當(dāng)音樂(lè)擁抱數(shù)學(xué)（下）

王江山++朱宇彤++王江山

音樂(lè)是一種兼具時(shí)間、空間、抽象藝術(shù)等典型特征的表現(xiàn)形式，而數(shù)學(xué)恰恰又與這些特征息息相關(guān)，這種相關(guān)性深刻地體現(xiàn)在了音律中。音律是確定調(diào)式音高的基礎(chǔ)，反映了各音的絕對(duì)準(zhǔn)確高度及其相互關(guān)系。在音樂(lè)與數(shù)學(xué)的碰撞過(guò)程中，總會(huì)有好的音樂(lè)誕生，讓我們一起來(lái)看看音樂(lè)與數(shù)學(xué)到底會(huì)碰撞出怎樣的故事？柔美的音樂(lè)中是不是也會(huì)誕生數(shù)學(xué)呢？

七辭王位的

朱載堉與十二平均律

在音律中，每個(gè)音級(jí)為“一律”，如果將管仲的三分損益法推演下去，就會(huì)得到一個(gè)下4度音，依此類推，就能得到12個(gè)音，稱“十二律”。如果按照三分損益法推演音律，計(jì)算到最后一律時(shí)就不能循環(huán)，這樣在移調(diào)或轉(zhuǎn)調(diào)時(shí)，就無(wú)法獲得均等的音樂(lè)效果，從某種程度上來(lái)講破壞了音樂(lè)的和諧之美。那么，如何解決三分損益法的這一瑕疵呢？如何令音律均等和諧呢？千百年間，中外的音樂(lè)家們孜孜以求，可他們大多以失敗告終。幸而，在四百多年前的中國(guó)，一位皇親解決了這個(gè)問(wèn)題。

?朱載堉（1536-1611），字伯勤，明代著名的律學(xué)家、歷學(xué)家、音樂(lè)家。朱載堉自幼深受其父的影響，喜歡音樂(lè)、 數(shù)學(xué)等，被中外學(xué)者尊崇為“東方文藝復(fù)興式的圣人”（繪圖/朱宇彤）

1596年，皇子朱載堉為世界帶來(lái)了一個(gè)韻律上的偉大貢獻(xiàn)：他編撰了《律呂精義》。在這本書(shū)里，存在一個(gè)偉大的證明：勻律音階的音程可以取二的十二次方根。

這個(gè)證明看似抽象，仿佛又完全是個(gè)數(shù)學(xué)定理，和音樂(lè)究竟有何關(guān)系呢？朱載堉到底證明了什么？

朱載堉從小就表現(xiàn)出對(duì)天文、數(shù)學(xué)、音樂(lè)的興趣。在復(fù)雜的政治斗爭(zhēng)中，他的父親鄭恭王被小人陷害入獄。從此，朱載堉的人生發(fā)生了天翻地覆的轉(zhuǎn)折。他無(wú)心權(quán)位，從此遠(yuǎn)離了宮門(mén)，開(kāi)始一心研究他熱愛(ài)的數(shù)學(xué)和音樂(lè)。面對(duì)音樂(lè)演奏中“旋宮轉(zhuǎn)調(diào)”這一千古難題，他全身心地投入研究。他研讀了大量先人的學(xué)說(shuō)，發(fā)現(xiàn)他們都沒(méi)能擺脫舊日思想的沉疴，都不是完善的音律理論。

?據(jù)《明史·藝文志》載，朱載堉的一生有很多著作，內(nèi)容涉及音樂(lè)、天文、歷法、數(shù)學(xué)、舞蹈、文學(xué)等，是一個(gè)可以與李時(shí)珍、宋應(yīng)星、徐光啟、徐霞客齊名的重量級(jí)科學(xué)家，同時(shí)也是一位大百科全書(shū)式的學(xué)者（繪圖/朱宇彤）

朱載堉在研究音律學(xué)的同時(shí)，發(fā)現(xiàn)前人可能忽略了計(jì)量學(xué)和度量衡的演變。他思考著：會(huì)不會(huì)是因?yàn)橛?jì)量不準(zhǔn)確，才導(dǎo)致計(jì)算偏差呢？他在確定量制標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，從數(shù)學(xué)理論出發(fā)，深入研究了等比數(shù)列，進(jìn)而找到了計(jì)算等比數(shù)列的方法，并思考著將它運(yùn)用到音律計(jì)算中?？蛇@時(shí)，新的難題再一次襲來(lái)，等比數(shù)列涉及繁復(fù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算，只憑人的腦力恐怕難以成功。但朱載堉沒(méi)有放棄，他創(chuàng)造性地運(yùn)用珠算進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算，還自創(chuàng)了珠算開(kāi)方口訣，順帶解決了不同進(jìn)位小數(shù)的換算方法，做出了有關(guān)計(jì)算法則的總結(jié)。

