在S2局部坐標(biāo)下的二維不可壓Naiver-Stokes方程

李小如, 王 術(shù), 耿 范

(廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510006)

0 引 言

Naiver-Stokes方程組是流體力學(xué)方程組中的典型代表, 在物理工程學(xué)、等離子物理、半導(dǎo)體物理、航空航天、空氣動(dòng)力學(xué)、血液動(dòng)力學(xué)和科學(xué)計(jì)算等諸多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。它可以對(duì)氣流、大氣洋流、管道中的流體血液等各種各樣的液體流動(dòng)進(jìn)行建模。對(duì)簡(jiǎn)化或者具體表達(dá)形式的Naiver-Stokes方程組的研究, 可以更好地應(yīng)用于天氣預(yù)測(cè)、防止環(huán)境污染、提高各種交通工具的性能和在醫(yī)療上輔助治療心血管疾病等[1]。

在R3中有如下形式的Naiver-Stokes方程組：

(1)

式中，u(x,t)表示未知的速度場(chǎng),p(x,t)表示未知的壓力,u0(x)表示給定的初始速度場(chǎng), 且在分布的意義下滿足?·u0=0,μ是粘性系數(shù)。

至今, 其數(shù)學(xué)理論的研究備受關(guān)注, 它是國(guó)際數(shù)學(xué)界長(zhǎng)期關(guān)注的焦點(diǎn)問題之一。迄今為止, 在三維情況下, 雖然已經(jīng)有很多重要的結(jié)果, 但是方程組(1)的Leray-Hopf整體弱解的正則性仍不清楚, 目前仍然是流體力學(xué)理論中的公開問題, 美國(guó)Clay數(shù)學(xué)研究所也在2000年把三維不可壓縮Naiver-Stokes方程具有有限能量光滑初值整體正則解的存在性或在有限時(shí)間內(nèi)爆破列為7個(gè)“千禧問題”之一。近些年來, 有越來越多的研究者研究曲線坐標(biāo)系下的Naiver-Stokes方程組的一些性質(zhì)及其弱解的估計(jì)或全局解等相關(guān)內(nèi)容, 也取得了重大的進(jìn)展[1-4]。

1 二維流形S2上的Naiver-Stokes方程

數(shù)學(xué)的發(fā)展促使微積分從歐氏空間到微分流形的拓展,而歐氏空間是最簡(jiǎn)單的光滑流形, 它的微分算子在局部坐標(biāo)下的表達(dá)式可適用于一般的黎曼流形。為了計(jì)算簡(jiǎn)便, 考慮低維流形即二維流形S2在局部坐標(biāo)下的微分算子。

首先在S2上建立坐標(biāo)系, 即建立球面和平面或平面一部分的一個(gè)對(duì)應(yīng)。由于球面具有緊致性, 而平面是非緊致的, 則這樣整體的坐標(biāo)系是不存在的, 故考慮局部坐標(biāo)。然后利用局部坐標(biāo)分別表示出二維流形S2上的梯度算子、散度算子以及拉普拉斯算子, 進(jìn)而寫出Naiver-Stokes方程組的具體形式。

R3中的單位曲面S2(1)={(x,y,z)∈R3|x2+y2+z2=1}是二維黎曼流形(S2,g), 則它的參數(shù)方程表示為

x=sinθcosφ,y=sinθsinφ,z=cosθ

(2)

其中,0<θ<π, 0<φ<2π,g是黎曼度量。

命題1假設(shè)u(θ,φ,t)是二維Naiver-Stokes方程未知的速度場(chǎng), 則在u=uθeθ+uφeφ時(shí), 在S2局部坐標(biāo)系下的Naiver-Stokes方程可以表示成如下形式：

其中,

證明證明分3個(gè)步驟。

(1)計(jì)算黎曼度量

通過2種方法引入黎曼度量g, 一種是球極投影引入黎曼度量(或者是通過歐氏空間誘導(dǎo)在球面上的度量), 另一種是曲面在局部坐標(biāo)系下的第一基本形式, 而這2種方法算出的黎曼度量是一致的。

(3)

不難看出

(4)

考慮變量θ,φ的一階偏導(dǎo)數(shù)

(5)

其中,

(6)

若在局部坐標(biāo)系(U,ξi)下, 則S2(1)的黎曼度量g的表達(dá)式為

(7)

(8)

先將ξ1,ξ2代入式(8), 再結(jié)合式(6)可進(jìn)一步計(jì)算出

g=dθdθ+sin2θdφdφ

(9)

則度量系數(shù)分別為

g11=1,g12=g21=0,g22=sin2θ

(10)

故有g(shù)的反變分量gij(即gij的逆)為

(11)

則度量系數(shù)的行列式為

(12)

