軍?！陡怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教學(xué)方法探討

劉偉+王德強(qiáng)+范卓

摘 要 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是軍隊(duì)院校本科各專業(yè)的一門基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程。本文針對(duì)軍隊(duì)院校的特點(diǎn)，分別從差異性、趣味性和軍味等三個(gè)方面對(duì)該課程的教學(xué)進(jìn)行了探討。

關(guān)鍵詞 軍隊(duì)院校 概率統(tǒng)計(jì) 教學(xué)方法

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科，被廣泛應(yīng)用于軍事、管理和經(jīng)濟(jì)等各個(gè)領(lǐng)域，也是軍隊(duì)院校本科各專業(yè)的一門基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程。在教學(xué)過(guò)程中，由于內(nèi)容多，學(xué)時(shí)少，學(xué)員往往反映難懂、難學(xué)、難用，做題時(shí)缺乏思路，難以下手。如何提高軍隊(duì)院校概率統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)質(zhì)量，增強(qiáng)學(xué)員對(duì)概率統(tǒng)計(jì)思想和方法的理解及應(yīng)用能力已成為軍隊(duì)院校數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難題。結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，本人認(rèn)為在教學(xué)時(shí)應(yīng)從以下三個(gè)方面進(jìn)行把握。

1考慮差異，有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué)

軍校和地方高校有很大的不同。地方高校的學(xué)生全部都是應(yīng)屆高考生，而在軍校學(xué)員中，各個(gè)專業(yè)除了高考生以外，都有相當(dāng)一部分戰(zhàn)士生。戰(zhàn)士生是軍校中一類重要而特殊的群體。這些學(xué)員當(dāng)中，有的沒(méi)有讀過(guò)高中，高中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)全部都是在當(dāng)兵入伍期間靠自學(xué)完成；有的雖然讀過(guò)高中，但是經(jīng)過(guò)兩年的軍營(yíng)生活，所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)很多都遺忘了。因此與高考生相比，戰(zhàn)士生的基礎(chǔ)普遍較差，雖然平時(shí)學(xué)習(xí)很努力，學(xué)習(xí)的主動(dòng)性也較強(qiáng)，但是由于基礎(chǔ)問(wèn)題，學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的相關(guān)課程普遍感覺(jué)較為吃力，對(duì)于所學(xué)的內(nèi)容掌握的不太好。概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)內(nèi)容與排列組合和積分的知識(shí)密切相關(guān)，而在教學(xué)過(guò)程中高考生和戰(zhàn)士生一般都是合班上課，學(xué)員的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊增大了課堂教學(xué)的難度。

為了解決這一問(wèn)題，在授課時(shí)應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注這部分學(xué)員，注意隨時(shí)復(fù)習(xí)需用到的相關(guān)知識(shí)。在計(jì)算事件的概率時(shí)，經(jīng)常需要用到兩個(gè)重要的計(jì)數(shù)原理——加法原理和乘法原理。因此，在講授相關(guān)內(nèi)容之前，需要對(duì)這兩個(gè)原理進(jìn)行復(fù)習(xí)，通過(guò)具體例子說(shuō)明這兩個(gè)原理之間的區(qū)別和各自的適用范圍，避免混淆，同時(shí)要求學(xué)員牢記常用的排列組合公式。在講授隨機(jī)變量及其數(shù)字特征時(shí)，經(jīng)常需要用到積分的計(jì)算。因此，需要預(yù)先對(duì)積分的計(jì)算進(jìn)行詳細(xì)的復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)員回憶并熟練掌握定積分和二重積分的各種計(jì)算方法。“磨刀不誤砍柴工”，只有學(xué)員熟練掌握了這些基礎(chǔ)知識(shí)，在做題時(shí)才能游刃有余。

