機(jī)械彈性車(chē)輪徑向剛度和阻尼模型的分析

王　強(qiáng)　趙又群　杜現(xiàn)斌　付宏勛

南京航空航天大學(xué)，南京，210016

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機(jī)械彈性車(chē)輪徑向剛度和阻尼模型的分析

王強(qiáng)趙又群杜現(xiàn)斌付宏勛

南京航空航天大學(xué)，南京，210016

摘要：針對(duì)新型機(jī)械彈性車(chē)輪剛度特性，利用曲梁理論建立了彈性基礎(chǔ)封閉圓環(huán)曲梁模型，對(duì)車(chē)輪剛度與輪抗彎剛度、鉸鏈組彈性基礎(chǔ)剛度及激振頻率之間的關(guān)系進(jìn)行了分析。結(jié)合車(chē)輪靜態(tài)和動(dòng)態(tài)試驗(yàn)分析結(jié)果，驗(yàn)證了根據(jù)曲梁理論所建模型的正確性，并分析了車(chē)輪剛度與車(chē)輪變形量、變形速率及激振頻率之間的解析關(guān)系。根據(jù)分析結(jié)果建立了車(chē)輪剛度和阻尼的非線性解析模型，該模型反映了車(chē)輪變形量和激振頻率對(duì)車(chē)輪剛度的影響，以及車(chē)輪變形速率和激振頻率對(duì)車(chē)輪阻尼的影響，從而為車(chē)輪結(jié)構(gòu)振動(dòng)的進(jìn)一步研究提供指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：機(jī)械彈性車(chē)輪；輪層合結(jié)構(gòu)；徑向剛度；阻尼特性；非線性模型

0引言

車(chē)輛在行駛過(guò)程中，輪胎作為主要的減振元件，其動(dòng)態(tài)特性在一定程度上影響到車(chē)輛的行駛平順性、操縱穩(wěn)定性及乘坐舒適性等，描述輪胎動(dòng)態(tài)特性的參數(shù)主要有徑向剛度和阻尼系數(shù)，因此，對(duì)輪胎剛度和阻尼特性進(jìn)行研究具有非常重要的意義。國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)充氣輪胎的剛度、動(dòng)態(tài)特性及影響因素已進(jìn)行了系統(tǒng)的試驗(yàn)和仿真研究[1-5]，建立了輪胎剛度和阻尼的非線性解析模型，分析了輪胎剛度和阻尼與輪胎變形量、充氣壓力及振動(dòng)頻率之間的數(shù)值解析關(guān)系，分析表明，輪胎的徑向剛度還與輪胎截面寬度、輪輞直徑及使用年限有關(guān)，阻尼系數(shù)主要由輪胎材料的阻尼特性所決定[6-8]。目前，對(duì)充氣輪胎剛度和阻尼非線性模型的研究在定性和定量的數(shù)值分析上都取得了一定的進(jìn)展，但對(duì)新型非充氣輪胎的剛度和阻尼非線性特性的研究并沒(méi)有詳細(xì)闡述。韓國(guó)航空大學(xué)Kim等[9]、Lee等[10]根據(jù)曲梁模型理論及仿真分析方法對(duì)非充氣輪胎的靜剛度進(jìn)行了研究，分析了蜂窩結(jié)構(gòu)對(duì)徑向剛度的影響；克萊姆森大學(xué)Gasmi等[11]利用曲梁模型理論推導(dǎo)了非充氣輪胎的徑向剛度計(jì)算公式，并分析了柔性環(huán)材料性能及輻條數(shù)量對(duì)徑向剛度的影響。

1機(jī)械彈性車(chē)輪結(jié)構(gòu)

圖1　機(jī)械彈性車(chē)輪結(jié)構(gòu)

2車(chē)輪曲梁模型與靜動(dòng)態(tài)特性

2.1曲梁模型

圖2　 輪曲梁模型

在靜載荷作用下，圓環(huán)曲梁將發(fā)生彎曲變形，忽略圓環(huán)梁周向載荷的影響。在極坐標(biāo)中，設(shè)θ點(diǎn)處圓環(huán)的徑向位移為ur，則任意微段圓環(huán)的截面上徑向載荷分布可表示為qr(θ)=-kur(θ)，k為比例系數(shù)，將微段所有力在徑向和軸向方向取力的平衡，可得曲梁微元的力和力矩的平衡方程：

(1)

其中，R為圓環(huán)半徑；N(θ)、V(θ)、M(θ)分別為作用在圓環(huán)曲梁橫截面面積S上的軸力、剪力和彎矩，分別為

N= ∫SσθθdS=∫SER+z(duθ0dθ+ur+zd?dθ)dS= ESR(rRduθ0dθ+ur)V= ∫SτrθdS=∫SGR+z(durdθ-uθ0+R?)dS= GSR(durdθ-uθ0+R?)M=∫SzσθθdS=∫SzER+z(duθ0dθ+ur+zd?dθ)dS= -EIR2d2urdθ2üty???????????????

