模的Pn－內(nèi)射維數(shù)與環(huán)的整體Pn－內(nèi)射維數(shù)

謝 晉，王芳貴，熊 濤

模的Pn－內(nèi)射維數(shù)與環(huán)的整體Pn－內(nèi)射維數(shù)

謝 晉，王芳貴*，熊 濤

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066)

設(shè)R是任何環(huán)，n是一固定的非負(fù)整數(shù)．模W稱為Pn－內(nèi)射模，是指對任何投射維數(shù)不超過n的模P，有Ext1R(P，W)=0(謝晉，王芳貴，熊濤．四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，39(2):159－162．)，引入模的Pn－內(nèi)射維數(shù)和環(huán)的整體Pn－內(nèi)射維數(shù)的概念，證明若l．FPD(R)＜∞，則對任意n≥l．FPD(R)，有l(wèi)．Pndim(R)=l．FPD(R)．也引入了Pn－遺傳環(huán)的概念，證明任何環(huán)都是左P1－遺傳環(huán)，以及當(dāng)n≥2時(shí)，R是左Pn－遺傳環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)l．FPD(R)≤1．

Pn－內(nèi)射模;Pn－內(nèi)射維數(shù);整體Pn－內(nèi)射維數(shù);Pn－遺傳環(huán)

1 預(yù)備知識

本文恒設(shè)R是有單位元的結(jié)合環(huán)，所有的模均指左R－模，RM表示所有左R－模所構(gòu)成的模類，pdRM和idRM分別表示模M的投射維數(shù)和內(nèi)射維數(shù)，gl．dim(R)表示環(huán)R的整體維數(shù)，dim(R)表示環(huán)R的Krull維數(shù)，Pn表示投射維數(shù)不超過n的模類．在文獻(xiàn)［1］中引入Pn－內(nèi)射模的概念，這是一類較n－余撓模更廣的模類．

同調(diào)代數(shù)使用范疇的理論和方法，以Hom、Ext和Tor等基本函子為工具，在刻畫環(huán)的結(jié)構(gòu)理論中發(fā)揮了重要作用．自H．Bass［2］引入環(huán)的 finitistic維數(shù)起，各類維數(shù)的考察一直都是同調(diào)代數(shù)研究的核心［3－6］．給定一個(gè)模，通過對模的多種不同分解式，可以定義不同的同調(diào)維數(shù)(模的維數(shù)和環(huán)的整體維數(shù))．例如文獻(xiàn)［7］利用內(nèi)射模的平坦維數(shù)定義環(huán)的IF維數(shù)，以此刻畫環(huán)的結(jié)構(gòu)，特別是凝聚環(huán)的結(jié)構(gòu)．文獻(xiàn)［8］用環(huán)的整體余撓維數(shù)刻畫了n－完全環(huán)，文獻(xiàn)［9］引入環(huán)的整體弱內(nèi)射維數(shù)，也刻畫了幾乎完全整環(huán)．文獻(xiàn)［10］引入n－余撓模，并提出用模的n－余撓維數(shù)和環(huán)的整體n－余撓維數(shù)來刻畫環(huán)結(jié)構(gòu)．由此看到，不同的同調(diào)維數(shù)可以按照不同的要求，刻畫具體問題中的不同環(huán)類．本文引入模的Pn－內(nèi)射維數(shù)和環(huán)的整體Pn－內(nèi)射維數(shù)，以此刻畫具有有限finitistic維數(shù)的環(huán)類，左遺傳環(huán)與左Pn－遺傳環(huán)．

2 模的Pn－內(nèi)射維數(shù)

定義2．1 設(shè)N是R－模．

1)如果存在正合列其中每個(gè)Wi是Pn－內(nèi)射模，則此正合列稱模N的Pn－內(nèi)射分解．顯然，每個(gè)R－模都有Pn－內(nèi)射分解．

2)如果存在正合列其中，m是非負(fù)整數(shù)，所有的Wi都是Pn－內(nèi)射模，則稱模N的Pn－內(nèi)射維數(shù)有限，并用PnidRN表示這樣的非負(fù)整數(shù)m的最小值;如果沒有這樣的非負(fù)整數(shù)m存在，則記PnidRN=∞．

