《等腰三角形》教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析

蒙榜中 周忠

一、創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

活動(dòng)1.教師剪紙，請(qǐng)學(xué)生觀察圖形（見(jiàn)圖1）。教師把一張長(zhǎng)方形的紙按圖中虛線對(duì)折，然后用剪刀沿著實(shí)線剪開(kāi)，留下三角形部分，再把它展開(kāi)。

師：這是一個(gè)什么三角形？為什么？

生：這是等腰三角形，因?yàn)锳B=AC.

師：你怎么知道AB和AC的長(zhǎng)度相等呢？

生1：因?yàn)椤鰽BD≌△ACD，AB與AC是對(duì)應(yīng)邊，所以AB=AC.

生2：因?yàn)锳B與AC重合，所以它們的長(zhǎng)度相等。

師：很好，請(qǐng)你們觀察圖形，折痕左右兩邊重合嗎？等腰三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？

生：折痕左右兩邊重合，等腰三角形是軸對(duì)稱圖形。

師：你認(rèn)識(shí)等腰三角形的腰、底邊、頂角、底角嗎？（展示教具，學(xué)生回答）雖然前面我們學(xué)習(xí)了等腰三角形的知識(shí)，但是有關(guān)它的性質(zhì)、判定都沒(méi)有涉及，這節(jié)課我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)等腰三角形。（板書(shū)：等腰三角形）

【評(píng)析】教學(xué)伊始，執(zhí)教老師就創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生觀察老師的操作過(guò)程，得到研究對(duì)象——等腰三角形后，再請(qǐng)學(xué)生觀察圖形，回顧等腰三角形的相關(guān)概念如腰、底邊、頂角、底角以及等腰三角形的對(duì)稱性，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察并發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，讓學(xué)生感受到重合即相等，為后面探究等腰三角形的性質(zhì)奠定基礎(chǔ)。

二、實(shí)踐操作，發(fā)現(xiàn)性質(zhì)

活動(dòng)2：請(qǐng)學(xué)生用紙剪出一個(gè)等腰三角形。

師：仔細(xì)觀察剪好的等腰三角形，你發(fā)現(xiàn)這個(gè)等腰三角形有哪些線段相等？哪些角相等？

生獨(dú)立觀察，指出等腰三角形中相等的線段和相等的角。

師：請(qǐng)同桌之間互相交換等腰三角形，再次觀察，你發(fā)現(xiàn)等腰三角形有哪些線段相等？哪些角相等？說(shuō)一說(shuō)這些線段和角在等腰三角形中的名稱。

生1：等腰三角形的兩條腰相等。

生2：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。

教師板書(shū)，等腰三角形的性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。簡(jiǎn)寫(xiě)為：等邊對(duì)等角。

【評(píng)析】教師讓學(xué)生通過(guò)操作、觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納，得出等腰三角形的兩個(gè)底角相等這一性質(zhì)，體現(xiàn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位。這樣做有利于學(xué)生從研究一個(gè)等腰三角形拓展到其他等腰三角形，由特殊到一般，從而發(fā)現(xiàn)等腰三角形的特征，歸納得出等腰三角形的性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。

三、關(guān)注折痕，引出三線

教師在剪好的等腰三角形的折痕上畫(huà)一條虛線（見(jiàn)圖2），請(qǐng)學(xué)生仔細(xì)觀察等腰三角形，注意折痕，并思考還能發(fā)現(xiàn)哪些線段相等？哪些角相等？

學(xué)生先觀察圖形，然后分小組討論，最后展示分享結(jié)果。

生1：BD=CD.

生2：∠BAD=∠CAD.

生3：∠ADB=∠ADC.

師：假如BD=CD，那么AD與BC是什么關(guān)系呢？

生：AD是BC的中線。

師補(bǔ)充說(shuō)明AD是等腰三角形底邊BC的中線。

師：剛才有位同學(xué)說(shuō)∠BAD=∠CAD，想一想，AD與∠BAC是什么關(guān)系？

生：AD是∠BAC的平分線。

師補(bǔ)充說(shuō)明AD是等腰三角形頂角∠BAC的平分線。

師：請(qǐng)同學(xué)們思考∠ADB=∠ADC等于多少度？為什么？

生：∠ADB=∠ADC=90°，因?yàn)椤螦DB+∠ADC=180°，∠ADB=∠ADC，所以∠ADB=∠ADC=90°.

