 000 rad/s，其結(jié)果如圖3所示，圖中離散點(diǎn)為CST仿真結(jié)果。在此處的計(jì)算中假定μr為常數(shù)，即不考慮磁材料飽和以及磁滯的影響。

圖3　平行軸圓柱線圈受力隨電流角頻率ω的變化Fig.3　　　　Forces acting on the cylindrical coils 　　　dependent on the axial angle ω

由圖3可以看到，當(dāng)μr=100，激勵(lì)電流角頻率ω約為4 000 rad/s時(shí)水平線圈受力平均值可以為零。μr=1，ω=0即線圈通以直流電時(shí)線圈受力為零，但在μr≠1的情形，ω=0時(shí)線圈受力并不為零。這實(shí)際上反映了鐵磁材料對(duì)通電線圈的磁力作用。

6結(jié)論

借助高階矢量勢(shì)，我們能夠解析地處理厚金屬板上方的任意放置的矩形截面圓柱線圈的受力問題。除了線圈軸垂直或平行于導(dǎo)電平面的特殊情形，該線圈將受到兩個(gè)方向的電磁作用力，其中水平力沿著線圈軸在z=0平面的投影方向，另一個(gè)力沿著垂直于導(dǎo)電平面的方向。當(dāng)線圈軸垂直或平行于導(dǎo)電平面時(shí)，線圈將僅受到垂直于導(dǎo)電平面方向的作用力。隨著線圈軸與z軸夾角γ的變化，垂直方向力分量的時(shí)間平均值將在某個(gè)特定γ處變?yōu)榱?。?duì)于μr>1的金屬板，線圈所受平均電磁力可能對(duì)某個(gè)特定電流頻率變?yōu)榱?。電流角頻率ω=0即激勵(lì)電流為直流時(shí)，僅當(dāng)μr=1時(shí)線圈所受電磁力才會(huì)為零。

參 考 文 獻(xiàn):

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(編輯：劉琳琳)

Calculations for electromagnetic forces between thick metal plates and cylindrical coils of arbitrary location

LUO Yao

(School of Electrical Engineering,Wuhan University,Wuhan 430072,China)

Abstract:For an inclined circular coil with alternating current excitation and placed above a thick metal plate,analytical solution of electromagnetic forces between them can not be found by traditional methods.Using the high-order vector potential,the problem was solved analytically,and vector analysis and Struve functions were employed to simplify the final results.The expressions for the electromagnetic forces acting on the cylindrical coil of arbitrary position were obtained.The results indicate that there are at most two electromagnetic forces acting on the coils.When the axes of coils are perpendicular or parallel to the conducting surface,the results can be simplified to 1-D integrals and only perpendicular component exists.The numerical calculations were implemented to verify the obtained results.The results show that the time mean value of the vertical force component can vanish for certain inclined angles of coil axis,and the horizontal force component can attain maximum value for some other angles.If direct currents flow through the coil,the electromagnetic forces will vanish only when the plate has the same permeability with the air.

Keywords:cylindrical coils; electromagnetic force；high-order vector potential; Bessel functions; Struve functions

收稿日期:2013-05-04

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金(51507115)

作者簡(jiǎn)介:羅垚(1983—)，男，博士，研究方向?yàn)殡姶艌?chǎng)計(jì)算及數(shù)學(xué)物理方程。

通訊作者:羅垚

DOI:10.15938/j.emc.2016.05.004

中圖分類號(hào):TM 12

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1007-449X(2016)05-0023-05