與地方高校相比，軍校學(xué)員的另一大不同之處在于，學(xué)員除了學(xué)習(xí)以外，還有保家衛(wèi)國(guó)的職責(zé)所在。軍校學(xué)員每天都要花一定的時(shí)間進(jìn)行軍事訓(xùn)練，這就不可避免地導(dǎo)致學(xué)員學(xué)習(xí)時(shí)間的不足，沒(méi)有太多的時(shí)間和精力去完成知識(shí)的消化和吸收。因此，在教學(xué)中應(yīng)該注意減少形式，突出重點(diǎn)。在教學(xué)的過(guò)程中，對(duì)于一些較為復(fù)雜的定理和推論，盡量進(jìn)行通俗化處理，并淡化證明過(guò)程，強(qiáng)調(diào)其應(yīng)用，盡可能地讓學(xué)員將所學(xué)知識(shí)在課堂上消化掉，不給他們帶來(lái)更多的負(fù)擔(dān)。此外，可以讓學(xué)員充分利用網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)等資源。通過(guò)該平臺(tái)，學(xué)員不僅可以全面了解該課程，共享優(yōu)質(zhì)的教學(xué)資源，還可以在網(wǎng)上進(jìn)行章節(jié)自測(cè)和互動(dòng)交流。這能有效地解決軍校學(xué)員課下用以學(xué)習(xí)的時(shí)間少這一問(wèn)題。隨著網(wǎng)絡(luò)建設(shè)水平的不斷提高，教師和學(xué)員之間通過(guò)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行教學(xué)的相關(guān)活動(dòng)也將變得越來(lái)越密切和方便。

2增加趣味，激發(fā)學(xué)員的學(xué)習(xí)興趣

概率統(tǒng)計(jì)課程由于有著自身的理論和邏輯體系，概念和公式較多，因此學(xué)員往往感到抽象、難學(xué)和枯燥無(wú)味。興趣是最好的老師，如果在授課過(guò)程中能增加趣味性，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容提出一些跟實(shí)際生活息息相關(guān)的問(wèn)題，充分調(diào)動(dòng)學(xué)員學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)員由“要我學(xué)”轉(zhuǎn)變成“我要學(xué)”，則可以達(dá)到事半功倍的效果。為了增強(qiáng)趣味性，可以采用故事、諺語(yǔ)和游戲等不同的形式，通過(guò)相關(guān)的概率知識(shí)對(duì)其進(jìn)行分析，加深學(xué)員對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握，提高他們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

例如，在講授條件概率的內(nèi)容時(shí)，可以舉大家熟知的“狼來(lái)了”的故事并加以分析。

伊索寓言“孩子與狼”講的是一個(gè)小孩每天到山上放羊，山里有狼出沒(méi)。第一天，他在山上喊：“狼來(lái)了！狼來(lái)了！”，山下的村民聞聲便去打狼，可到山上，發(fā)現(xiàn)狼沒(méi)有來(lái)；第二天仍是如此；第三天，狼真的來(lái)了，可無(wú)論小孩怎么喊叫，也沒(méi)有人來(lái)救他，因?yàn)榍岸嗡f(shuō)了謊，人們不再相信他了。

我們可以用貝葉斯公式來(lái)解釋該問(wèn)題。

用事件A表示“小孩說(shuō)謊”，事件B表示“小孩可信”，不妨假設(shè)村民對(duì)小孩的印象為：P（B）=0.8和P（B）=0.2。此外，不妨設(shè)P（A|B）=0.1，P（P（A|B）=0.5。那么，當(dāng)?shù)谝淮未迕裆仙酱蚶?，發(fā)現(xiàn)狼沒(méi)有來(lái)，即小孩說(shuō)了謊（事件A發(fā)生了），由貝葉斯公式可以計(jì)算出村民對(duì)這個(gè)小孩的可信程度變?yōu)镻（B|A）=0.44。這表明村民上了一次當(dāng)后，對(duì)這個(gè)小孩的可信程度由原來(lái)的0.8，降為0.44，即P（B）=0.44，P（B）=0.56。在此基礎(chǔ)上，這個(gè)小孩二次說(shuō)謊后，再一次由貝葉斯公式可以計(jì)算出村民對(duì)他的可信程度變?yōu)镻（B|A）=0.138。經(jīng)過(guò)兩次上當(dāng)，村民對(duì)這個(gè)小孩的可信程度已經(jīng)從0.8下降到了0.138。如此低的可信度，村民聽(tīng)到第三次呼叫時(shí)怎么再會(huì)相信他呢？

