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    數(shù)學(xué)文化滲透大學(xué)數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)案例

    2016-06-03 01:34:01曾艷妮黃振東
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)文化案例數(shù)學(xué)

    曾艷妮,黃振東,邢 婧

    (湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北武漢430205)

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    數(shù)學(xué)文化滲透大學(xué)數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)案例

    曾艷妮,黃振東,邢婧

    (湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北武漢430205)

    摘要:數(shù)學(xué)文化教育對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)教育有非常重要的作用和意義,但是如何在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中巧妙的融入數(shù)學(xué)文化值得研究,本文通過五個(gè)具體的教學(xué)案例說明在教學(xué)過程中主要從知識(shí)背景、數(shù)學(xué)歷史、相關(guān)趣味典故、欣賞數(shù)學(xué)之美、數(shù)學(xué)中的哲學(xué)思想等方面挖掘數(shù)學(xué)文化素材,滲透數(shù)學(xué)文化,以有效提升數(shù)學(xué)教學(xué)效果,開闊學(xué)生視野、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)文化;數(shù)學(xué);教學(xué);案例

    數(shù)學(xué)文化有著豐富的內(nèi)涵,基于數(shù)學(xué)文化的普遍定義,綜合學(xué)者們的研究成果,數(shù)學(xué)文化除了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的內(nèi)容即作為科學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容外還包括作為文化層面的數(shù)學(xué),概括起來主要有數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)的價(jià)值觀、數(shù)學(xué)的知識(shí)體系、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的交叉與融合等等。學(xué)者們都認(rèn)為數(shù)學(xué)文化是人類文化的一部分,不僅具有文化價(jià)值而且具有育人功能,恰當(dāng)好處地將數(shù)學(xué)文化滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)中可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)原有數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)開闊視野、增加學(xué)習(xí)趣味性、提高數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)、提升學(xué)習(xí)積極性,使課堂教學(xué)更加高效,所以數(shù)學(xué)文化教育對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)教育有著重要意義和作用。下面通過幾個(gè)案例說明數(shù)學(xué)文化滲透大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的方法和途徑。

    一、教學(xué)內(nèi)容的引入注重知識(shí)背景的闡述,揭示知識(shí)的發(fā)展歷程。

    案例一:微積分發(fā)展史融入微積分教學(xué)

    微積分的理論體系嚴(yán)謹(jǐn)而循序漸進(jìn),步步深入、環(huán)環(huán)相扣,而其發(fā)展史卻曲折艱辛,數(shù)學(xué)的發(fā)展史中是先有微積分,再有極限理論。倘若學(xué)生打開課本就直接正式接觸成熟的理論使得對(duì)這門課程認(rèn)識(shí)模糊,則不清楚為什么要學(xué)這門課程,這門課程是為解決什么核心問題而產(chǎn)生,更不知道這門課程如何發(fā)展起來的。這有悖于學(xué)習(xí)的認(rèn)知規(guī)律,所以在微積分學(xué)習(xí)之前,介紹微積分的發(fā)展史有利于學(xué)生總體上對(duì)這門課程有一個(gè)初步的理解和認(rèn)識(shí),從心理上接受并愿意探究這門課程。

    數(shù)學(xué)的發(fā)展源于社會(huì)環(huán)境的力量,16世紀(jì)下半葉,歐洲文藝復(fù)興使得科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展,生產(chǎn)力空前提高,航海、工商業(yè)和工程建筑設(shè)計(jì)都發(fā)達(dá)起來,研究物體的運(yùn)動(dòng)和變化成為迫切需要研究的課題,概括起來形成了四個(gè)核心問題:瞬時(shí)速度問題;曲線的切線;函數(shù)極值問題;求積問題(曲線長度、圖形面積等)。前三個(gè)問題的解決導(dǎo)致微分學(xué)的產(chǎn)生,第四個(gè)問題的解決導(dǎo)致積分學(xué)的產(chǎn)生。17世紀(jì)十多位數(shù)學(xué)家為微積分的創(chuàng)立做了開創(chuàng)性的研究,解決了許多本來認(rèn)為束手無策的難題,其中核心人物牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎(chǔ)試圖建立微積分理論,但是由于對(duì)無窮小認(rèn)識(shí)不清導(dǎo)致了很多悖論引發(fā)第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。雖然微積分理論不嚴(yán)密,但從17世紀(jì)末到19世紀(jì)初,微積分理論依然被廣泛而有效地應(yīng)用于物理、天文等領(lǐng)域,并取得了豐碩的成果。后來經(jīng)過兩百多年眾多數(shù)學(xué)家的努力,直到19世紀(jì)初,法國數(shù)學(xué)家柯西建立了嚴(yán)格的極限理論,后來德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯等加以完善,從而形成了嚴(yán)密的實(shí)數(shù)理論,由此微積分理論的嚴(yán)密性無懈可擊。

