常數(shù)比例投資下延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)模型的漸近破產(chǎn)概率

肖鴻民， 劉愛玲， 何 艷

常數(shù)比例投資下延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)模型的漸近破產(chǎn)概率

肖鴻民， 劉愛玲， 何 艷

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅蘭州730070)

研究一類帶投資的延遲索賠更新風(fēng)險(xiǎn)模型的漸近破產(chǎn)概率，其中允許保險(xiǎn)公司將其資產(chǎn)按常數(shù)比例投資于滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)的股票市場(chǎng)，其余部分投資于非負(fù)利率的債券市場(chǎng)，假設(shè)主索賠額和延遲索賠額序列各自為負(fù)相依同分布且屬于重尾分布族L∩D族隨機(jī)變量序列的情形下，根據(jù)Ito公式，給出保險(xiǎn)公司資產(chǎn)的表達(dá)式，最終得到有限時(shí)間的破產(chǎn)概率．

延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)模型;負(fù)相依;L∩D族;幾何布朗運(yùn)動(dòng);破產(chǎn)概率

在現(xiàn)實(shí)生活中，保險(xiǎn)公司常常遇到延遲索賠情況，即在主索賠發(fā)生后，在某個(gè)不定時(shí)間還會(huì)產(chǎn)生由此引起的附加索賠，即延遲索賠．例如，當(dāng)一起車禍發(fā)生后，擔(dān)保人不僅要賠付車的損失，而且如果買了第三方保險(xiǎn)，擔(dān)保者在隨機(jī)延遲的一段時(shí)間后還要為第三方進(jìn)行賠付，針對(duì)這類情況，H．Waters等［1］提出了帶延遲索賠的風(fēng)險(xiǎn)模型，國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者對(duì)該類模型產(chǎn)生了濃厚的興趣并進(jìn)行了相應(yīng)的研究．例如，K．C．Yuen等［2］研究了一類帶有復(fù)合二項(xiàng)延遲風(fēng)險(xiǎn)模型的有限時(shí)間破產(chǎn)概率，K．C．Yuen等［3］運(yùn)用鞅的方法研究了連續(xù)時(shí)間的絕對(duì)破產(chǎn)概率，J．H．Xie等［4］討論了延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)模型的總股息的期望貼現(xiàn)，C．Zhao等［5］考慮延遲更新風(fēng)險(xiǎn)模型直到破產(chǎn)的聯(lián)合密度索賠表達(dá)式，文獻(xiàn)［6－10］對(duì)延遲更新風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了進(jìn)一步的分析．

近幾年來，隨著金融市場(chǎng)的發(fā)展以及保險(xiǎn)市場(chǎng)業(yè)務(wù)競(jìng)爭(zhēng)日趨激烈，帶投資的風(fēng)險(xiǎn)模型成為當(dāng)今金融數(shù)學(xué)研究的熱點(diǎn)問題之一．投資利潤(rùn)已經(jīng)成為現(xiàn)代保險(xiǎn)公司利潤(rùn)中重要的組成部分．Q．Tang［11］考慮了投資于常數(shù)利率下的更新風(fēng)險(xiǎn)模型的漸近破產(chǎn)概率．緊接著，保險(xiǎn)公司可以將其盈余投資于滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)的股票市場(chǎng)時(shí)，L．Wei［12］研究了在此情形下更新風(fēng)險(xiǎn)模型的漸近破產(chǎn)概率，其中索賠服從重尾分布．C．Hipp等［13］分析了帶布朗運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)的復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)過程下風(fēng)險(xiǎn)投資的最優(yōu)策略．進(jìn)一步地，J．Caier等［14］研究了保險(xiǎn)公司可以將其盈余的常數(shù)比例部分投資在滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)的股票市場(chǎng)，剩余資產(chǎn)投資于常利率的國(guó)債市場(chǎng)的問題，用不同的方法得到了最終破產(chǎn)概率的相似結(jié)果．更進(jìn)一步地文獻(xiàn)［15－17］在索賠額兩兩擬漸近獨(dú)立假設(shè)下得到了破產(chǎn)概率的漸近關(guān)系．

