圓柱外螺紋單一中徑精確公式與近似公式的計(jì)算結(jié)果對(duì)比

張姍姍 王健 / 上海市計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究院

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圓柱外螺紋單一中徑精確公式與近似公式的計(jì)算結(jié)果對(duì)比

張姍姍 王健 / 上海市計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究院

摘 要選用不同螺旋升角、不同牙型角、不同螺距的螺紋校對(duì)規(guī)，采用三針?lè)y(cè)量圓柱外螺紋的單一中徑。分別使用近似公式和精確公式計(jì)算圓柱外螺紋單一中徑的測(cè)量結(jié)果。對(duì)比圓柱外螺紋單一中徑精確公式和近似公式的計(jì)算結(jié)果，進(jìn)而得出近似公式和精確公式分別適用的范圍。

關(guān)鍵詞圓柱螺紋；單一中徑；三針?lè)ǎ挥?jì)算公式

0　引言

國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 28703-2012 《圓柱螺紋檢測(cè)方法》分別給出了在參考條件下對(duì)稱(chēng)圓柱外螺紋和非對(duì)稱(chēng)圓柱外螺紋單一中徑的精確計(jì)算公式。而長(zhǎng)期以來(lái)，國(guó)內(nèi)外對(duì)于對(duì)稱(chēng)和非對(duì)稱(chēng)圓柱外螺紋單一中徑的測(cè)量結(jié)果計(jì)算多數(shù)采用螺旋升角為零的近似計(jì)算公式。本文將探討精確計(jì)算公式和近似計(jì)算公式兩者的差別，以及符合什么特質(zhì)的螺紋可以采用近似計(jì)算公式，什么類(lèi)型的螺紋適合采用精確計(jì)算公式。

1　三針?lè)y(cè)量對(duì)稱(chēng)圓柱外螺紋單一中徑的近似計(jì)算公式

式中：d2—— 被測(cè)螺紋的單一中徑值；

m —— 在參考條件下，量針與螺紋兩側(cè)牙槽接觸，量針中心在垂直于螺紋軸線(xiàn)方向上的距離；

dm—— 量針直徑；

α/2 —— 被測(cè)螺紋的牙側(cè)角，對(duì)稱(chēng)螺紋的α/2 = α1= α2，rad；

P —— 被測(cè)螺紋的螺距值

2　三針?lè)y(cè)量圓柱外螺紋單一中徑的精確計(jì)算公式

2.1三針?lè)y(cè)量對(duì)稱(chēng)圓柱外螺紋單一中徑的精確計(jì)算公式

式中：β —— 量針中心與切點(diǎn)的連線(xiàn)與θ平面的夾角，rad；

Ph—— 被測(cè)螺紋的導(dǎo)程；

θ —— 量針與牙側(cè)面切點(diǎn)和螺紋軸線(xiàn)的平面（θ平面）與過(guò)量針中心和螺紋軸線(xiàn)平面的夾角，rad；

δB —— 牙側(cè)面形狀偏差等未考慮的非理想因素所引入的修正值

θ和β按式（3）、（4）進(jìn)行迭代計(jì)算：

2.2三針?lè)y(cè)量非對(duì)稱(chēng)圓柱外螺紋單一中徑的精確計(jì)算公式

非對(duì)稱(chēng)圓柱外螺紋的單一中徑可轉(zhuǎn)換成對(duì)稱(chēng)圓柱外螺紋的單一中徑計(jì)算。首先將左右兩側(cè)牙側(cè)角α1、α2分別替代對(duì)稱(chēng)圓柱外螺紋單一中徑計(jì)算公式中的α/2，求得左右兩側(cè)的當(dāng)量中徑d21、d22。在參考條件下，非對(duì)稱(chēng)圓柱外螺紋的單一中徑按式（5）計(jì)算。

3　計(jì)算公式比較

3.1選用公差帶較小的60°公制圓柱外螺紋校對(duì)規(guī)進(jìn)行計(jì)算對(duì)比

以M6×1-6g(TT)為例，給出該圓柱外螺紋校對(duì)規(guī)的參數(shù)，如表1所示。

表1　M6×1-6g的參數(shù)