生活中的很多諺語(yǔ)也可以與概率論相結(jié)合，用概率論的知識(shí)進(jìn)行解釋。在講授相關(guān)內(nèi)容時(shí)，如果能選擇合適的諺語(yǔ)，并對(duì)諺語(yǔ)中描述的現(xiàn)象進(jìn)行定量分析和加以證明，將使學(xué)員對(duì)相關(guān)性質(zhì)和定理的理解更加透徹。

例如，在講授多個(gè)事件的獨(dú)立性時(shí)，可能學(xué)員會(huì)認(rèn)為該內(nèi)容較為抽象，難以對(duì)獨(dú)立性的概念有深刻理解。這時(shí)我們可以通過(guò)諺語(yǔ)“三個(gè)臭皮匠，頂個(gè)諸葛亮”給學(xué)員一個(gè)直觀的印象，并運(yùn)用數(shù)學(xué)方法證明該諺語(yǔ)的正確性。不妨用事件Ai（i=1，2，3）表示第i個(gè)臭皮匠獨(dú)立解決某問(wèn)題，并假設(shè)每個(gè)臭皮匠解決該問(wèn)題的概率均為0.5，則事件“問(wèn)題被解決”的概率為P（A1€I4A2€I4A3）=1€HaP（A1）P（A2）P（A3）=0.875。由此可以看出，三個(gè)并不聰明的“臭皮匠”居然能解決百分之九十左右的問(wèn)題，聰明的諸葛亮也不過(guò)如此。這樣，學(xué)員對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握就比單純的證明和記憶要好得多，并能加深理解。

生活中還有一些其他的諺語(yǔ)，如“常在河邊走，哪有不濕鞋”等，也可以用概率論的知識(shí)加以分析，并從數(shù)學(xué)上進(jìn)行說(shuō)明。只要我們善于發(fā)現(xiàn)，恰當(dāng)?shù)貙⒏怕收摰南嚓P(guān)知識(shí)與熟知的諺語(yǔ)相結(jié)合，就能激發(fā)學(xué)員的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果。

此外，還可以采用案例教學(xué)，引入生活中的熱門話題，以增加課堂的趣味性。例如在講授古典概型時(shí)，可以舉“彩票問(wèn)題”，讓學(xué)員計(jì)算福彩35選7中一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)的概率；在講授指數(shù)分布時(shí)，可以讓學(xué)員考慮家電賣場(chǎng)里展示的電視和未展示電視的壽命是否一樣；在講授正態(tài)分布時(shí)，可以把往年某一年級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)拿出來(lái)，讓學(xué)員計(jì)算成績(jī)是否服從正態(tài)分布，以此評(píng)價(jià)此次考試試卷的合理性。這些與現(xiàn)實(shí)緊密結(jié)合的例子，不僅可以調(diào)動(dòng)學(xué)員的學(xué)習(xí)興趣，而且鍛煉了分析解決問(wèn)題的能力，使學(xué)員能夠較快的形成數(shù)學(xué)意識(shí)。

除了采用傳統(tǒng)教學(xué)手段以外，還可以利用多媒體手段，將板書設(shè)計(jì)和多媒體相結(jié)合進(jìn)行教學(xué)。多媒體教學(xué)作為科技發(fā)展的產(chǎn)物，越來(lái)越多地被廣大教師所使用。通過(guò)將一些教學(xué)內(nèi)容以動(dòng)畫和圖形的形式顯示出來(lái)，或者用計(jì)算機(jī)模擬一些定理，可以使抽象理論形象化，加深學(xué)員的理解，大大提升教學(xué)效果。例如，在講授正態(tài)分布時(shí)，可以利用軟件繪制正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形，讓學(xué)員直觀地看出密度曲線是一條關(guān)于對(duì)稱的鐘形曲線；進(jìn)一步地，通過(guò)設(shè)置不同的參數(shù)和，觀察密度曲線的變化情況，從而理解和的取值分別對(duì)曲線的影響：決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度。在講授中心極限定理時(shí)，可以用計(jì)算機(jī)動(dòng)態(tài)的模擬高爾頓釘板游戲，觀察小球落下的情況，從正態(tài)分布的形成過(guò)程自然地引出中心極限定理，然后，再用中心極限定理解釋該游戲，幫助學(xué)員理解定理的使用價(jià)值。

