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    一類利用卷積定義的p葉解析函數(shù)類的系數(shù)邊界

    2016-06-05 15:00:58
    關(guān)鍵詞:定義利用

    李 靜

    一類利用卷積定義的p葉解析函數(shù)類的系數(shù)邊界

    李 靜

    (江漢大學(xué)文理學(xué)院,湖北武漢430056)

    卷積是研究解析函數(shù)的有效工具,對(duì)于解析函數(shù)的系數(shù)研究起到很大的作用.利用卷積定義了一類在單位圓盤U={z∈C:|z|<1}內(nèi)的p葉解析函數(shù)類MDδ,pa,c(λ,b,α,β),利用正實(shí)部函數(shù)族的系數(shù)性質(zhì),得到了它的全體系數(shù)邊界,同時(shí)推廣了一些常用的結(jié)論.

    卷積;算子;系數(shù);星象函數(shù);凸函數(shù)

    1 預(yù)備知識(shí)

    設(shè)A(p)表示單位圓盤U={z∈C:|z|<1}內(nèi)具有泰勒級(jí)數(shù)

    f(z)與g(z)的卷積定義為

    R.M.Goel等[2]定義了線性算子

    其中

    其中

    經(jīng)計(jì)算得:

    為了敘述方便,下文記

    近期對(duì)于上述相關(guān)算子的研究,可以參看文獻(xiàn)[7-16].另外,還注意到

    下面是一些特殊的函數(shù)類:

    2 主要結(jié)論

    引理1[23]若h(z)=1+c1z+c2z2+…(z∈U)為正實(shí)部解析函數(shù),即Rh(z)>0,則|ck|≤2,k=1,2,….

    移項(xiàng)得

    由于≤α≤β,易知0≤ξ<1,所以

    其中,η =(1-β)cos λ+i(1-α)sin λ.

    定義函數(shù)p(z)滿足等式

    其中p(z)在U內(nèi)解析且p(0)=1,Rp(z)>0.現(xiàn)記

    將(7)式代入(6)式得

    將上式進(jìn)行變形得到

    利用(3)式得

    比較上式2邊項(xiàng)zn+p-1的系數(shù)得

    利用引理1得

    下面用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論.在(8)式中令n =2得

    這就證明了(4)式.令n=3,并利用(9)式得

    假設(shè)(5)式對(duì)n=k成立,即

    當(dāng)n=k+1時(shí)有

    這就證明了(5)式.

    推論1[19]設(shè)f(z)∈SD(α,β),則

    證明 在定理2中令a=c,δ=0,p=1,λ= 0,b=2.

    推論2 設(shè)f(z)∈S*(β),則

    證明 在推論1中令α=0.

    推論3[20]設(shè)f(z)∈KD(α,β),則

    證明 在定理2中令a=c,δ=1,p=1,λ= 0,b=1.

    推論4 設(shè)f(z)∈K(β),則

    證明 在推論3中令α=0.

    定理3 設(shè)f(z)∈A(p)由(1)式定義,若滿足下面不等式

    證明 為簡(jiǎn)便起見(jiàn),記

    則要證明的結(jié)論即為

    利用(3)式,經(jīng)計(jì)算得

    由于

    所以

    結(jié)合(11)式,如果(12)式的最后一個(gè)式子有上界1,即

    上式經(jīng)整理得

    此式即為(10)式.此時(shí)由(12)式有

    推論5[24]設(shè)f(z)∈A(p)由(1)式定義,若滿足下面不等式

    則f(z)∈Sp*(β).

    證明 在定理3中令a=c,δ=-p+1,λ= 0,b=2,α=0.

    推論6[25]設(shè)f(z)∈A(1)由(1)式定義,若滿足下面不等式

    則f(z)∈S*(β).

    證明 在推論5中令p=1.

    推論7[24]設(shè)f(z)∈A(p)由(1)式定義,若滿足下面不等式

    則f(z)∈Kp(β).

    證明 在定理3中令a=c,δ=-p+2,λ= 0,b=1,α=0.

    推論8[26]設(shè)f(z)∈A(1)由(1)式定義,若滿足下面不等式

    則f(z)∈S*(β).

    證明 在推論5中令p=1.

    [1]SAITOH H.A linear operator and its application of first order differential subordinations[J].Math Jpn,1966,44:31-38.

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    Coefficient Bounds for a Subclass of p-valent Analytic Functions by Convolution

    LI Jing

    (College of Arts and Sciences,Jianghan University,Wuhan 430056,Hubei)

    Convolution is an effective tool to study analytic functions,which plays a significant role in the study of the coefficient of analytic functions.In this paper,a subclass(λ,b,α,β)of p-valent analytic functions defined by convolution in the open disc U ={z∈C:|z|<1}is introduced.The aim of the paper is to study all coefficient bounds of the above class with coefficient properties of real part functions.Many known results are generalized.

    convolution;operator;coefficient;starlike function;convex function

    O174.51

    A

    1001-8395(2016)05-0686-05

    10.3969/j.issn.1001-8395.2016.05.013

    (編輯 余 毅)

    2015-09-25

    湖北省教育廳規(guī)劃課題(2014B354)

    李 靜(1984—),女,講師,主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究,E-mai:2935788547@qq.com

    2010 MSC:30C45

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