師：AD與BC是什么關(guān)系？

生4：AD是BC邊上的高。

生5：AD是等腰三角形底邊BC上的高。

師：我們?cè)诒磉_(dá)線段的關(guān)系時(shí)要準(zhǔn)確、完整，綜上所述，AD是等腰三角形的什么？

生：AD是等腰三角形底邊BC上的中線，是等腰三角形頂角∠BAC的平分線，是等腰三角形底邊BC上的高。

【評(píng)析】教師讓學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)，然后準(zhǔn)確全面地歸納出等腰三角形的性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，簡(jiǎn)稱“三線合一”。

四、推理證明，驗(yàn)證性質(zhì)

題目：利用實(shí)驗(yàn)操作的方法，我們發(fā)現(xiàn)并概括得出等腰三角形的性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。你能運(yùn)用邏輯推理來(lái)證明這個(gè)命題嗎？

生：根據(jù)命題，我們可以畫(huà)出圖形（見(jiàn)圖3），寫(xiě)出已知、求證。

已知：在△ABC中，AB=AC.

求證：∠B=∠C

教師引導(dǎo)學(xué)生思考：結(jié)合所畫(huà)的圖形，你認(rèn)為證明兩個(gè)底角相等的思路是什么？如何在一個(gè)等腰三角形中構(gòu)造出兩個(gè)全等三角形？從剪圖、折紙的過(guò)程中你能夠獲得什么啟發(fā)？

生1：我認(rèn)為可以畫(huà)一條輔助線（見(jiàn)圖4），把三角形△ABC分為兩個(gè)三角形，通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，可以得到∠B=∠C.

證明：作底邊BC的中線AD，在△ABD與△ACD中，

因?yàn)椋篈B=AC

BD=CD

AD=AD

所以：△ABD≌△ACD（SSS）

∠B=∠C

師：這位同學(xué)使用的方法很正確，思路清晰，板書(shū)規(guī)范。請(qǐng)你們?cè)傧胍幌?，還有別的證明方法嗎？請(qǐng)結(jié)合圖形說(shuō)明你的思路。

生2：我的思路是作底邊BC上的高AD，然后運(yùn)用“HL”證明直角三角形ADB與直角三角形ADC全等，從而得到∠B=∠C.

生3：我的思路是作頂角∠BAC的平分線AD，然后運(yùn)用“SAS”證明△ABD與△ACD全等，從而得到∠B=∠C.

師：這3位同學(xué)的證明思路、推理方法都是對(duì)的。通過(guò)學(xué)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)，我們又掌握了證明兩個(gè)角相等、兩條線段相等以及線段互相垂直關(guān)系的新方法。

【評(píng)析】教師讓學(xué)生體驗(yàn)證明兩個(gè)角相等到證明兩個(gè)三角形全等的過(guò)程，了解添加輔助線與解決問(wèn)題思路的相關(guān)性，進(jìn)一步理解等腰三角形的性質(zhì)及意義——它既是三角形全等知識(shí)的運(yùn)用和延續(xù)，又是證明兩個(gè)角相等、兩條線段相等、線段垂直關(guān)系的更為簡(jiǎn)捷的途徑和方法。

五、解讀性質(zhì)，注重表達(dá)

師：等腰三角形性質(zhì)2的“三線合一”是指什么？對(duì)此，我們可以將其分解為下面3個(gè)結(jié)論：①等腰三角形的頂角平分線也是底邊上的中線和高；②等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高和頂角平分線；③等腰三角形底邊上的高也是頂角平分線和底邊上的中線。

師： ∵AB=AC，∠BAD=∠CAD

∴BD=CD，AD⊥BC

請(qǐng)同學(xué)們用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)第②、③兩個(gè)結(jié)論。

生1： ∵AB=AC，BD=CD

∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD

生2： ∵AB=AC，AD⊥BC

∴∠BAD=∠CAD，BD=CD

【評(píng)析】教師讓學(xué)生在反復(fù)比較的過(guò)程中概括得出等腰三角形共同的、本質(zhì)的特征，進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào)進(jìn)行表達(dá)的能力，使學(xué)生真正理解“三線合一”的含義。

六、學(xué)以致用，鞏固新知

（一）填空。

1.如圖5，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，則

∠B= .

2.如圖6，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，則

∠A= .