(2)

式中，σθθ為斷面軸向正應(yīng)力；uθ0為圓周方向位移；z為積分點(diǎn)離曲梁中性軸的距離；r為曲梁上任意角度θ處的橫截面曲梁半徑；τrθ為斷面軸剪切力；φ為相對(duì)橫截面中心轉(zhuǎn)角；I為曲梁橫截面慣量；ES、EI、GS分別為曲梁周向剛度、彎曲剛度和剪切剛度；E、G分別為曲梁彈性模量和剪切模量。

由式(1)和式(2)整理得微分控制方程為

(3)

λ2=kR3/(EI)

(4)

ur(θ)=c1+c2e(α+iβ)θ+c3e(α-iβ)θ

+c4e-(α+iβ)θ+c5e-(α-iβ)θ

(5)

式中，c1～c5為待定系數(shù)，由邊界條件確定。

2.2車(chē)輪靜態(tài)特性

由上述邊界條件解得ur(θ)，其表達(dá)式為

(6)

令外載荷Fs=1，圓環(huán)與地面接觸點(diǎn)(θ=0)處的位移為車(chē)輪的等效柔度，即

(7)

2.3車(chē)輪動(dòng)態(tài)特性

(8)

由式(2)和式(8)求得曲梁的動(dòng)力學(xué)控制方程為

(9)

根據(jù)曲梁靜態(tài)載荷邊界條件，其動(dòng)態(tài)載荷作用下的邊界條件為

(10)

對(duì)控制方程進(jìn)行求解可得

(11)

3機(jī)械彈性車(chē)輪曲梁模型試驗(yàn)驗(yàn)證

針對(duì)新型機(jī)械彈性車(chē)輪剛度力學(xué)特性，本文基于自主研發(fā)的電液伺服加載測(cè)試系統(tǒng)(圖3)進(jìn)行試驗(yàn)研究，采用靜態(tài)差量加載法和動(dòng)態(tài)激振法分別對(duì)其車(chē)輪的靜態(tài)剛度特性、非滾動(dòng)動(dòng)態(tài)剛度及阻尼特性進(jìn)行測(cè)試。

圖3　輪胎加載變形測(cè)試系統(tǒng)

設(shè)與車(chē)輪變形相關(guān)的力為剛度力，以FK表示，與車(chē)輪變形速率相關(guān)的力為阻尼力，以FC表示，則有

(12)

式中，Kd為車(chē)輪剛度系數(shù)；Cd為車(chē)輪等效黏性系數(shù)。

在使用過(guò)程中，由于新型機(jī)械彈性車(chē)輪橡膠體結(jié)構(gòu)和彈性鋼絲環(huán)的遲滯現(xiàn)象，剛度力和阻尼力表現(xiàn)出一定的非線性特性，考慮非線性特性的影響，把式(12)所示的模型中的剛度力項(xiàng)和阻尼力項(xiàng)分別看作是車(chē)輪變形和車(chē)輪變形速率的多項(xiàng)式函數(shù)，即

(13)

式中，Ki、Ci分別為車(chē)輪剛度力系數(shù)和阻尼力系數(shù)；N的值可通過(guò)試算來(lái)確定，對(duì)該試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行多次試算后，得N=3。

采用正弦位移進(jìn)行激振，設(shè)預(yù)載荷位移為靜平衡位置，位移向下為正，則該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(14)

式中，Me為作動(dòng)器與加載均衡板的等效質(zhì)量；F′為預(yù)載荷與作動(dòng)力之和。

(15)

3.1車(chē)輪靜剛度試驗(yàn)驗(yàn)證

針對(duì)新型機(jī)械彈性車(chē)輪的靜剛度特性，進(jìn)行靜態(tài)加載試驗(yàn)，考慮到車(chē)輪設(shè)計(jì)的許用載荷值，加載載荷以0為起點(diǎn)，差值為2.0kN，20.0kN為最大終止載荷。由于橡膠材料和彈性鋼絲環(huán)的遲滯現(xiàn)象，為準(zhǔn)確表達(dá)車(chē)輪的靜剛度特性，進(jìn)行多次試驗(yàn)，取加卸載變形的均值來(lái)表示車(chē)輪的靜剛度值。令垂直載荷的增量為ΔFs，變形增量為Δδ，即車(chē)輪的靜剛度為Ks=ΔFs/Δδ，Ks亦即車(chē)輪靜剛度曲線的斜率。