例2．2 對R－模N，以下各條是顯然的:

1)N是Pn－內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)PnidRN=0;

2)PnidRN≤idRN;

3)如果m≤n，則PmidRN≤PnidRN．

定理2．3 設(shè)m是非負(fù)整數(shù)．對模N，以下各條等價(jià):

1)PnidRN≤m;

2)對任意M∈Pn，有Extm+1R(M，N)=0;

3)對任意M∈Pn，及任何i≥1，有Extm+iR(M，N)=0;

4)設(shè)0→N→W0→W1→…→Wm－1→Wm→0是正合列，其中，W0、W1、…、Wm－1是Pn－內(nèi)射模，則Wm是Pn－內(nèi)射模;

5)設(shè)0→N→W0→W1→…→Wm－1→Wm→0是正合列，其中，W0、W1、…、Wm－1是內(nèi)射模，則Wm是Pn－內(nèi)射模．

證明 1) 3)由假設(shè)，存在正合列(2)．由于每一Wi是Pn－內(nèi)射模，引用文獻(xiàn)［1］的命題2．3得到

3) 2)顯然．

2) 4)由假設(shè)，對任意M∈Pn，有=0，故Wm是Pn－內(nèi)射模．

4) 5) 1)顯然．

命題2．4 設(shè)0→A→W→C→0是正合列，其中W是Pn－內(nèi)射模．

1)如果PnidRA=0，則PnidRC=0;

2)如果PnidRA＞0，則PnidRC=PnidRA－1．

證明 1)由文獻(xiàn)［1］命題2．4即可得證．

2)對任意 M∈Pn及 m≥0，由同構(gòu)關(guān)系即得．

推論2．5 設(shè)N為R－模，m是非負(fù)整數(shù)，則PnidRN≥m當(dāng)且僅當(dāng)對每個(gè)1≤i≤m，存在R－模Mi∈Pn，使得．從而若PnidRN＜∞有

PnidRN= sup{i∈N|存在M∈Pn，使得

命題2．6 設(shè)0→A→B→C→0是正合列．

1)如果{PnidRA，PnidRB，PnidRC}中有2個(gè)取有限值，則第三個(gè)也取有限值;

2)如果A是Pn－內(nèi)射模，則PnidRB=PnidRC;

3)PnidRB≤max{PnidRA，PnidRC};

4)PnidRC≤max{PnidRA－1，PnidRB};

5)PnidRA≤max{PnidRB，PnidRC+1}．證明 對任意M∈Pn及m≥0，由正合列

及定理2．3即可得證．

命題2．7 設(shè){Mi|i∈Γ}是一簇R－模，則

證明 對任意M∈Pn及m≥0，由即可得證．

對R－模 N，知道一般情形下，有 PnidRN≤idRN．什么時(shí)候兩者可以相等?命題2．8回答了這個(gè)問題．

命題2．8 設(shè)環(huán)R滿足:每個(gè)內(nèi)射R－模的投射維數(shù)都不超過n(例如，R是n－Gorenstein環(huán))．設(shè)N是R－模，idRN＜∞，則PnidRN=idRN．

證明 設(shè)idRN=m，顯然有PnidRN≤m．由文獻(xiàn)［13］的推論4．7．2，存在內(nèi)射模E，使得ExtmR(E，N)≠0．由條件E∈Pn，于是有PnidRN≥m，因此得到PnidRN=m．

3 環(huán)的整體Pn－內(nèi)射維數(shù)

本節(jié)引入和討論環(huán)的整體Pn－內(nèi)射維數(shù)．

定義3．1 對環(huán)R，其左整體Pn－內(nèi)射維數(shù)l．Pndim(R)定義為

對環(huán)R，其左 finitistic維數(shù)定義為 l．FPD(R)= sup{pdRM|M∈RM，且pdRM＜∞}．

例3．2 下面的事實(shí)是顯然的:

1)l．Pndim(R)≤l．gl．dim(R);

2)如果 0≤m≤n，則 l．Pmdim(R)≤l．Pndim(R);

3)注意，對任何環(huán)R，每個(gè)R－模都是P0－內(nèi)射模，亦即對任何環(huán)R，l．P0dim(R)=0;