    在學(xué)習(xí)的過程中可以布置學(xué)生課外拓展閱讀數(shù)學(xué)史上著名的三次危機(jī),了解危機(jī)的產(chǎn)生、發(fā)展、解決;查閱了解牛頓、萊布尼茲等數(shù)學(xué)家的生平事跡,學(xué)習(xí)他們的思維方法,數(shù)學(xué)精神等。

    二、挖掘教學(xué)內(nèi)容背后的文化素材

    案例二:數(shù)列極限的概念學(xué)習(xí)中利用數(shù)學(xué)文化素材

    數(shù)列極限概念的學(xué)習(xí)是一個(gè)由淺入深的過程,為了給學(xué)生以直觀的認(rèn)識(shí)和深刻的體會(huì),可以介紹我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中利用圓內(nèi)接正多邊形計(jì)算圓面積的方法——割圓術(shù):“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣”。將割圓術(shù)的方法通過動(dòng)畫演示顯現(xiàn),借助多媒體讓學(xué)生直觀感受內(nèi)接正多邊形面積逐步逼近圓面積的過程,引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)從有限分割到無限接近的思想飛躍,進(jìn)而引入數(shù)列極限概念。

    同樣,還可以借助我國古代的“截杖問題”引入極限。

    極限概念形成后,教師可以啟示學(xué)生極限思想在實(shí)際中的應(yīng)用,利用極限思想考慮某些數(shù)學(xué)問題往往會(huì)有豁然開朗的思路。如被數(shù)學(xué)教育家G·波利亞稱為“由來已久的難題”的問題:兩人坐在方桌旁,相繼輪流往桌面上平放一枚同樣大小的硬幣。當(dāng)最后桌面上只剩下一個(gè)位置時(shí),誰放下最后一枚,誰就算勝了。設(shè)兩人都是高手,問先放者勝還是后放者勝?G·波利亞的巧妙解法是“一猜二證”:猜想(把問題極端化)如果桌面小到只能放下一枚硬幣,那么先放者必勝。證明(利用對(duì)稱性)由于方桌有對(duì)稱中心,先放者可將第一枚硬幣占據(jù)桌面中心,以后每次都將硬幣放在對(duì)方所放硬幣關(guān)于桌面中心對(duì)稱的位置,先放者必勝。從波利亞的精巧解法中,我們可以看到,他是利用極限的思想考察問題的極端狀態(tài),探索出解題方向或轉(zhuǎn)化途徑。

    課后可以讓學(xué)生進(jìn)一步利用數(shù)列極限思想查閱Koch雪花曲線試著求其周長面積、Sierpinski三角形的形成等,進(jìn)而延伸了解有關(guān)分形圖的有關(guān)知識(shí),體味數(shù)學(xué)的圖形美。

    三、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)欣賞數(shù)學(xué)之美

    案例三:泰勒級(jí)數(shù)的學(xué)習(xí)中融入最美的數(shù)學(xué)等式——?dú)W拉公式

    在微積分的發(fā)展歷程中,將復(fù)雜函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)具有重要意義,這一節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)完畢后,我們可以應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)將函數(shù)用麥克勞林級(jí)數(shù)公式展開得到著名的歐拉公式,令可得,此公式曾獲得“最美的數(shù)學(xué)等式”稱號(hào),它的令人驚嘆之處在于將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)數(shù)字聯(lián)系到了一起:兩個(gè)超越數(shù)——自然對(duì)數(shù)的底e和圓周率π,兩個(gè)單位——虛數(shù)單位i和自然數(shù)單位1,以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的0。此公式將這幾個(gè)看似毫無關(guān)系的數(shù)字如此自然而巧妙地寫成一個(gè)如此簡單的式子,甚稱“天作之合”!還有人理解0,1代表算術(shù)、e代表分析學(xué)、π代表幾何、i代表代數(shù),一個(gè)公式將四個(gè)數(shù)學(xué)分支聯(lián)系在一起,冥冥之中早已存在于宇宙中!因此數(shù)學(xué)家評(píng)價(jià)它為“上帝創(chuàng)造的公式”,這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美,使人為之深深地震撼!