當(dāng)索賠額服從重尾分布時(shí)，前期也進(jìn)行了一些研究．文獻(xiàn)［18］考慮的是一類帶常數(shù)利息力的延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)模型的有限時(shí)間破產(chǎn)概率，文獻(xiàn)［19］研究了負(fù)相依賠付下延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)模型的漸近表達(dá)式．在本文中將常數(shù)比例投資模型應(yīng)用到延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)中，當(dāng)索賠次數(shù)滿足更新過程，索賠額滿足L∩D且負(fù)相依同分布時(shí)，給出常數(shù)比例投資下的資產(chǎn)表達(dá)式，得到有限時(shí)間的漸近破產(chǎn)概率．本文的結(jié)果豐富了延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)模型的研究并對(duì)于保險(xiǎn)公司的實(shí)際運(yùn)營(yíng)具有很好的現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義．

1 預(yù)備知識(shí)及模型

定義1 對(duì)于任一非負(fù)隨機(jī)變量X，如果矩母函數(shù)

則稱X(或稱其分布函數(shù)F)屬于重尾分布，記為K;相應(yīng)地，如果存在r＞0，使得MX(r)＜∞，則稱X(或稱其分布F)屬于輕尾分布，記為Kc．

下面給出幾類重要的重尾分布族及負(fù)相依的概念，它們對(duì)本文主要結(jié)果的討論是必要的．

1)稱一個(gè)分布F(x)屬于S族，如果對(duì)任意的n≥2(或等價(jià)地，對(duì)n=2)，F(xiàn)滿足

2)稱一個(gè)分布F(x)屬于D族，如果對(duì)任意固定的0＜y＜1(或等價(jià)地，對(duì))，F(xiàn)滿足

3)稱一個(gè)分布F(x)屬于L族，如果對(duì)任意的y＞0(或等價(jià)地，對(duì)y=1)，分布F滿足

上述重尾分布族有如下關(guān)系:

定義2 對(duì)每個(gè)n=1，2，…，n和所有的x1，x2，…，xn，若滿足

則稱隨機(jī)變量序列{x1，x2，…，xn}下負(fù)相依，記為L(zhǎng)ND;

則稱隨機(jī)變量序列{x1，x2，…，xn}上負(fù)相依，記為UND，若上述2個(gè)條件都滿足，則稱隨機(jī)變量序列x1，x2，…，xn是負(fù)相依，記為ND．

下面介紹延遲索賠模型，U(t)為盈余過程，

其中:

1)u(u≥0)是保險(xiǎn)公司的初始資金;

2)c(c＞0)為單位時(shí)間收取的保費(fèi);Si是發(fā)生第i次主索賠的時(shí)刻，Xi為發(fā)生第i次主索賠的索賠額;

3)Yi為發(fā)生第i次主索賠等待Ti時(shí)間后發(fā)生的延遲索賠額．

本文假設(shè)保險(xiǎn)公司不僅投資于利率為r的國(guó)債市場(chǎng)，而且投資于股票市場(chǎng)，股票價(jià)格為過程S(t)，由幾何布朗運(yùn)動(dòng)定義如下:其中，a，b∈R為常數(shù)，W(t)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)且獨(dú)立于U(t)．

如果在時(shí)刻 t，保險(xiǎn)公式有資產(chǎn) Y(t)，投資kY(t－)(0≤k≤1)在股票市場(chǎng)，投資(1－k) Y(t－)在債券市場(chǎng)(利息力為r)，關(guān)于資產(chǎn)Y(t)的隨機(jī)微分方程為

整理一下，資產(chǎn)過程Y(t)滿足下列跳擴(kuò)散方程

根據(jù)模型(1)，由Ito公式［20］，可以得出Y(t)的表達(dá)式如下，此外為了方便記

跟往常一樣，有限時(shí)間破產(chǎn)概率可以表示為

終極破產(chǎn)概率表示為

為方便起見記

2 主要結(jié)果及相關(guān)引理

本文的研究在以下假設(shè)條件下進(jìn)行:

(A1)更新記數(shù)過程N(yùn)(t)有有限的更新函數(shù)m(t)=E(N(t));