（二）自制水平儀。教師選用教學(xué)時(shí)用的等腰三角板一個(gè)，鉛垂一個(gè)，1米長(zhǎng)的細(xì)繩一根，展示：用水平儀測(cè)量講臺(tái)是否處于水平狀態(tài)，請(qǐng)學(xué)生說(shuō)明測(cè)量時(shí)用到了什么數(shù)學(xué)知識(shí)？學(xué)生回答，相互補(bǔ)充，并說(shuō)明理由。

【評(píng)析】教師設(shè)計(jì)角度計(jì)算題，學(xué)生需要綜合運(yùn)用等腰三角形、三角形的內(nèi)角和等知識(shí)解決問(wèn)題，這樣做有利于學(xué)生進(jìn)一步掌握等腰三角形的性質(zhì)1，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將與角有關(guān)的知識(shí)系統(tǒng)化，有助于學(xué)生優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)。此外，教師設(shè)計(jì)活動(dòng)操作題，能夠讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的實(shí)際應(yīng)用，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值。

七、學(xué)會(huì)總結(jié)，提高更快

師：我們是如何探究等腰三角形的性質(zhì)呢？

生：動(dòng)手操作，通過(guò)觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納性質(zhì)，最后證明性質(zhì)。

師：你學(xué)到了哪些證明線段相等或角相等的方法？

生1：在同一個(gè)三角形中，相等的邊所對(duì)應(yīng)的角相等。

生2：根據(jù)“三線合一”的性質(zhì)，等腰三角形底邊上的高（或頂角平分線）也是底邊上的中線，從而有線段相等。

生3：根據(jù)“三線合一”的性質(zhì)，等腰三角形底邊上的高（或底邊上的中線）也是頂角平分線，從而有角相等。

【評(píng)析】通過(guò)小結(jié)，學(xué)生掌握了本節(jié)課所學(xué)的核心知識(shí)——等腰三角形的性質(zhì)及應(yīng)用。

【總評(píng)】這節(jié)課，學(xué)生在學(xué)習(xí)了三角形的基本概念、全等三角形和軸對(duì)稱知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究特殊的三角形——等腰三角形。學(xué)習(xí)目標(biāo)是：探索并證明等腰三角形的兩個(gè)性質(zhì)；能夠利用等腰三角形的性質(zhì)證明兩個(gè)角相等或兩條線段相等；結(jié)合等腰三角形性質(zhì)的探索與證明過(guò)程，體會(huì)軸對(duì)稱在研究幾何問(wèn)題中的作用。

為了達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，教師設(shè)計(jì)了“情境導(dǎo)入—引出概念—?dú)w納性質(zhì)—驗(yàn)證性質(zhì)—實(shí)際應(yīng)用”等環(huán)節(jié)，并逐一展開(kāi)教學(xué)，體現(xiàn)了以下幾個(gè)特點(diǎn)。第一，教學(xué)設(shè)計(jì)層次分明，以活動(dòng)為主線，層層遞進(jìn)，教學(xué)過(guò)程將觀察發(fā)現(xiàn)、歸納總結(jié)與證明性質(zhì)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)的應(yīng)用過(guò)程。第二，教學(xué)突出了數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)思想方法大多隱藏在知識(shí)的形成過(guò)程中，對(duì)新知的形成和發(fā)展起著重要的作用。比如，等腰三角形性質(zhì)的證明過(guò)程是將欲證明相等的兩個(gè)角（或兩條線段）置于兩個(gè)全等三角形之中，這是證明兩個(gè)角相等或兩條線段相等的基本方法，學(xué)生動(dòng)手操作，對(duì)折長(zhǎng)方形紙片，留下的折痕把等腰三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形，而對(duì)等腰三角形性質(zhì)的探索與證明體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。第三，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人。前蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基指出：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、探索者?！痹谔剿鞯妊切蔚男再|(zhì)時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生利用軸對(duì)稱知識(shí)進(jìn)行證明，借助軸對(duì)稱發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)，獲得了添加輔助線證明性質(zhì)的方法。為了讓學(xué)生體驗(yàn)操作過(guò)程，教師讓學(xué)生動(dòng)手操作、觀察發(fā)現(xiàn)、合作交流、驗(yàn)證探究、實(shí)際應(yīng)用，為學(xué)生提供了充分的探索機(jī)會(huì)，幫助他們獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)了學(xué)生觀察問(wèn)題、思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。第四，教師注重學(xué)用結(jié)合，讓學(xué)生體會(huì)到了數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，如自制水平儀的活動(dòng)，使學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)就在身邊，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，從而激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

（注：該課榮獲2015南寧市初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎(jiǎng)。）

（責(zé)編 歐孔群）