基于小波包方法的非平穩(wěn)地震動(dòng)模擬和設(shè)計(jì)譜擬合

李 亞 楠，　王 國 新

( 大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部, 遼寧 大連　116024 )

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基于小波包方法的非平穩(wěn)地震動(dòng)模擬和設(shè)計(jì)譜擬合

李 亞 楠，王 國 新*

( 大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部, 遼寧 大連116024 )

摘要：提出了一種基于小波包分解和重構(gòu)的模擬非平穩(wěn)地震動(dòng)并擬合設(shè)計(jì)譜的方法．該方法模擬出工程用地震動(dòng)并調(diào)整頻率分量，使其以一定的精度擬合設(shè)計(jì)譜．首先，利用5個(gè)參數(shù)生成了構(gòu)成地震動(dòng)加速度時(shí)程的小波包系數(shù)矩陣，并通過小波包重構(gòu)獲得加速度時(shí)程，該系數(shù)矩陣模擬了實(shí)際地震記錄中頻率隨持時(shí)逐漸減小的特點(diǎn)．其次，將模擬的地震動(dòng)利用小波包分解方法分解為具有高分辨率非重疊的小波包系數(shù)矩陣，然后根據(jù)設(shè)計(jì)譜調(diào)整頻率分量．?dāng)?shù)值算例表明，該方法模擬的不同持時(shí)的加速度時(shí)程均能吻合同一設(shè)計(jì)譜，且迭代后仍然能保留地震動(dòng)的非平穩(wěn)特性．另外，該方法具有較穩(wěn)定和較快的收斂過程，能在有限次調(diào)整迭代中實(shí)現(xiàn)較高的擬合精度．

關(guān)鍵詞：地震動(dòng)模擬；譜兼容加速度時(shí)程；小波包；非平穩(wěn)時(shí)程

0引言

在工程抗震設(shè)計(jì)中，反應(yīng)譜技術(shù)自提出以來，一直是抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中的重要內(nèi)容之一[1-3]．而隨著設(shè)計(jì)方法和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，人們已經(jīng)不再滿足于抗震設(shè)計(jì)的反應(yīng)譜靜力分析方法，而開始考慮全部地震過程，尤其對(duì)于重要工程結(jié)構(gòu)，如核電站、大壩、大型儲(chǔ)物裝置、大跨橋梁、超高層建筑等．輸入結(jié)構(gòu)的地震動(dòng)時(shí)程的反應(yīng)譜必須在一定精度下與設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜(以下簡(jiǎn)稱設(shè)計(jì)譜)相擬合，也就是所謂的譜兼容時(shí)程(spectrum-compatible time history)．通常情況下，擬合方法是對(duì)實(shí)際強(qiáng)震記錄做修正，讓其滿足設(shè)計(jì)譜．然而，由于強(qiáng)震記錄的數(shù)量有限且分布不均勻，不能滿足多方面要求，地震動(dòng)的模擬越來越受到重視．

一條加速度時(shí)程的反應(yīng)譜是唯一的且是很容易計(jì)算的，但是由給定的設(shè)計(jì)譜來尋求加速度時(shí)程這一反問題求解卻是非常困難的．在過去的三十多年里，許多學(xué)者對(duì)此問題給出了不同的解法．Scanlan等在1974年提出了著名的三角級(jí)數(shù)模型來模擬具有給定功率譜的地震動(dòng)加速度時(shí)程[4]，這一方法也是工程上應(yīng)用最廣泛的方法之一．隨后，就開啟了利用傅里葉譜幅值和相位迭代的研究思路．傅里葉變換是非常直接的反應(yīng)譜擬合方法，多數(shù)學(xué)者把重點(diǎn)放在了時(shí)域幅值非平穩(wěn)的模擬上[5-7]．然而該方法存在著局限性：一是沒有很好的收斂特性；二是如果傅里葉譜修正得過多，則加速度時(shí)程的非平穩(wěn)特性將發(fā)生較大的改變．之后，演化功率譜方法[8-9]被提出來反映模擬地震動(dòng)的頻率特性，該方法假定相位和相位差遵循一定的概率分布．從此，頻率非平穩(wěn)性的模擬受到了學(xué)者的重視．Mukherjee等[10]基于小波變換提出了一種直接對(duì)實(shí)際記錄進(jìn)行頻率修正來擬合設(shè)計(jì)譜的方法，從而可以保留實(shí)際記錄的大部分頻率特性．但該方法精度不高且沒有給出擬合精度的分析結(jié)果．其他方法，如基于諧小波的方法[11]和希爾伯特黃變換法[12]也在保留地震動(dòng)的瞬時(shí)頻率方面取得了較為理想的效果．國內(nèi)對(duì)反應(yīng)譜擬合技術(shù)的研究多采用基于相位譜和相位差譜的方法[13-16]．隨后，趙鳳新等提出了多阻尼反應(yīng)譜擬合的時(shí)域疊加法[17]并引入到小波變換中[18]，其在精度上取得了較好的效果．