就這樣，朱載堉在向難題沖刺的道路上，不斷解決了難題周邊的其他問(wèn)題，并將從那些問(wèn)題中獲得的計(jì)算方法，應(yīng)用到解決音樂(lè)難題的過(guò)程中。在音律理論上，他倡導(dǎo)七聲音階，把八度分成十二個(gè)半音以及變調(diào);在推算方法上，他以珠算開(kāi)方的辦法，求得律制上的等比數(shù)列，第一次解決了十二律內(nèi)自由旋宮轉(zhuǎn)調(diào)的千古難題，因此，該音律理論被稱為“十二平均律”。

在《律學(xué)新說(shuō)》卷一中，詳細(xì)記述了十二平均律的計(jì)算方法。他用發(fā)音體的長(zhǎng)度來(lái)計(jì)算音高：假定黃鐘正律為一尺，求出低八度的音高弦長(zhǎng)為二尺，然后將2開(kāi)12次方，得到頻率公比數(shù)1.059463094，該公比自乘十二次即得十二律中各律音高，而黃鐘正好可以將其還原。

那到底什么是十二平均律呢？所謂“十二平均律”，就是把中音C和高音C之間的頻率“平均”分成12個(gè)間隔，每一個(gè)音符的頻率和前一個(gè)音符的頻率之比相等。這樣，就把八度音分為十二等分，就是分為十二個(gè)等比級(jí)數(shù)，其結(jié)果就是每個(gè)音的頻率為前一個(gè)音的2開(kāi)12次方倍。對(duì)比數(shù)值我們能清楚地發(fā)現(xiàn)，朱載堉的計(jì)算已經(jīng)到了很精確的地步。這一發(fā)現(xiàn)，幾乎比歐洲人提前了半個(gè)世紀(jì)。

十二平均律理論的研究，不僅在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)了極大的造詣，也極大地豐富了音樂(lè)的色彩和表現(xiàn)力。十二平均律的發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用，開(kāi)創(chuàng)了世界音樂(lè)史的新紀(jì)元，許多偉大的音樂(lè)家及其大批劃時(shí)代的作品，都受到了十二平均律的影響。如德國(guó)著名的鋼琴家巴赫就很推崇十二平均律，還寫(xiě)下了48首植根于十二平均律的鋼琴曲呢！

?朱載堉用橫跨81檔的特大算盤(pán)，進(jìn)行與音律有關(guān)的數(shù)學(xué)計(jì)算（繪圖/朱宇彤）

尋找最美的音符：

音樂(lè)中的黃金分割

提到黃金分割，大家應(yīng)該不會(huì)陌生。這個(gè)奇妙的數(shù)學(xué)理論總令人產(chǎn)生無(wú)限的遐想……從貝類動(dòng)物身上的神秘螺線，到金字塔的邊線角度，從人體的和諧線條，到無(wú)機(jī)物質(zhì)的原子排列，生活中隨處可見(jiàn)這個(gè)神秘的比例。那么，當(dāng)黃金分割理論被應(yīng)用于音樂(lè)中，又會(huì)碰撞出怎樣的火花呢？

說(shuō)到黃金分割率，就要講一講斐波那契數(shù)列。斐波那契是意大利數(shù)學(xué)家，他曾提出過(guò)一個(gè)有趣的問(wèn)題：“如果有一對(duì)小兔，兩個(gè)月后就能開(kāi)始生產(chǎn)，從此每月產(chǎn)下一對(duì)小兔，產(chǎn)下來(lái)的小兔也是如此，如果所有的兔子都不死，那么一年以后能繁殖多少對(duì)兔子呢？”稍加計(jì)算，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這道題的答案非常奇妙：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…如此你就得到了斐波那契數(shù)列。仔細(xì)觀察，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)列有個(gè)顯著的特點(diǎn)：任何相鄰兩個(gè)數(shù)，其第一個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)的比值越來(lái)越接近黃金分割的數(shù)值0.618。

斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，如果我們將其用于分類及音樂(lè)曲式結(jié)構(gòu)中，會(huì)不會(huì)使音樂(lè)更加和諧、優(yōu)美呢？

許多作曲家有意或無(wú)意地把黃金分割引用到音樂(lè)中，這反而成為了他們作品歷久彌新的法寶。許多曲子都是一段式、二段式、三段式或五段回旋曲式。而且黃金分割比例與音樂(lè)中高潮的位置有密切關(guān)系。如在《夢(mèng)幻曲》中，全曲共分6句，24小節(jié)。按照黃金分割率計(jì)算的話，高潮將在第14小節(jié)（24×0.618≈14.83）出現(xiàn)，而這與實(shí)際情況是完全符合的。

更典型的例子是莫扎特的《D大調(diào)奏鳴曲》，它的第一樂(lè)章全長(zhǎng)160小節(jié)，若用小節(jié)數(shù)乘以黃金分割比值，即160×0.618=98.88，曲子的再現(xiàn)部位恰恰位于第99小節(jié)，正好在黃金分割點(diǎn)上。也許是有意為之，也許是天賦的自然流淌，莫扎特的大部分鋼琴曲中都應(yīng)用了這個(gè)方法，以至于有人評(píng)價(jià)他：“我們應(yīng)當(dāng)知道，創(chuàng)作這些不朽作品的莫扎特，也是一位喜歡數(shù)字游戲的天才。莫扎特是懂得黃金分割，并有意識(shí)地運(yùn)用它的。”