(A2)主索賠額{Xi，i=1，2，…，n}負(fù)相依于X，它們的共同分布為F(·);延遲索賠額{Yi，i=1，2，…，n}負(fù)相依于Y，共同分布為G(·);延遲賠付間隔{Ti，i=1，2，…，n}負(fù)相依于 T，共同分布為H(·);

(A3)假定隨機(jī)變量序列{Xi，i=1，2，…，n}，{Yi，i=1，2，…，n}，{N(t)，t≥0}，{Ti，i=1，2，…，n}之間是相互獨(dú)立的．

定理1 在模型(1)滿足條件(A1)～(A3)下，如果F，G∈L∩D，且珔G=o(珔F)，那么直到時(shí)刻T的有限時(shí)間破產(chǎn)概率為

特別地，如果N(·)是參數(shù)為λ的齊次Poisson過程，那么

為完成定理1的證明，需如下引理．

引理1［19］在條件(A2)和(A3)下，若F，G∈L∩D，且珔G=o(珔F)，則{Xi+Yi，i≥1}是負(fù)相依的，且對(duì) i≥1，M(Xi，Yi，Si，Wi)∈L∩D．

引理2［19］考慮更新風(fēng)險(xiǎn)模型(1)，在定理1的條件下，對(duì)任意給定的正整數(shù)n0有

3 證明

令

則

由上述，可將有限時(shí)間破產(chǎn)概率記為

則

要求的是有限時(shí)間破產(chǎn)概率，假設(shè)存在N＜∞，使得0＜珘C(t)＜N，

所以

類似地有

如果證明了

根據(jù)L族的性質(zhì)有

下面證明

對(duì)任意正整數(shù)N，和t∈(0，T］有

先考慮I2(u，t，N)，根據(jù)文獻(xiàn)［22］中3．20式，對(duì)于M∈D，正常數(shù)p、h、c和D，對(duì)任一的有

上述第六式可由文獻(xiàn)［23］得到．

由文獻(xiàn)［24］的引理3．2，可知當(dāng)N→∞時(shí)，

從而對(duì)u＞0，

對(duì)I1(u，t，N)，利用引理2，對(duì)所有的t∈(0，T］有

而對(duì)于I11((u，t，N)，顯然有

上述第三式可由文獻(xiàn)［21］推論1得到．

對(duì)于I12(u，t，N)和I2(u，t，N)的處理方法類似有

而對(duì)所有的u＞0有

成立，從而(6)式成立．

注1 定理1表明，帶投資的延遲索賠且主索賠計(jì)數(shù)過程為更新過程的風(fēng)險(xiǎn)模型中，當(dāng)主索賠與延遲索賠均屬于重尾分布L∩D族時(shí)，保險(xiǎn)公司的極端行為與索賠額分布的尾部特性有關(guān)．這一結(jié)果對(duì)保險(xiǎn)公司的平穩(wěn)運(yùn)行和風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)具有借鑒意義．

［1］WATERS H，PAPATRIANDAFYLOU A．Ruin probabilities allowing for delay in claims settlement［J］．Insurance:Math Econ，1985，4:113－122．

［2］YUEN K C，GUO J Y．Ruin probabilities for time－correlated claims in the compound binomial model［J］．Insurance:Math Econ，2001，29(1)，47－57．

［3］YUEN K C，GUO J Y，NG K W．On ultimate ruin in a delayed－claims risk model［J］．J Appl Probability，2005，42:163－174．

［4］XIE J H，ZOU W．Expected present value of total dividends in a delayed claims risk model under stochastic interest rates［J］．Insurance:Math Econ，2010，46:415－422．

［5］ZHAO C，ZHANG C．Joint density of the number of claims until ruin and the time to ruin in the delayed renewal risk model with Erlang(n)claims［J］．Compu Appl Math，2013，244(1):102－144．

［6］DENG C，ZHOU J，DENG Y．The Gerber－Shiu discounted penalty function in a delayed renewal risk model with multi－layer dividend strategy［J］．Statistics and Probability Letters，2012，82:1648－1656．

［7］ZOU W，XIE J．On the Gerber－Shiu discounted penalty function in a risk model with delayed claims［J］．Korean Statistical Society，2012，41:387－397．