    凡是數(shù)學(xué)中奇妙的有規(guī)律的讓人愉悅的美的東西,我們都可以稱之為數(shù)學(xué)美,它是自然美中的一部分,是科學(xué)美學(xué)的核心,數(shù)學(xué)之美還有很多種,如圖形之美、語言之美、符號(hào)之美、結(jié)果之美、解題方法之美等等,這些美是含蓄而深邃的,需要一定的功底才可以被發(fā)掘的,所以教師在講課過程中要善于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)欣賞數(shù)學(xué)之美,一旦學(xué)生理解體會(huì)到了這些美,才會(huì)被數(shù)學(xué)深深吸引,才會(huì)有興趣有熱情去探索數(shù)學(xué)。

    四、學(xué)習(xí)過程中增加數(shù)學(xué)典故,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,開闊視野

    案例四:無窮大的理論學(xué)習(xí)中講解有限與無限的有關(guān)典故

    無窮大是一種特殊形式的極限,學(xué)習(xí)了極限的概念后便可以從形式上給出無窮大的定義,但是如何讓學(xué)生深刻的理解無窮大,還需要教師多做一些設(shè)計(jì),不妨講講與無窮大相關(guān)的典故,打打比方幫助學(xué)生理解無窮大的本質(zhì)。

    例如《西游記》中,孫悟空一個(gè)筋斗翻十萬八千里,可是他卻依然翻不出如來佛的手掌心。這里孫悟空不管筋斗翻得多遠(yuǎn),始終是個(gè)有限數(shù),而如來佛法力無邊不妨將他的手掌看成無窮大,孫悟空每翻一個(gè)筋斗眼看要逃出如來佛手心的時(shí)候,如來佛的手又變大一點(diǎn),再翻一個(gè)再大一點(diǎn),……,如此一來永遠(yuǎn)也逃不出去!于是無窮大可以理解為要它有多大它就有多大,無窮大是個(gè)變量!

    再如希爾伯特的旅館:說是數(shù)學(xué)家希爾伯特開了一個(gè)空間旅館,旅館有無窮多個(gè)房間,每個(gè)房間都住了一個(gè)客人,這時(shí)又來了k個(gè)客人,依然要求每人住一間房,如何安排?又來了一個(gè)團(tuán),有無窮多個(gè)客人,該怎樣安排?又來了無窮多個(gè)團(tuán),每個(gè)團(tuán)都有無窮多個(gè)客人,又該如何安排?通過分析答案發(fā)現(xiàn)無論來多少個(gè)客人,這個(gè)奇特的旅館始終能裝下,就是說無窮大中含有無窮個(gè)無窮大!

    這對(duì)學(xué)生深刻理解無窮的含義和本質(zhì),領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的奇妙和魅力有很好的促進(jìn),課后還可以進(jìn)一步要求學(xué)生收集資料找出有限與無限的區(qū)別與聯(lián)系,布置學(xué)生看《從一到無窮大》、《奇妙的無窮》等拓展數(shù)學(xué)文化的書籍。

    五、在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中體會(huì)哲學(xué)的思想

    案例五:數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)學(xué)習(xí)中插入“飛矢不動(dòng)”悖論

    無窮多項(xiàng)相加到底有沒有和,這便是級(jí)數(shù)要解決的問題,對(duì)這個(gè)知識(shí)的學(xué)習(xí)不妨介紹一下“飛矢不動(dòng)”悖論。公元前五世紀(jì),以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家芝諾(Zeno)用他的無窮、連續(xù)以及部分和的知識(shí),引發(fā)出一系列關(guān)于運(yùn)動(dòng)不可分性的哲學(xué)的悖論,人們通常稱之為芝諾悖論?!帮w矢不動(dòng)”悖論是其中之一。從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來分析這個(gè)悖論,射出去的箭“動(dòng)”是顯然的,“靜”可以理解為將箭走過的位移分成無窮多份,每份都是無窮小,箭在每一個(gè)瞬間都有一個(gè)固定的位置,或者說每一個(gè)瞬間基本是沒有位移的,這就產(chǎn)生了悖論。通過對(duì)悖論的破解引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)時(shí)間的連續(xù)性,量變引起質(zhì)變等哲學(xué)思想。