3.1.1近似計(jì)算公式

使用式（1）計(jì)算，得到如下結(jié)果：

3.1.2精確計(jì)算公式

使用式（3）（4）計(jì)算，得到如下結(jié)果：

根據(jù)式（6）（7），可以迭代計(jì)算出θ和β的值：

θ = 0.005 321 648 936 321 35 rad；

β = 0.051 977 989 773 942 8 rad

將θ和β分別代入式（6）（7）（2）中，得到如下結(jié)果：

根據(jù)校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)室的要求，評(píng)定出螺紋校對(duì)規(guī)單一中徑測(cè)量結(jié)果的不確定度為U = 2 μm（k = 2），故得到該螺紋校對(duì)規(guī)近似計(jì)算公式的計(jì)算結(jié)果為d2= 5.306 mm，U = 2 μm（k = 2），也可表示為[5.304 mm，5.308 mm]，包含概率為95%。該計(jì)算結(jié)果在國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)允許范圍[5.303 mm，5.311 mm]內(nèi)。精確公式的計(jì)算結(jié)果為d2= 5.305 mm，U = 2 μm（k = 2），也可表示為[5.303 mm，5.307 mm]，包含概率為95%。該計(jì)算結(jié)果也在國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)允許范圍[5.303 mm，5.311 mm]內(nèi)。所以，可以認(rèn)為此螺紋校對(duì)規(guī)使用近似公式和精確公式對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響不大。

3.2選用30°的公制梯形外螺紋進(jìn)行計(jì)算對(duì)比

以Tr20×5－7 h(TZ)為例，給出該圓柱外螺紋校對(duì)規(guī)的參數(shù)，如表2所示。

3.2.1近似計(jì)算公式

使用式（1）計(jì)算，得到如下結(jié)果：

3.2.2精確計(jì)算公式

使用式（3）（4）計(jì)算，得到如下結(jié)果：

根據(jù)式（8）（9），可以迭代計(jì)算出θ和β的值：

θ = 0.012 438 167 117 593 rad；

β = 0.088 160 742 331 301 9 rad

將θ和β代入式（8）（9）（2）中，得到如下結(jié)果：

根據(jù)校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)室的要求，評(píng)定出螺紋校對(duì)規(guī)單一中徑測(cè)量結(jié)果的不確定度為U = 2 μm（k = 2），故得到該螺紋校對(duì)規(guī)近似公式的計(jì)算結(jié)果為d2= 17.529 mm，U = 2 μm（k = 2），也可表示為[17.527 mm，17.531 mm]，包含概率為95%。該計(jì)算結(jié)果超出了國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的允許范圍[17.481 mm，17.503 mm]。而精確公式的計(jì)算結(jié)果為d2= 17.492 mm，U = 2 μm （k = 2），也可表示為[17.490 mm，17.494]，包含概率為95%。該計(jì)算結(jié)果在國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)允許范圍[17.481 mm，17.503 mm]內(nèi)。由上述比較可得知，如果根據(jù)近似公式計(jì)算結(jié)果判定，會(huì)使符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的螺紋校對(duì)規(guī)被判定為不符合，因此，此螺紋校對(duì)規(guī)僅可以使用精確公式計(jì)算，不能使用近似公式計(jì)算。

注1：假設(shè)測(cè)量力為0，即不進(jìn)行彈性變形的修正。

表2　Tr20×5-7h的參數(shù)

注2：假設(shè)牙側(cè)面形狀偏差等未考慮的非理想因素所引入的修正值為零，即δB = 0。

4　近似公式和精確公式計(jì)算結(jié)果的比較

4.1對(duì)稱(chēng)圓柱外螺紋單一中徑計(jì)算

以多種規(guī)格的對(duì)稱(chēng)圓柱外螺紋校對(duì)規(guī)為例，給出對(duì)稱(chēng)圓柱外螺紋單一中徑計(jì)算的相關(guān)參數(shù)，如表3所示。