方法2: 通過考慮R3中的正則曲面, 利用曲面的第一基本形式。記

r=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)

(13)

(θ,φ)是S2中的局部坐標(biāo), 由方法1中的描述可知,r是浸入R3中的二維光滑子流形。

令

E=,F=,O=

(14)

ds2=dr,dr=(dθ)2+

E(dθ)2+Fdθdφ+O(dφ)2

(15)

由于

(16)

則將式(16)代入式(15), 有

E=1,F=0,O=sin2θ, ds2=(dθ)2+sin2θ(dφ)2

(17)

由i≠j時(shí),gij=0, 故有度量系數(shù)分別為g11=1,g12=g21=0,g22=sin2θ且

(18)

(2)計(jì)算單位正交切向量

下面是單位正交標(biāo)架場(chǎng)的算法[7], 設(shè)(U,ξi)是M的一個(gè)局部坐標(biāo)系, 黎曼度量g在該坐標(biāo)系下的分量為

(19)

其中,ξ1=θ,ξ2=φ。

(20)

a1,eθ=0

(21)

由此可知

λ=-

(22)

即得

(23)

將a1單位化并記為eφ, 則

(24)

(3)考慮流形上的3個(gè)微分算子[6-9], 進(jìn)而得到Naiver-Stokes方程組的具體表達(dá)式

(25)

(26)

(27)

令u=uθeθ+uφeφ, 則對(duì)應(yīng)的梯度算子、拉普拉斯算子及散度算子分別為

(28)

(29)

(30)

這里應(yīng)用了逆變分量uθ,uφ與物理分量uθ,uφ之間的關(guān)系。

結(jié)合式(28)～(29), 可分別計(jì)算出u·?u, Δu。

(31)

(32)

(33)

且壓力的梯度與速度場(chǎng)對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)分別記為

(34)

由上述表達(dá)式(32)～(34), 可以得到在二維流形S2局部坐標(biāo)系表示的Naiver-Stokes方程如下：

(35)

其中,

(36)

(37)

命題證畢。

為進(jìn)一步研究二維流形S2局部坐標(biāo)系表示的Naiver-Stokes方程, 需考慮邊界條件。R3中半徑為r=1的標(biāo)準(zhǔn)單位球面S2(1)是截曲率為c=1的二維空間形式。S2(1)是單連通且緊致的, 因而又是完備的。

因?yàn)榍蛎媸嵌S封閉的曲面, 但二維的封閉曲面是沒有邊界的，所以為了得到邊界的條件,可以考慮球面的上半球面來進(jìn)行研究, 因?yàn)樯习肭蛎媸且粋€(gè)有邊界區(qū)域。

在R3中考慮S2(1)球面的上半球面：

從而, 對(duì)于上半球面的參數(shù)方程可寫成

系統(tǒng)(35)的初始條件和邊界條件可分別寫成:

2 能量等式驗(yàn)證

(38)

結(jié)合笛卡爾坐標(biāo)下二維Naiver-Stokes方程的能量等式的計(jì)算步驟：

首先根據(jù)ut+(u·?)u+?p=μΔu, 將其與u作內(nèi)積, 并進(jìn)行分部積分, 可得

則對(duì)于任意的0≤t≤T, 有下述的能量等式：

其中，dτ=dθdφ,

證明先考慮式(38)中的第一個(gè)等式, 讓它與sinθuθ作內(nèi)積, 并用格林公式進(jìn)行分部積分, 則可得

(39)

然后再考慮式(38)中的第二個(gè)等式, 讓它與sinθuφ作內(nèi)積, 并用格林公式進(jìn)行分部積分, 則可得

(40)

又因?yàn)椴豢蓧嚎s條件：

(41)

將式(41)與sinθuθ作內(nèi)積, 則有

再用格林公式進(jìn)行分部積分, 故可以得到

即有

(42)

將式(39)～(40)兩個(gè)等式相加, 并將式(41)～(42)代入其中, 可得

即

其中,

即完成能量等式的證明。

3 結(jié)束語

Naiver-Stokes方程在流體力學(xué)中具有重要的理論價(jià)值, 本文主要是對(duì)幾個(gè)微分算子從歐氏空間到流形的推廣, 并給出了詳細(xì)的計(jì)算過程, 進(jìn)一步得到了Naiver-Stokes方程在S2中局部坐標(biāo)下的具體表達(dá)形式, 這有利于對(duì)流體的局部形式進(jìn)行了解, 并可以進(jìn)一步對(duì)Naiver-Stokes方程在流形上局部坐標(biāo)下解的適定性進(jìn)行分析, 這對(duì)于研究方程的解具有重要的意義。因此, 可以從這樣的坐標(biāo)系出發(fā), 突破更多有關(guān)于解的問題。