3增強(qiáng)軍味，數(shù)學(xué)教學(xué)與軍事相融合

概率統(tǒng)計(jì)課程的傳統(tǒng)教學(xué)方法重視理論的系統(tǒng)性和邏輯的嚴(yán)密性，強(qiáng)調(diào)定理和性質(zhì)的推導(dǎo)與證明，導(dǎo)致學(xué)員學(xué)習(xí)后普遍認(rèn)為該門課程的知識(shí)有用，但不知如何用。在軍隊(duì)院校的概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，雖然在教材選用、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)形式等方面與地方高校大同小異，但是應(yīng)該注意增強(qiáng)軍味，強(qiáng)調(diào)其在軍事中的應(yīng)用，體現(xiàn)軍校特色。為達(dá)到這一目的，在教學(xué)中應(yīng)將數(shù)學(xué)與軍事相融合，適當(dāng)增加與軍事有關(guān)的內(nèi)容，使學(xué)員能利用相關(guān)知識(shí)解決軍事問(wèn)題。

例如，在講授數(shù)學(xué)期望時(shí)，可以提出學(xué)員較感興趣的航母服役期間的平均維修費(fèi)用問(wèn)題：

據(jù)美國(guó)的數(shù)據(jù)顯示，航母的維修費(fèi)與其服役的年限有關(guān)，可用如下函數(shù)關(guān)系式表示（X表示服役年限，Y表示服役期間總的維修費(fèi)用）：

設(shè)航母的服役年限X服從參數(shù)為1/40的指數(shù)分布，問(wèn)一艘航母的平均維修費(fèi)用該如何計(jì)算？

在解決這一問(wèn)題時(shí)，通過(guò)計(jì)算服役年限X在各個(gè)區(qū)間取值的概率，可以得到維修費(fèi)用Y的分布律。從而由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式得到平均維修費(fèi)用為：

E（Y）=0.3935a+0.1896b+0.1304c+0.2865d.

通過(guò)查閱相關(guān)資料，美國(guó)“尼米茲”級(jí)核動(dòng)力航母“里根”號(hào)的維修費(fèi)為：a=80，b=130，c=180，d=200，代入上述公式，可得E（Y）=136.9（億美元）。

通過(guò)這一例子，既讓學(xué)員掌握了數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法，又讓學(xué)員對(duì)航母在服役期間的維修費(fèi)用情況有了一定的了解。

此外，除了為鞏固所學(xué)內(nèi)容而講授的基本例題外，還可以介紹概率統(tǒng)計(jì)在軍事領(lǐng)域的各種應(yīng)用，教會(huì)學(xué)員如何應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)解決一些軍事問(wèn)題，如戰(zhàn)場(chǎng)中是否躲在老彈坑中更安全，武器裝備實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理和分析，現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中的飽和打擊等。這些問(wèn)題既沒(méi)有破壞原有的教學(xué)體系和教學(xué)大綱中的知識(shí)點(diǎn)，又與軍事相結(jié)合，開(kāi)闊了學(xué)員的眼界，提高他們的學(xué)習(xí)興趣和畢業(yè)后的任職能力。

總之，在軍隊(duì)院校的概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，既要增加趣味性，激發(fā)學(xué)員的學(xué)習(xí)興趣，又要注重差異性，并體現(xiàn)軍校特色。只有積極地研究、實(shí)踐探索與創(chuàng)新，才能提高教學(xué)質(zhì)量，將學(xué)員培養(yǎng)成為適合軍隊(duì)現(xiàn)代化需要的合格人才。

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