由表3可見(jiàn)，所有公制圓柱外螺紋（M），近似公式和精確公式的計(jì)算結(jié)果之差Δd2≤0.002 mm。取Δd2= 0.002 mm，計(jì)算歸一化偏差值En：

|En| < 1，而且近似公式和精確公式的計(jì)算結(jié)果都包含在國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的上下偏差之內(nèi)。而對(duì)于梯形螺紋（Tr），使用近似公式和精確公式的計(jì)算結(jié)果之差Δd2差異較大。在表3所列的梯形螺紋中，對(duì)于公稱(chēng)直徑相對(duì)于螺距較小的螺紋，也就是螺旋升角較大的螺紋，例如Tr16×4-7h(ZS)和Tr20× 5-7h(TT)，其單一中徑測(cè)量結(jié)果的不確定度為U = 2 μm（k = 2），近似公式與精確公式的計(jì)算結(jié)果之差Δd2> 0.02 mm。取Δd2= 0.02 mm，計(jì)算歸一化偏差值En：

|En| < 1，因此近似公式的計(jì)算結(jié)果不能作為最終的測(cè)量結(jié)果。

4.2非對(duì)稱(chēng)圓柱螺紋單一中徑計(jì)算

以比較極端的3°30°鋸齒形圓柱外螺紋為例來(lái)說(shuō)明非對(duì)稱(chēng)圓柱外螺紋使用近似公式和精確公式計(jì)算單一中徑的差異。

4.2.1三針?lè)y(cè)量3°30°非對(duì)稱(chēng)鋸齒形圓柱外螺紋單一中徑的近似計(jì)算公式

4.2.2非對(duì)稱(chēng)圓柱外螺紋近似公式和精確公式計(jì)算單一中徑的比較

以多種規(guī)格的非對(duì)稱(chēng)圓柱外螺紋校對(duì)規(guī)為例，給出非對(duì)稱(chēng)圓柱外螺紋單一中徑計(jì)算的相關(guān)參數(shù)，如表4所示。

由表4可見(jiàn)，對(duì)于所列的非對(duì)稱(chēng)螺紋，近似公式和精確公式的計(jì)算結(jié)果之差Δd2的絕對(duì)值≥0.069 mm。取Δd2= -0.069 mm，計(jì)算歸一化偏差值En：

|En| > 1，因此對(duì)于非對(duì)稱(chēng)圓柱外螺紋，近似公式的計(jì)算結(jié)果不能作為最終的測(cè)量結(jié)果，而必須使用精確公式計(jì)算。近似公式不適用于非對(duì)稱(chēng)圓柱螺紋。

表3　對(duì)稱(chēng)圓柱外螺紋單一中徑計(jì)算的相關(guān)參數(shù)

表4　非對(duì)稱(chēng)圓柱外螺紋單一中徑計(jì)算的相關(guān)參數(shù)

5　結(jié)語(yǔ)

本文以M6×1-6g(TT)，Tr20×5-7h(TZ)為例，利用近似公式和精確公式分別計(jì)算對(duì)稱(chēng)圓柱外螺紋的單一中徑。M6×1-6g(TZ)這個(gè)規(guī)格的螺紋校對(duì)規(guī)，螺旋升角幾乎為零，且為對(duì)稱(chēng)螺紋，使用近似公式和精確公式的計(jì)算結(jié)果差異性不大。Tr20×5-7h(TZ)這個(gè)規(guī)格的螺紋校對(duì)規(guī)也為對(duì)稱(chēng)螺紋，由于螺旋升角較大，使用近似公式和精確公式的計(jì)算結(jié)果差異性很大。通過(guò)這樣的步驟計(jì)算出多種規(guī)格的對(duì)稱(chēng)和非對(duì)稱(chēng)圓柱外螺紋單一中徑值。通過(guò)對(duì)不同螺旋升角、不同牙型角以及不同螺距的圓柱外螺紋使用近似公式和精確公式進(jìn)行單一中徑計(jì)算和對(duì)比，得到結(jié)論如下：近似公式適用于螺旋升角幾乎為零的對(duì)稱(chēng)圓柱外螺紋。如果螺旋升角較大，或者螺紋為非對(duì)稱(chēng)螺紋，應(yīng)當(dāng)使用精確計(jì)算公式。使用近似公式會(huì)造成很大的誤差。

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The comparison of calculation results by the precise and approximate formula for single pitch diameter of external cylindrical threads

Zhang Shanshan，Wang Jian
（Shanghai Institute of Measurement and Testing Technology）

Abstract:Seveval plug gauges with different helix angles, tooth angles and pitchs were adopted to measure single pitch diameters of external cylindrical threads by the three-needle method.Two kinds of formulae, precise and approximate, were used respectively to calculate the measuring results. The comparison results showed that two kinds of calculation formulae were suitble for different types of thread measurement.

Key Words:cylindrical thread; single pitch diameter; three-needle method; calculation formula