    關(guān)于無窮多項(xiàng)相加在數(shù)學(xué)的歷史中還有過不少悖論,如阿基里斯追不上烏龜悖論等,學(xué)習(xí)了數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)后可以讓學(xué)生查閱書籍收集這方面的悖論,并用學(xué)過的知識(shí)逐一破解。通過這種方式加深對(duì)知識(shí)的理解,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,體會(huì)哲學(xué)思想。

    六、注重理論聯(lián)系實(shí)際,在應(yīng)用中傳承數(shù)學(xué)文化

    案例六:離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的實(shí)際應(yīng)用

    保險(xiǎn)金問題:交強(qiáng)險(xiǎn)是汽車保險(xiǎn)中必買的險(xiǎn)種,假設(shè)每次事故財(cái)產(chǎn)損失平均賠付500元,人員傷亡平均賠付3萬元,某型家庭自用車,每年繳納交強(qiáng)險(xiǎn)金額為950元.據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析,該型車一年內(nèi)發(fā)生交通事故導(dǎo)致財(cái)產(chǎn)損失和人員傷亡的概率為分別0.2958和0.0182。問:一輛該型車,保險(xiǎn)公司年平均收益為多少呢?

    設(shè)保險(xiǎn)公司年收益為X,首先寫出X的分布律:根據(jù)題目給出的條件,當(dāng)發(fā)生交通事故以0.2958的概率導(dǎo)致財(cái)產(chǎn)損失時(shí),保險(xiǎn)公司需賠償500元,投保人繳納了950元的保費(fèi),所以保險(xiǎn)公司的收益為950-500=450元;當(dāng)發(fā)生交通事故以0.0182的概率導(dǎo)致人員傷亡時(shí),保險(xiǎn)公司需賠償3萬元,950元的保費(fèi)減去3萬為負(fù)29050元,若車輛沒有任何損失時(shí),這950元的保費(fèi)就為保險(xiǎn)公司的純盈利,概率為0.6860。所以X的分布律如下:

    思考:對(duì)于受害者來說,若遭遇重大的損失和傷亡,這500元及3萬元的賠償金無疑是杯水車薪,所以,投保人希望能提高賠償金(設(shè)m為財(cái)產(chǎn)損失平均賠償金,n為人員傷亡平均賠償金),同時(shí)又想少交一點(diǎn)保險(xiǎn)費(fèi)(設(shè)為s),而保險(xiǎn)公司當(dāng)然是想多收點(diǎn)保險(xiǎn)費(fèi)少陪一點(diǎn)錢,如何處理這種矛盾呢?即當(dāng)m,n,s滿足什么關(guān)系式,保險(xiǎn)公司才能盈利呢?

    X的分布律如下:

    (注:本文系湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院法商學(xué)院2015年教育教學(xué)研究項(xiàng)目“數(shù)學(xué)文化融入大學(xué)數(shù)學(xué)教育的意義與策略研究”,項(xiàng)目編號(hào):2015J16)

    參考文獻(xiàn):

    [1]曾艷妮,徐勇.數(shù)學(xué)文化對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)教育的意義和作用[J].湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院學(xué)報(bào)(人文社科版),2016.1.

    [2]彭維玲,歷建蘭.數(shù)學(xué)文化融入高師數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的案例與分析[J].通化師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015.4.

    [3]曾艷妮.微積分教學(xué)中如何融入數(shù)學(xué)文化[J].湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院學(xué)報(bào)(人文社科版),2014.12.

    [4]任秋萍,張曉光,王佳秋,王新霞.高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的研究[J].高師理科學(xué)刊,2014.11.

    [5]張維忠,徐曉芳.基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)案例設(shè)計(jì)述評(píng)[J].浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008.9.

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