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    《等腰三角形》教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析

    2016-05-31 02:02:49蒙榜中周忠
    廣西教育·D版 2016年4期
    關(guān)鍵詞:等腰三角形頂角平分線

    蒙榜中 周忠

    一、創(chuàng)設(shè)情境,引出課題

    活動(dòng)1.教師剪紙,請(qǐng)學(xué)生觀察圖形(見(jiàn)圖1)。教師把一張長(zhǎng)方形的紙按圖中虛線對(duì)折,然后用剪刀沿著實(shí)線剪開(kāi),留下三角形部分,再把它展開(kāi)。

    師:這是一個(gè)什么三角形?為什么?

    生:這是等腰三角形,因?yàn)锳B=AC.

    師:你怎么知道AB和AC的長(zhǎng)度相等呢?

    生1:因?yàn)椤鰽BD≌△ACD,AB與AC是對(duì)應(yīng)邊,所以AB=AC.

    生2:因?yàn)锳B與AC重合,所以它們的長(zhǎng)度相等。

    師:很好,請(qǐng)你們觀察圖形,折痕左右兩邊重合嗎?等腰三角形是軸對(duì)稱圖形嗎?

    生:折痕左右兩邊重合,等腰三角形是軸對(duì)稱圖形。

    師:你認(rèn)識(shí)等腰三角形的腰、底邊、頂角、底角嗎?(展示教具,學(xué)生回答)雖然前面我們學(xué)習(xí)了等腰三角形的知識(shí),但是有關(guān)它的性質(zhì)、判定都沒(méi)有涉及,這節(jié)課我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)等腰三角形。(板書(shū):等腰三角形)

    【評(píng)析】教學(xué)伊始,執(zhí)教老師就創(chuàng)設(shè)情境,讓學(xué)生觀察老師的操作過(guò)程,得到研究對(duì)象——等腰三角形后,再請(qǐng)學(xué)生觀察圖形,回顧等腰三角形的相關(guān)概念如腰、底邊、頂角、底角以及等腰三角形的對(duì)稱性,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察并發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,讓學(xué)生感受到重合即相等,為后面探究等腰三角形的性質(zhì)奠定基礎(chǔ)。

    二、實(shí)踐操作,發(fā)現(xiàn)性質(zhì)

    活動(dòng)2:請(qǐng)學(xué)生用紙剪出一個(gè)等腰三角形。

    師:仔細(xì)觀察剪好的等腰三角形,你發(fā)現(xiàn)這個(gè)等腰三角形有哪些線段相等?哪些角相等?

    生獨(dú)立觀察,指出等腰三角形中相等的線段和相等的角。

    師:請(qǐng)同桌之間互相交換等腰三角形,再次觀察,你發(fā)現(xiàn)等腰三角形有哪些線段相等?哪些角相等?說(shuō)一說(shuō)這些線段和角在等腰三角形中的名稱。

    生1:等腰三角形的兩條腰相等。

    生2:等腰三角形的兩個(gè)底角相等。

    教師板書(shū),等腰三角形的性質(zhì)1:等腰三角形的兩個(gè)底角相等。簡(jiǎn)寫(xiě)為:等邊對(duì)等角。

    【評(píng)析】教師讓學(xué)生通過(guò)操作、觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納,得出等腰三角形的兩個(gè)底角相等這一性質(zhì),體現(xiàn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位。這樣做有利于學(xué)生從研究一個(gè)等腰三角形拓展到其他等腰三角形,由特殊到一般,從而發(fā)現(xiàn)等腰三角形的特征,歸納得出等腰三角形的性質(zhì)1:等腰三角形的兩個(gè)底角相等。

    三、關(guān)注折痕,引出三線

    教師在剪好的等腰三角形的折痕上畫(huà)一條虛線(見(jiàn)圖2),請(qǐng)學(xué)生仔細(xì)觀察等腰三角形,注意折痕,并思考還能發(fā)現(xiàn)哪些線段相等?哪些角相等?