本文提出一種基于小波包變換的反應(yīng)譜擬合方法，首先模擬具有時(shí)間和頻率非平穩(wěn)性的地震動(dòng)；然后采用小波包分解的方法將地震動(dòng)加速度時(shí)程分解為有限頻率段；最后根據(jù)設(shè)計(jì)譜，對(duì)各個(gè)頻率段進(jìn)行調(diào)整并迭代，從而達(dá)到較高的擬合精度．通過對(duì)一個(gè)核電站的設(shè)計(jì)譜進(jìn)行擬合，分別得到兩條不同的地震動(dòng)加速度時(shí)程，并且討論該方法的精度．

1基本原理

小波方法同時(shí)在時(shí)間域和頻域?qū)π盘?hào)做分解，從而將頻譜在時(shí)間軸上展開．小波包是小波方法的延伸，它不僅對(duì)低頻部分做分解，同時(shí)也對(duì)高頻部分繼續(xù)分解，提高了頻率的分辨率．

1.1小波包分解

信號(hào)的時(shí)間和頻率關(guān)系叫時(shí)頻圖，能夠表征信號(hào)這一關(guān)系的方法有很多，如短時(shí)傅里葉變換、離散與連續(xù)小波變換、小波包變換和偽韋格納分布．然而地震動(dòng)模擬不僅需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解，同時(shí)需要能夠方便、完整地逆變換回時(shí)域，小波包分解與重構(gòu)即符合這一要求．

小波包分解與重構(gòu)的定義如下：

(1)

(2)

在給定的分解層數(shù)j下，第i尺度的第k個(gè)位置的小波包系數(shù)可以用下式計(jì)算：

(3)

(4)

(5)

(6)

圖1為1979年美國Imperial Valley地震中El Centro Array #12號(hào)臺(tái)站記錄的時(shí)頻圖．加速度時(shí)程位于正上方，單位為重力加速度g(g=9.81 m/s2)；左邊為傅里葉幅值譜．中間的黑白色方塊即小波包系數(shù)，顏色的深淺代表了系數(shù)的大小，圖中色度條的數(shù)值為系數(shù)絕對(duì)值的相對(duì)值．可以看出，小波包系數(shù)矩陣中數(shù)值大的部分同時(shí)對(duì)應(yīng)地震波加速度時(shí)程的時(shí)域和頻域中幅值較大的區(qū)域．這說明，如果表達(dá)出該小波包系數(shù)矩陣的總體特征，就可以通過小波包重構(gòu)的方法將地震動(dòng)模擬出來，并且可以修正這些系數(shù)，從而達(dá)到擬合設(shè)計(jì)譜的目的．

圖1　時(shí)頻圖

1.2地震動(dòng)模擬

從式(2)可以看出，如果得到了小波包系數(shù)矩陣，就可以模擬出一條地震動(dòng)時(shí)程．而如果該小波包系數(shù)矩陣擁有與實(shí)際記錄相似的特征，則通過小波包重構(gòu)得到的模擬時(shí)程同樣和實(shí)際記錄相似．本文首先通過對(duì)一條高斯白噪聲進(jìn)行窗口化，來模擬地震動(dòng)的時(shí)域非平穩(wěn)性．所用的Saragoni窗函數(shù)[19]表達(dá)如下：

w(t)=a(t/Td)be-ct/Td

(7)

b=-θlnτ/(1+θ(lnτ-1))