朋友們仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，許多優(yōu)秀歌曲的高潮部分一般也會(huì)出現(xiàn)在黃金分割點(diǎn)上。這一點(diǎn)不僅在古典音樂(lè)中得到充分展示，在流行歌曲中也可以找到痕跡，許多歌曲的主歌和高潮部分，都落在這個(gè)神秘的點(diǎn)上。

?當(dāng)樂(lè)器激蕩起樂(lè)章時(shí)，悠揚(yáng)的旋律起起落落，數(shù)學(xué)上的比例之美，通過(guò)樂(lè)聲得到了傳達(dá)（繪圖/朱宇彤）

樂(lè)器：音樂(lè)與數(shù)學(xué)

交織的杰作

前文我們提到了黃金分割理論，它不僅被應(yīng)用在樂(lè)曲編排中，還被廣泛地運(yùn)用到樂(lè)器制造上。最為典型的例子就是小提琴，其共鳴箱最寬處和箱長(zhǎng)之比，共鳴箱最厚處與箱體最窄處之比，皆符合黃金分割率。而且，在樂(lè)器的制造上，小提琴的部分符合黃金律越多，音色越優(yōu)美。數(shù)學(xué)理論再次在樂(lè)器制作中顯示了它的魔力。

?斐波那契螺旋線又稱黃金螺旋，是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫(huà)出來(lái)的螺旋曲線，指在矩形中按照黃金比率旋進(jìn)漸進(jìn)無(wú)限分割，切點(diǎn)的連線形成對(duì)數(shù)螺旋線。（繪圖/王江山）

作為樂(lè)器之王的鋼琴，更是處處體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的智慧。鋼琴的制造就是用十二平均律來(lái)定音的。因?yàn)殇撉偈擎I盤(pán)樂(lè)器，每個(gè)鍵的音高是固定的，因此，消除兩種半音的差別就顯得尤為重要，而唯一的辦法是使相鄰各音頻率之比相等，這樣才能滿足音樂(lè)演奏中旋宮轉(zhuǎn)調(diào)的要求。十二平均律確定的各律音程相等，就很好地解決了這個(gè)問(wèn)題。鋼琴琴鍵的音程也與斐波那契數(shù)列有關(guān)。在一個(gè)八度音程中有13個(gè)鍵，八個(gè)白鍵和五個(gè)黑鍵，而五個(gè)黑鍵又可以分為兩組。一組兩個(gè)，一組三個(gè)，2、3、5、8、13恰好是斐波那契數(shù)列的一段。

不僅如此，樂(lè)器的形狀也會(huì)影響聲色的變化。典型的例子是三角鋼琴。它的形狀很像一條指數(shù)函數(shù)曲線，這樣設(shè)計(jì)的鋼琴不僅節(jié)省了材料，而且外形也更加流暢美觀;圓號(hào)的形狀也是借鑒了這個(gè)原理。除此之外，吉他弦長(zhǎng)的粗細(xì)比例和長(zhǎng)笛的孔徑間距也應(yīng)用了數(shù)學(xué)原理，不同的比值和距離可以產(chǎn)生不同的音色和音調(diào)變化。數(shù)學(xué)在樂(lè)器中的應(yīng)用，讓樂(lè)器演奏的樂(lè)聲更加和諧動(dòng)人。

知識(shí)鏈接 愛(ài)做學(xué)問(wèn)不愛(ài)王位的朱載堉

朱載堉的父親去世后，按規(guī)定，朱載堉可以、也應(yīng)該繼承王位?？墒撬麑?duì)做王爺沒(méi)有興趣，而越發(fā)離不開(kāi)對(duì)天文、歷法與音樂(lè)的研究。他連續(xù)七次上表，請(qǐng)求準(zhǔn)許他辭掉王位，專心探討學(xué)問(wèn)。最后，明神宗同意了他的請(qǐng)求，而且特批，他和他的兒子雖然沒(méi)有爵位，但可以終身享受親王與親王世子的俸祿。

西爾弗斯特曾說(shuō)過(guò)：“難道不可以把音樂(lè)描繪成感覺(jué)的數(shù)學(xué)，而把數(shù)學(xué)描繪成理性的音樂(lè)嗎？這樣，音樂(lè)家感覺(jué)到數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)家想到音樂(lè)——音樂(lè)是夢(mèng)想，數(shù)學(xué)是工作的一生——每一方都經(jīng)由對(duì)方達(dá)到盡善盡美的境地，那時(shí)，人類的智慧達(dá)到完美的典型，將在某個(gè)未來(lái)的莫扎特-狄利克雷或貝多芬-高斯的歌頌下而光彩奪目?！币魳?lè)與數(shù)學(xué)的結(jié)合，就是這樣奇妙！偉大的藝術(shù)中，常常棲居著科學(xué)的秘密。