Perfect 3-李代數(shù)的T-導(dǎo)子

白瑞蒲,高彥沙,張穎華

(河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河北 保定　071002)

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Perfect 3-李代數(shù)的T-導(dǎo)子

白瑞蒲,高彥沙,張穎華

(河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河北 保定071002)

摘要:在3-李代數(shù)上定義T-導(dǎo)子的概念,得到了3-李代數(shù)的T-導(dǎo)子李代數(shù)TDer(L),對T-導(dǎo)子代數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究，并討論了T-導(dǎo)子代數(shù)與導(dǎo)子代數(shù)和內(nèi)導(dǎo)子代數(shù)的關(guān)系,證明了內(nèi)導(dǎo)子代數(shù)是T-導(dǎo)子代數(shù)的理想在特征不為5的域F上的Perfect 3-李代數(shù),它的內(nèi)導(dǎo)子代數(shù)及導(dǎo)子代數(shù)在T-導(dǎo)子代數(shù)的中心化子為零.

關(guān)鍵詞:3-李代數(shù)；T-導(dǎo)子；導(dǎo)子；內(nèi)導(dǎo)子

MSC2010:17B05；17B30

3-李代數(shù)[1-2]在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用[3-5]，特別是數(shù)域上的度量3-李代數(shù)為膜理論中的模型建立提供了重要依據(jù)[5-7].一個代數(shù)系統(tǒng)的導(dǎo)子代數(shù)在代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究中起著非常重要的作用.為了研究代數(shù)結(jié)構(gòu),研究者們在2-元代數(shù)系統(tǒng)上定義了導(dǎo)子、次導(dǎo)子、廣義導(dǎo)子等概念[8-9].本文將在3-李代數(shù)上定義T-導(dǎo)子,并對其性質(zhì)以及T-導(dǎo)子代數(shù)與導(dǎo)子代數(shù)和內(nèi)導(dǎo)子代數(shù)的關(guān)系進(jìn)行研究.

1預(yù)備知識

首先給出本文要用到的基本概念[9-11].

2主要性質(zhì)

定義2設(shè)L是域F上的3-李代數(shù),D是L→L的線性變換.如果對于?x、y、u、v、w∈L有D[x,y,[u,v,w]]=[Dx,y,[u,v,w]]+[x,Dy,[u,v,w]]+[x,y,[Du,v,w]]+[x,y,[u,Dv,w]]+[x,y,[u,v,Dw]]成立,那么D叫做L的T-導(dǎo)子,記TDer(L)為所有T-導(dǎo)子的集合.

定理1對于任意的3-李代數(shù)L,TDer(L)是一個線性李代數(shù).

證明:令D1,D2∈TDer(L),x、y、u、v、w∈l,只需驗(yàn)證[D1,D2]∈TDer(L)即可.根據(jù)定義2 直接計(jì)算可得[D1,D2]([x,y,[u,v,w]])=D1D2([x,y,[u,v,w]])-D2D1([x,y,[u,v,w]])=[[D1,D2]x,y,[u,v,w]]+[x,[D1,D2]y,[u,v,w]]+[x,y,[[D1,D2]u,v,w]]+[x,y,[u,[D1,D2]v,w]]+[x,y,[u,v,[D1,D2]w]],因此,[D1,D2]∈TDer(L).定理得證.

通過下面的例子,可以看出T-導(dǎo)子代數(shù)不等于導(dǎo)子代數(shù).

例1設(shè)L是4維3-李代數(shù),e1、e2、e3、e4是它的一組基.假設(shè)dimL1=2,L具有乘法表

[e1,e3,e4]=e2，[e2,e3,e4]=e1,[e1,e2,e3]=0,[e1,e2,e4]=0.

首先求出內(nèi)導(dǎo)子李代數(shù).由定義2和3-李代數(shù)L的乘法表直接計(jì)算可得ad(L)的一組基在3-李代數(shù)L的基e1、e2、e3、e4的矩陣為

所以任意一個內(nèi)導(dǎo)子的矩陣為

定理2如果L是Perfect 3-李代數(shù),則ad(L)是李代數(shù)TDer(L)的理想.

注:如果L是Perfect3-李代數(shù),那么Der(L)一定不是李代數(shù)TDer(L)的理想.在例1中,E11+E22、E33-E44、E12+E21、E13、E14、E23、E24、E34、E43是Der(L)的一組基.而E11、E22、E33-E44、E12、E13、E14、E21、E23、E24、E34、E43是TDer(L)的一組基.