圖4　車(chē)輪變形與垂向載荷的關(guān)系

3.2車(chē)輪動(dòng)剛度試驗(yàn)驗(yàn)證

圖5　車(chē)輪動(dòng)剛度與變形的關(guān)系(預(yù)載荷5 kN，激振頻率5 Hz)

圖6　車(chē)輪動(dòng)剛度與頻率的關(guān)系(預(yù)載荷5 kN)

圖7　車(chē)輪動(dòng)剛度隨激振頻率的變化關(guān)系

4車(chē)輪剛度和阻尼的非線性解析模型

4.1車(chē)輪剛度模型

W=k1δ+k2δ2

(16)

式中，k1和k2為剛度系數(shù)。

通過(guò)計(jì)算可得到常系數(shù)k1和k2值，亦即

W=375.01δ+8.68δ2

(17)

將式(17)兩邊對(duì)變形量δ求導(dǎo)可得

(18)

為進(jìn)一步獲得車(chē)輪的動(dòng)剛度值隨頻率變化的具體解析關(guān)系，由動(dòng)剛度非線性分析可知，選取二次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，即

Kd=d0+d1f+d2f2

(19)

式中，d0、d1、d2為常系數(shù)。

通過(guò)計(jì)算可得d0、d1、d2的值，亦即

Kd=534.635+32.25f+0.534f2

(20)

4.2車(chē)輪阻尼模型

由圖8可知，車(chē)輪阻尼力系數(shù)Cd與激振頻率f之間成幾何曲線關(guān)系，采用指數(shù)函數(shù)擬合Cd與f之間的數(shù)值關(guān)系，即

Cd=αf-β

(21)

式中，α、β為常系數(shù)。

通過(guò)計(jì)算求出α和β的值，即

Cd=8.99f-1.186

(22)

圖8　車(chē)輪阻尼系數(shù)與頻率的關(guān)系

5結(jié)論

(2)進(jìn)行了車(chē)輪靜態(tài)和動(dòng)態(tài)試驗(yàn)，驗(yàn)證了基于曲梁理論所建模型的正確性和有效性，并分析了車(chē)輪剛度與車(chē)輪變形量、變形速率及激振頻率之間的解析關(guān)系。

參考文獻(xiàn)：

[1]季學(xué)武，高義民，裘熙定，等. 輪胎動(dòng)剛度和阻尼特性的研究[J]. 汽車(chē)工程，1994，16(5)：315-320.

Ji Xuewu, Gao Yimin, Qiu Xiding, et al. The Dynamic Stiffness and Damping Characteristics of the Tire[J]. Automotive Engineering, 1994, 16(5): 315-320.

[2]劉任先. 拖拉機(jī)輪胎剛度和阻尼特性研究[J]. 農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，1988，6(2)：17-24.

Liu Renxian. Study of Tractor Tire Stiffness and Damping Characteristics[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 1988, 6(2): 17-24.

[3]周繼銘，程悅蓀，鄭聯(lián)珠，等. 輪胎剛度和阻尼非線性模型的研究[J]. 吉林工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1992，22(3)：47-51.

Zhou Jiming, Cheng Yuesun, Zheng Lianzhu,et al. A Nonlinear Model for Tire Stiffness and Damping[J]. Journal of Jilin University of Technology, 1992, 22(3): 47-51.

[4]Kim Byoung Sam, Chi Chang Heon, Lee Tae Keun. A Study on Radial Directional Natural Frequency and Damping Ratio in a Vehicle Tire[J]. Applied Acoustics, 2007, 68(5): 538-556.

[5]Tonkovich A, Li Zhanbiao, DiCecco S, et al. Experimental Observations of Tyre Deformation Characteristics on Heavy Mining Vehicles under Static and Quasi-static Loading[J]. Journal of Terramechanics, 2012, 49(3/4): 215-231.

[6]Wang Wei, Yan Shan, Zhao Shugao. Experimental Verification and Finite Element Modeling of Radial Truck Tire under Static Loading[J]. Journal of Reinforced Plastics and Composites, 2013, 32(7): 490-498.

[7]Gruber P, Sharp R S， Crocombe A D. Friction and Camber Influences on the Static Stiffness Properties of a Racing Tyre[J]. Journal of Automobile Engineering, 2008, 222(11): 1965-1976.