(8)

c=b/θ

(9)

a=(e/θ)b

(10)

式中：w(t)是Saragoni窗函數(shù)，Td是模擬時(shí)程的持時(shí)，θ是窗函數(shù)的峰值發(fā)生點(diǎn)占整個(gè)高斯白噪聲時(shí)長(zhǎng)的比例，且在高斯白噪聲結(jié)束時(shí)的幅值占峰值的比例為τ；a、b和c是中間參數(shù)．圖2展示了不同θ和τ下Saragoni窗函數(shù)歸一化后的形狀．

圖2　Saragoni窗函數(shù)在不同θ和τ時(shí)的形狀

然后，對(duì)窗口化的高斯白噪聲做小波包分解．這里采用的模擬時(shí)間間隔為0.005 s，分解層數(shù)j為9，所以分解后的小波包系數(shù)頻率分辨率為0.195 3 Hz，時(shí)間分辨率為2.560 0 s．此時(shí)小波包系數(shù)在時(shí)頻圖的頻率帶上是均勻分布的，需要對(duì)每一列系數(shù)做修正． 圖3(a)展示了美國1992年Big Bear地震中Seal Beach-Office Bldg臺(tái)站記錄到的一條加速度時(shí)程的時(shí)頻圖，可以看出其頻率在時(shí)域上是不斷變化的．在地震波開始階段，主要包含了高頻分量，隨著時(shí)間的進(jìn)行和地震動(dòng)幅值的減弱，頻率逐漸衰減．從圖1也可以看出該特性．通過對(duì)大量強(qiáng)震記錄的分析，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)地震動(dòng)均存在該現(xiàn)象．因此，在對(duì)每一列小波包系數(shù)進(jìn)行調(diào)整時(shí)，本文采用了不同的歸一化函數(shù)．這里采用對(duì)數(shù)正態(tài)分布密度(logarithmic normal distribution density，LNDD)函數(shù)作為基準(zhǔn)函數(shù)：

k=1,2,…,2N/2j

(11)

式中：Lk(·)是對(duì)第k列小波包系數(shù)進(jìn)行歸一化的函數(shù)，f是頻率，μwk和σwk分別是Lk(·)的均值和方差．圖3(b)顯示了采用LNDD對(duì)每列小波包系數(shù)進(jìn)行歸一化后的模擬結(jié)果，可以看出和實(shí)際記錄的時(shí)頻圖是十分相似的．

(a) 時(shí)頻圖

圖3時(shí)頻圖和模擬結(jié)果

Fig.3Time-frequency diagram and simulation results

在該調(diào)整過程中，μwk和σwk由下式計(jì)算：

當(dāng)k

(12)

當(dāng)k≥m時(shí)，

(13)

其中μwm和σwm是對(duì)第m列小波包系數(shù)歸一化的LNDD的均值和方差，這里，m=int (2N/2j)，int(·) 是取整函數(shù)．因此，第m列實(shí)際上就是位于加速度時(shí)程持時(shí)中間的一列．在該列之前，頻率應(yīng)增大；在該列之后，頻率應(yīng)逐漸減?。鴓是頻率變化率參數(shù)．經(jīng)過多次與實(shí)際記錄對(duì)比，為了避免過高和過低的頻率，p對(duì)于模擬不同持時(shí)的地震動(dòng)時(shí)程應(yīng)有不同的取值：

(14)

這樣，就得到了歸一化后的小波包系數(shù)．利用式(2)進(jìn)行小波包重建，就可以獲得模擬的加速度時(shí)程x(t)．

1.3設(shè)計(jì)譜擬合

(15)

(16)