令D1=E11+2E22+E33-E44+E12+E13+E14+E21+E23+E24+E34+E43,D=E11+E22+E33-E44+E12+E21+E13+E14+E23+E24+E34+E43,其中D∈Der(L)，D1∈TDer(L).因?yàn)閇D1,D]=E21-E12+E23+E24?Der(L)，所以,[TDer(L)，Der(L)]?Der(L),即Der(L)不是李代數(shù)TDer(L)的理想.

定理3設(shè)L是域F上的Perfect3-李代數(shù),CharF≠5,那么ad(L)在李代數(shù)TDer(L)中的中心化子CTDer(L)(ad(L))=0.

證明:令D∈CTDer(L)(ad(L)),對于?x、y∈L有[D，ad(x,y)]=0.因此,?x、y、z∈L，D([x,y,z])-[x,y,Dz]=[D,ad(x,y)](z)=0.所以D([x,y,z])=[x,y,Dz].類似的討論可以得到D([x,y,z])=[x,y,Dz]=[Dx,y,z]=[x,Dy,z],?x、y、z∈L.對于x1、x2、x3、x4、x5∈L,由定義2得D([x1,x2,[x3,x4,x5]])=[Dx1,x2,[x3,x4,x5]]+[x1,Dx2,[x3,x4,x5]]+[x1,x2,[Dx3,x4,x5]]+[x1,x2,[x3,Dx4,x5]]+[x1,x2,[x3,x4,Dx5]].由于D([x1,x2,[x3,x4,x5]])=[Dx1,x2[x3,x4,x5]]=[x1,Dx2,[x3,x4,x5]]=[x1,x2,[Dx3,x4,x5]]=[x1,x2,[x3,Dx4，x5]]=[x1,x2,[x3,x4,Dx5]].因此,D([x1,x2,[x3,x4,x5]])=5D([x1,x2,[x3,x4,x5]]).由于CharF≠5,所以D([x1,x2,[x3,x4,x5]])=0.因?yàn)長是Perfect3-李代數(shù),L的每一個元素都能夠表示成[x1,x2,[x3,x4,x5]]的線性組合.所以D=0,即TDer(L)的中心化子CTDer(L)(ad(L))=0.

推論1設(shè)L是域F上的Perfect3-李代數(shù),CharF≠5,那么Der(L)在李代數(shù)TDer(L)中的中心化子CTDer(L)(Der(L))=0.證畢.

證明:如果CTDer(L)(Der(L))≠0,則存在D∈TDer(L)≠0,使得[D，Der(L)]=0.因?yàn)閍d(L)?Der(L),得到[D,ad(L)]=0,所以CTDer(L)(ad(L))≠0,與定理3矛盾.結(jié)論證畢.

3結(jié)論

定義了T-導(dǎo)子的概念,通過給出3個定理和1個推論對T-導(dǎo)子代數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究,證明了內(nèi)導(dǎo)子代數(shù)是T-導(dǎo)子代數(shù)的理想.在特征不為5的域上Perfect 3-李代數(shù),它的內(nèi)導(dǎo)子代數(shù)及導(dǎo)子代數(shù)在T-導(dǎo)子代數(shù)的中心化子為零.

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(責(zé)任編輯：王蘭英)

T-derivations of perfect 3-Lie algebras

BAI Ruipu,GAO Yansha,ZHANG Yinghua

(College of Mathematics and Information Science,Hebei University,Baoding 071002,China)

Abstract:The T-derivations of 3-Lie algebras,T-derivation Lie algebra TDer(L),and its structure were studied.The relations between TDer(L) and Der(L),ad(L) were discussed.It is proved that the inner derivation algebra ad(L) is an ideal of TDer(L).If L is a perfect 3-Lie algebra over a field F with Char F≠5,centralizers of derivation algebra and inner derivation algebra in TDer(L) are both zero.

Key words:3- Lie algebra；T-derivation；derivation；inner derivation

DOI：10.3969/j.issn.1000-1565.2016.01.002

收稿日期：2015-09-13

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11371245)；河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(A2014201006)

中圖分類號:O175.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1000-1565(2016)01-0007-04

第一作者:白瑞蒲(1960—),女,河北保定人,河北大學(xué)教授,博士,主要從事李群、李代數(shù)研究.

E-mail:bairuipu@hbu.edu.cn