［8］CHEN Y，HUANG Y，ZHANG W．Asymptotic ruin probabilities for proportional investment under interest force with dominatedly－varying－tailed claims［J］．Korean Statistical Society，2012，41:87－95．

［9］YANG Y，YUEN K C．Finite－time and infinite－time ruin probabilities in atwo－dimensional delayed renewal risk model with Sarmanov dependent claims［J］．J Math Anal Appl，2016，442(2):600－626．

［10］SO－YEUN K，GORDON E W．On the analysis of ruin－related quantities in the delayed renewal risk model［J］．Insurance: Math Econ，2016，66:77－85．

［11］TANG Q．The finite time ruin probability of the compound Poisson model with constant interest force［J］．Appl Probab，2005，42:608－619．

［12］WEI L．Ruin probability of the renewal model with risky investment and large claims［J］．Science in China(Math)，2009，A52(7):1539－1545．

［13］HIPP C，PLUM M．Optimal investment for insurers［J］．Insurance:Math Econ，2000，27:215－228．

［14］GAIER J，GRANDITS P．Ruin probabilities and investment under interest force in the presence of regularly varying tails［J］．Scand Actuarial J，2004，4:256－278．

［15］CHEN Y，NG K W．The ruin probability of the renewal model with constant interest force and negatively dependent heavytailed claims［J］．Insurance:Math Econ，2007，40:415－423．

［16］YI L，CHEN Y，SU C．Approximation of the tail probability of randomly weighted sums of dependent random variables with dominated variation［J］．J Math Anal Appl，2011，376(1):365－372．

［17］肖鴻民，何艷．常數(shù)比例投資下基于進(jìn)入過程風(fēng)險(xiǎn)模型的漸進(jìn)破產(chǎn)概率［J］．河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，43(2):14－19．

［18］肖鴻民，李紅．重尾賠付下帶常數(shù)利息力的延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率［J］．西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，47(6):17－20．

［19］肖鴻民，李紅．負(fù)相依賠付下延遲風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率［J］．蘭州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，48(3)，118－122．

［20］HE S，WANG J，YAN J．Semimartingale Theory and Stochastic Calculus［M］．Beijing:Science Press，1992．

［21］CLINE D B H，SAMORODNITSKY G．Subexponentiality of the product ofindependent random variables［J］．Stochastic Processes Appl，1994，49(1):75－98．

［22］TANG Q，TSITSIASHVILI G．Precise estimates for the ruin probability in finite horizon in a discrete－time model with heavytailed insurance and financial risks［J］．Stochastic Processes and Their Applications，2003，108(2):299－325．

［23］EMBRECHTS P，KIUPPELBERG C，MIKOSCH T．Modeling Extremal Events for Insurance and Finance［M］．Berlin:Springer－Verlag，1997．

［24］HAO X M，TANG Q H．A uniform asymptotic estimate for discounted aggregate claims with subexponential tails［J］．Insurance: Math Econ，2008，43(1):116－120．

Asymptotic Ruin Probabilities with Delayed-claims Risk Model under Proportional Investment

XIAO Hongmin， LIU Ailing， HE Yan

(College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，Gansu)

The asymptotic behavior of ruin probabilities is investigated in a renewal risk model for delayed claims，in which the insurance company is allowed to invest a constant fraction of its wealth in a stock market which is described by a geometric Brownian motion and the remaining wealth in a bond with nonnegative interest force．Under the assumptions that the sequences of the main and delayed claims are negatively dependent random varies with a common distribution and that the claim sizes belong to the heavy-tailed distribution class L∩D，the expression of the wealth process is derived by the Ito formula，and the finite-time ruin probabilities are obtained．

delayed-claims risk model;negatively dependent;class L∩D;geometric Brownian motion;ruin probability

O211．4

A

1001－8395(2016)05－0665－06

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．009

(編輯 鄭月蓉)

2016－03－01

國(guó)家自然科學(xué)基金(71261023)

肖鴻民(1967—)，女，教授，主要從事概率極限理論與保險(xiǎn)數(shù)學(xué)的研究，E－mail:xiaohm9@126．com

2010 MSC:91B30