[8]Ramji K, Goel V K, Saran V H. Stiffness Properties of Small-sized Pneumatic Tyres[J]. Journal of Automobile Engineering, 2002, 216(2): 107-114.

[9]Kim Kwangwon, Kim Seunghye, Kim Doo-Man， et al. Contact Pressure of Non-pneumatic Tires with Hexagonal Lattice Spokes[C]// Proceedings of the ASME 2011 International Mechanical Engineering Congress & Exposition. Denver, USA,2011：IMECE 2011-64233.

[10]Lee Chihun, Ju Jaehyung, Kim Doo-Man. The Dynamic Properties of a Non-pneumatic Tire with Flexible Auxetic Honeycomb Spokes[C]// Proceedings of the ASME 2012 International Mechanical Engineering Congress & Exposition. Houston, USA,2012：IMECE 2012-88199.

[11]Gasmi A, Joseph P F, Rhyne T B, et al. Development of a Two-dimensional Model of a Compliant Non-Pneumatic Tire[J]. International Journal of Solids and Structures, 2012, 49(13): 1723-1740.

[12]岳紅旭，趙又群. 一種新型安全車(chē)輪的非線性有限元分析[J]. 中國(guó)機(jī)械工程，2012，23(11)：1380-1385.

Yue Hongxu, Zhao Youqun. Nonlinear Finite Element Analysis of a New Safety Wheel[J]. China Mechanical Engineering, 2012, 23(11): 1380-1385.

[13]汪偉，趙又群，黃超，等. 新型機(jī)械彈性車(chē)輪的建模與通過(guò)性研究[J]. 中國(guó)機(jī)械工程，2013，24(6)：724-729.

Wang Wei, Zhao Youqun, Huang Chao,et al. Modeling and Trafficability Analysis of New Mechanical Elastic Wheel[J]. China Mechanical Engineering, 2013, 24(6): 724-729.

[14]臧利國(guó)，趙又群，李波，等. 非充氣機(jī)械彈性安全車(chē)輪靜態(tài)徑剛度特性研究[J].兵工學(xué)報(bào)，2015，36(2)：354-362.

Zang Liguo, Zhao Youqun, Li Bo,et al. Static Radical Stiffness Characteristics of Non-pneumatic Mechanical Elastic Wheel[J]. Acta Armamentarii, 2015, 36(2): 354-362.

[15]汪偉，趙又群，姜成，等. 新型機(jī)械彈性車(chē)輪的力學(xué)傳遞特性分析[J]. 江蘇大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，34(3)：261-266.

Wang Wei, Zhao Youqun, Jiang Cheng,et al. Characteristics Analysis of Mechanical Transmission for a New Mechanical Elastic Wheel[J]. Journal of Jiangsu University (Natural Science Edition), 2013, 34(3): 261-266.

[16] Lin K C, Hsieh C M. The Closed Form General Solutions of 2-D Curved Laminated Beams of Variable Curvatures[J]. Composite Structures, 2007, 79(4): 606-618.

(編輯蘇衛(wèi)國(guó))

Analyses of Radial Stiffness and Damping Model for Mechanical Elastic Wheel

Wang QiangZhao YouqunDu XianbinFu Hongxun

Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing, 210016

Abstract:In view of the stiffness characteristics of the new mechanical elastic wheel, an elastic foundation closed circle curved beam model was established by curved beam theory. The relationships among the wheel stiffness and the elastic foundation stiffness of hinge group, bending stiffness of elastic wheel and excitation frequency were analyzed. Based on the static and dynamic test analysis results of wheel, the correctness of the curved beam model was validated, the numerical analytical relations among the wheel stiffness and deformation, deformation rate, excitation frequency were analyzed. The nonlinear analytical model for wheel stiffness and damping was established, and it could reflect the nonlinear effects of the wheel deformation, deformation rate and excitation frequency on the stiffness and damping. It provides a grounds for the further studies of vibration of the wheel structure.

Key words:mechanical elastic wheel; elastic wheel laminated structure; radial stiffness; damping characteristics; nonlinear model

收稿日期：2015-07-03

基金項(xiàng)目：總裝備部探索研究重大項(xiàng)目(NHA13002)；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目(KYLX_0241)

中圖分類(lèi)號(hào)：U463.3

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.10.022

作者簡(jiǎn)介：王強(qiáng)，男，1985年生。南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院博士研究生。主要研究方向?yàn)槠?chē)動(dòng)態(tài)仿真與控制。趙又群(通信作者)，男，1968年生。南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。杜現(xiàn)斌，男，1988年生。南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院博士研究生。付宏勛，男，1987年生。南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院博士研究生。