4)設(shè)n≥1，由文獻(xiàn)［1］的定理3．4，l．Pndim (R)=0當(dāng)且僅當(dāng)l．FPD(R)=0，從而當(dāng)R是交換環(huán)時(shí)，Pndim(R)=0當(dāng)且僅當(dāng)R是完全環(huán)［14］．

定理3．3 設(shè)m是一非負(fù)整數(shù)，則對環(huán)R來說，以下各條等價(jià):

1)l．Pndim(R)≤m;

2)對任意M∈Pn，以及N∈RM，有Extm+1R(M，N)=0;

3)對任意M∈Pn，以及N∈RM，及任意i≥1，有

4)sup{pdRM|M∈Pn}≤m，從而有l(wèi)．Pndim(R) =sup{pdRM|M∈Pn}．

證明 1) 2) 3)由定理2．3可得．

2) 4)容易驗(yàn)證．

推論3．4 對任何環(huán)R，l．Pndim(R)≤n．

證明 由定理3．3的4)即得．

關(guān)于和 H．Bass［2］定義的環(huán)的 finitistic維數(shù)有，從而有pdRM≤k－n+m．

推論3．7 設(shè)k≥n，如果l．Pndim(R)≤m，則l．Pkdim(R)≤k－n+m．

4 Pn－遺傳環(huán)

l．FPD(R)的關(guān)系，有下面的推論．

推論3．5 如果l．FPD(R)=m＜∞，則對任何n≥m，有l(wèi)．Pndim(R)=m．

定理3．6 設(shè)l．Pndim(R)≤m，k≥n，M∈Pk，則pdRM≤k－n+m．

證明 設(shè)K是M的第(k－n)個(gè)合沖，則pdRK≤n．設(shè)N是R－模，由l．Pndim(R)≤m，由定理3．3

用整體維數(shù)不超過1的條件可以刻畫所謂遺傳環(huán)的結(jié)構(gòu)，自然地，可以引入和刻畫Pn－遺傳環(huán)．

定義4．1 環(huán)R被稱為左Pn－內(nèi)射遺傳環(huán)，簡稱為Pn－遺傳環(huán)，是指每個(gè)Pn－內(nèi)射模的商模還是Pn－內(nèi)射模，等價(jià)地，l．Pndim(R)≤1．

例4．2 顯然，左遺傳環(huán)是左Pn－遺傳環(huán)．

命題4．3 任何環(huán)都是左P1－遺傳環(huán)．

證明 設(shè)E是一P1－內(nèi)射模，N是E的子模，則有正合列:0→N→E→E/N→0．由文獻(xiàn)［1］的推論2．6知E/N作為N的第1個(gè)上合沖是P1－內(nèi)射模，則R是左P1－遺傳環(huán)．

定理4．4 設(shè)n≥2，則對環(huán)R來說，以下各條等價(jià):

1)R是左Pn－遺傳環(huán);

2)對任意M∈Pn，有pdRM≤1;

3)每個(gè)內(nèi)射模的商模是Pn－內(nèi)射模．

證明 1) 2)在定理3．3中取m=1即得．

1) 3)這是平凡的．

3) 1)設(shè)0→N→W0→W1→0是正合列，其中W0是Pn－內(nèi)射模，設(shè)E是W0的內(nèi)射包，并記W= E/N，則有行正合的交換圖1．

因此有正合列0→W0→E W1→W→0．由假設(shè)，W是Pn－內(nèi)射模，故有W1為Pn－內(nèi)射模，從而R為左Pn－遺傳環(huán)．

定理4．5 設(shè)n≥2，則對環(huán)R來說，以下各條等價(jià):

1)l．Pndim(R)≤1;

2)l．P2dim(R)≤1;

3)l．FPD(R)≤1．

證明 1) 2)由l．P2dim(R)≤l．Pndim(R)≤1即得．

2) 3)設(shè) M為 R－模，且 pdRM＜∞．如果pdRM＞1，則必有模N，使得pdRN=2．在定理3．3中取n=2和m=1，有pdRN≤1，矛盾，故pdRM≤1，從而有l(wèi)．FPD(R)≤1．