可以看出，在該步中增加了頻率的分辨率．根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)原理[20]，小波包分解中頻率分辨率和時(shí)間分辨率不可能同時(shí)無限擴(kuò)大，在增加頻率分辨率的同時(shí)，勢(shì)必要損失一定的時(shí)間分辨率．對(duì)于設(shè)計(jì)譜擬合來說，要保證頻率分辨率的精度才能達(dá)到較好的效果．雖然損失了時(shí)間分辨率，但對(duì)于長(zhǎng)持時(shí)的地震動(dòng)而言，影響較小，而對(duì)于短持時(shí)時(shí)程，可以通過補(bǔ)零的方法將其持時(shí)適當(dāng)?shù)匮娱L(zhǎng)．

i=1,2,…,Nf

(17)

其中[PSA(fi)]target是設(shè)計(jì)譜上對(duì)應(yīng)的頻率點(diǎn)fi的譜值，[PSA(fi)]simulated是模擬時(shí)程的偽加速度譜上對(duì)應(yīng)頻率點(diǎn)fi的譜值．

在每次迭代后，對(duì)小波包系數(shù)矩陣進(jìn)行重建，得到相應(yīng)的加速度時(shí)程．其相應(yīng)的偽加速度譜和設(shè)計(jì)譜的誤差可以表示為

(18)

其中Tl是反應(yīng)譜的周期，E(n)(Tl)是某周期點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相對(duì)誤差．當(dāng)平均相對(duì)誤差(Emean)不再減小時(shí)，可以判斷為迭代終止．值得注意的是，每次迭代后，不需要將加速度時(shí)程進(jìn)行重新分解，而是繼續(xù)用式(15)對(duì)小波包系數(shù)矩陣進(jìn)行調(diào)整即可．另外，當(dāng)各個(gè)周期點(diǎn)中最大相對(duì)誤差(Emax)小于某一限值時(shí)，可以判斷為迭代成功．

2擬合實(shí)例

在實(shí)際的設(shè)計(jì)地震動(dòng)模擬和擬合中，通常要求地震動(dòng)的反應(yīng)譜包絡(luò)設(shè)計(jì)譜．以核電站設(shè)計(jì)為例[1-2]，在所有控制周期(T)點(diǎn)中，模擬地震動(dòng)反應(yīng)譜低于設(shè)計(jì)譜的點(diǎn)數(shù)不超過5個(gè)，并且模擬反應(yīng)譜與設(shè)計(jì)譜之間的相對(duì)誤差應(yīng)控制在10%以內(nèi)．根據(jù)上述要求，本章在周期0.03～4.00 s 范圍內(nèi)選取了76個(gè)周期控制點(diǎn)，且設(shè)計(jì)譜的峰值設(shè)置為1g．在該例中，針對(duì)設(shè)計(jì)譜模擬了兩種不同持時(shí)的地震動(dòng)加速度時(shí)程，即x1(t)和x2(t)．圖4顯示了迭代后的加速度時(shí)程x1(t)和x2(t)以及相應(yīng)的速度和位移時(shí)程．可以看出，加速度時(shí)程包含了時(shí)間和頻率的非平穩(wěn)性．x2(t)在整個(gè)持時(shí)前半程具有相對(duì)較高的頻率，而在后半程頻率逐漸降低．由于兩個(gè)時(shí)程均吻合設(shè)計(jì)譜，其速度與位移時(shí)程也具有相似性．

圖5顯示了模擬地震動(dòng)時(shí)程的反應(yīng)譜(PSA)對(duì)設(shè)計(jì)譜的擬合情況．可以看出，模擬時(shí)程的反應(yīng)譜較好地包絡(luò)了設(shè)計(jì)譜，與設(shè)計(jì)譜非常接近．由于設(shè)定開始迭代的條件為初始模擬出的地震動(dòng)的反應(yīng)譜在各個(gè)周期上與設(shè)計(jì)譜誤差在一定范圍內(nèi)，圖中兩個(gè)時(shí)程迭代前，其反應(yīng)譜已經(jīng)接近設(shè)計(jì)譜，這是通過設(shè)定合理的μwm和σwm來達(dá)到的．另外，通過將設(shè)計(jì)譜譜值增大一定比例的方法，就能達(dá)到規(guī)范中模擬反應(yīng)譜低于設(shè)計(jì)譜點(diǎn)數(shù)不大于5的要求．