3) 1)設(shè) M∈Pn，則 pdRM＜∞，由假設(shè)有pdRM≤1．由定理3．3有l(wèi)．Pndim(R)≤1．

文獻(xiàn)［10］中引入了左Cn－遺傳環(huán)的定義，因此有下面的結(jié)論:

推論4．6 設(shè)n≥2，則R是左Cn－遺傳環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是左Pn－遺傳環(huán)．

由于當(dāng) R是諾特整環(huán)時(shí)，由文獻(xiàn)［15］有dim(R)=FPD(R)，故有如下推論:

推論4．7 設(shè)R是諾特整環(huán)，且dim(R)≤1，則R是P2－遺傳環(huán)．

注1 1)推論4．7實(shí)際指出了左Pn－遺傳環(huán)未必是遺傳環(huán)．

2)對任何一種整體維數(shù)，對應(yīng)于1維情形都可以認(rèn)為是一種遺傳性．文獻(xiàn)［2］定義的finitistic維數(shù)，0維的情形的刻畫是比較詳細(xì)的．特別是當(dāng)R是交換環(huán)時(shí)，F(xiàn)PD(R)=0當(dāng)且僅當(dāng)R是完全環(huán)［14］．但關(guān)于l．FPD(R)=1的環(huán)則知之甚少．文獻(xiàn)［14］指出，若 R是交換凝聚環(huán)，F(xiàn)PD(R)=1，則 R是Noether環(huán)．從討論可以看到，定理4．5實(shí)質(zhì)給出l．FPD(R)=1的環(huán)的一種新的刻畫;當(dāng) R是Noether整環(huán)時(shí)，滿足FPD(R)=1的環(huán)就是(Krull維數(shù))1維環(huán)．

定理4．8 設(shè)n≥2，則對環(huán)R來說，以下各條等價(jià):

1)R是左遺傳環(huán);

2)R是左Pn－遺傳環(huán)，且l．gl．dim(R)≤n;

3)R是左P2－遺傳環(huán)，且l．gl．dim(R)≤n;

4)R是左Pn－遺傳環(huán)，且l．gl．dim(R)＜∞．

證明1) 2)顯然．

2) 1)由定理4．4知，每個(gè)內(nèi)射模的商模是Pn－內(nèi)射模．由文獻(xiàn)［1］的定理3．1，每個(gè)Pn－內(nèi)射模是內(nèi)射模，因此R是左遺傳環(huán)．

2) 3)由定理4．5即得．

1) 4)顯然．

4) 1)設(shè)l．gl．dim(R)=k，若k≤1，自然有R是左遺傳環(huán)．設(shè)k≥2，由條件R是左P2－遺傳環(huán)，且l．gl．dim(R)≤k，故由1)和3)的等價(jià)性已有R是左遺傳環(huán)．

致謝 四川師范大學(xué)研究生優(yōu)秀論文培育基金(校研字201554)對本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意．

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The Pn-injective Dimension of Modules and the Global Pn-injective Dimension of Rings

XIE Jin，WANG Fanggui，XIONG Tao

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

Let R be any ring，and n a fixed nonnegative integer．An R-module W is called a Pn-injective module if Ext1R(P，W)= 0 for any R-module P with projective dimension at most n(J．Xie，F(xiàn)．G．Wang，T Xiong，J Sichuan Normal University(Natural Science)，2016，39(2):159－162．)．In this paper，we introduce the concepts of the Pn-injective dimension of a module and the global Pn-injective dimension of a ring．It is shown that if l．FPD(R)＜∞，then l．Pndim(R)=l．FPD(R)for any n≥l．FPD(R)．We also introduce the concept of Pn-hereditary ring，and prove that any ring is left P1-hereditary ring，when n≥ 2，R is a left Pn-hereditary ring if and only if l．FPD(R)≤1．

Pn-injective module;Pn-injective dimension;global Pn-injective dimension;Pn-hereditary ring

O154

A

1001－8395(2016)05－0630－04

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．002

(編輯 鄭月蓉)

2015－01－16

國家自然科學(xué)基金(11171240)

*通信作者簡介:王芳貴(1955—)，男，教授，主要從事交換代數(shù)、同調(diào)代數(shù)與代數(shù)K－理論的研究，E－mail:wangfg2004@163．com

2010 MSC:16E10;16E30