圖4　x1(t)和x2(t)迭代后的加速度、速度和位移時(shí)程

(a) x1(t)

(b) x2(t)

圖5擬合情況

Fig.5Fitting situation

圖6為x1(t)和x2(t)迭代過程中的收斂情況．可以看出，Emean在第1次迭代時(shí)就可以達(dá)到10%以內(nèi)，并且迭代結(jié)束時(shí)，可以收斂到小于2.5%．Emax在第1次迭代時(shí)，其值相對(duì)較大，且在迭代過程中出現(xiàn)先下降后升高的起伏現(xiàn)象．這是因?yàn)樵诘^程中，出現(xiàn)最大相對(duì)誤差的周期點(diǎn)

圖6　每次迭代后的平均和最大相對(duì)誤差

在不斷地變換．最終，在20次迭代步以內(nèi)，Emax可以達(dá)到7%左右的誤差．

3結(jié)語

本文基于小波包方法提出了一種新的模擬非平穩(wěn)地震動(dòng)且擬合設(shè)計(jì)譜的方法．該方法首先通過模擬小波包系數(shù)矩陣來生成地震動(dòng)，然后根據(jù)設(shè)計(jì)譜來調(diào)整小波包系數(shù)，用迭代的方法達(dá)到模擬地震動(dòng)的反應(yīng)譜吻合設(shè)計(jì)譜的目的．

本文提出的方法具有以下特點(diǎn)：

(1)本文所模擬的地震動(dòng)具有實(shí)際地震記錄的特點(diǎn)，即具有時(shí)間和頻率非平穩(wěn)性．

(2)模擬地震動(dòng)的過程簡(jiǎn)單實(shí)用，通過指定5個(gè)參數(shù)——Td、θ、τ、μwm和σwm，可以模擬出工程需要的地震動(dòng)．

(3)該方法同時(shí)包含了隨機(jī)性和確定性兩方面．隨機(jī)性表現(xiàn)在每次迭代失敗時(shí)將重新隨機(jī)產(chǎn)生高斯白噪聲；確定性表現(xiàn)在5個(gè)初始設(shè)定的參數(shù)，將限制模擬出的地震動(dòng)在有限的范圍內(nèi)變動(dòng)．

(4)該方法收斂過程較快，且比較穩(wěn)定，擬合設(shè)計(jì)譜相對(duì)誤差較?。?/p>

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Simulation of non-stationary ground motions and fitting of design spectrum based on wavelet packet method

LIYa-nan,WANGGuo-xin*

( Faculty of Infrastructure Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China )

Abstract：A method to simulate the non-stationary ground motions and fit the design spectrum is proposed based on wavelet packet decomposition and reconstruction. The method simulates ground motions for engineering and adjusts its frequency components so that the response spectrum will fit the design spectrum. Firstly, the wavelet packet coefficient matrix for ground motion acceleration time history is generated using 5 parameters,which characterizes the frequency attenuation with duration in real recordings. The acceleration time history can be obtained by wavelet packet reconstruction. Then, by wavelet packet decomposition the simulated ground motion is decomposed into a desired number of wavelet packet coefficient matrices with high resolution and non-overlapping frequency contents, and then the frequency component is adjusted for matching the response spectrum of the simulated accelerogram with specified design spectrum. Numerical example demonstrates that the acceleration time histories with different durations simulated by the proposed method all fit the design spectrum. The accelerograms keep the non-stationarities of ground motion even after iteration. Moreover, the method is stable and fast for convergence, and can achieve high fitting accuracy in limited iteration times.

Key words：ground motion simulation; spectrum-compatible acceleration time history; wavelet packet; non-stationary time history

中圖分類號(hào)：P315.9

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi:10.7511/dllgxb201603007

作者簡(jiǎn)介:李亞楠(1987-)，男，博士生，E-mail:liyananren@163.com；王國新*(1961-)，男，博士，教授，E-mail:gxwang@dlut.edu.cn.

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51378092，51121005).

收稿日期：2015-09-21；修回日期: 2015-11-19．

文章編號(hào)：1000-8608(2016)03-0263-07