    學(xué)生先觀察圖形,然后分小組討論,最后展示分享結(jié)果。

    生1:BD=CD.

    生2:∠BAD=∠CAD.

    生3:∠ADB=∠ADC.

    師:假如BD=CD,那么AD與BC是什么關(guān)系呢?

    生:AD是BC的中線。

    師補(bǔ)充說(shuō)明AD是等腰三角形底邊BC的中線。

    師:剛才有位同學(xué)說(shuō)∠BAD=∠CAD,想一想,AD與∠BAC是什么關(guān)系?

    生:AD是∠BAC的平分線。

    師補(bǔ)充說(shuō)明AD是等腰三角形頂角∠BAC的平分線。

    師:請(qǐng)同學(xué)們思考∠ADB=∠ADC等于多少度?為什么?

    生:∠ADB=∠ADC=90°,因?yàn)椤螦DB+∠ADC=180°,∠ADB=∠ADC,所以∠ADB=∠ADC=90°.

    師:AD與BC是什么關(guān)系?

    生4:AD是BC邊上的高。

    生5:AD是等腰三角形底邊BC上的高。

    師:我們?cè)诒磉_(dá)線段的關(guān)系時(shí)要準(zhǔn)確、完整,綜上所述,AD是等腰三角形的什么?

    生:AD是等腰三角形底邊BC上的中線,是等腰三角形頂角∠BAC的平分線,是等腰三角形底邊BC上的高。

    【評(píng)析】教師讓學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn),然后準(zhǔn)確全面地歸納出等腰三角形的性質(zhì)2:等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合,簡(jiǎn)稱“三線合一”。

    四、推理證明,驗(yàn)證性質(zhì)

    題目:利用實(shí)驗(yàn)操作的方法,我們發(fā)現(xiàn)并概括得出等腰三角形的性質(zhì)1:等腰三角形的兩個(gè)底角相等。你能運(yùn)用邏輯推理來(lái)證明這個(gè)命題嗎?

    生:根據(jù)命題,我們可以畫(huà)出圖形(見(jiàn)圖3),寫(xiě)出已知、求證。

    已知:在△ABC中,AB=AC.

    求證:∠B=∠C

    教師引導(dǎo)學(xué)生思考:結(jié)合所畫(huà)的圖形,你認(rèn)為證明兩個(gè)底角相等的思路是什么?如何在一個(gè)等腰三角形中構(gòu)造出兩個(gè)全等三角形?從剪圖、折紙的過(guò)程中你能夠獲得什么啟發(fā)?

    生1:我認(rèn)為可以畫(huà)一條輔助線(見(jiàn)圖4),把三角形△ABC分為兩個(gè)三角形,通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等,可以得到∠B=∠C.

    證明:作底邊BC的中線AD,在△ABD與△ACD中,

    因?yàn)椋篈B=AC

    BD=CD

    AD=AD

    所以:△ABD≌△ACD(SSS)

    ∠B=∠C

    師:這位同學(xué)使用的方法很正確,思路清晰,板書(shū)規(guī)范。請(qǐng)你們?cè)傧胍幌?,還有別的證明方法嗎?請(qǐng)結(jié)合圖形說(shuō)明你的思路。

    生2:我的思路是作底邊BC上的高AD,然后運(yùn)用“HL”證明直角三角形ADB與直角三角形ADC全等,從而得到∠B=∠C.

    生3:我的思路是作頂角∠BAC的平分線AD,然后運(yùn)用“SAS”證明△ABD與△ACD全等,從而得到∠B=∠C.

    師:這3位同學(xué)的證明思路、推理方法都是對(duì)的。通過(guò)學(xué)習(xí)等腰三角形的性質(zhì),我們又掌握了證明兩個(gè)角相等、兩條線段相等以及線段互相垂直關(guān)系的新方法。

    【評(píng)析】教師讓學(xué)生體驗(yàn)證明兩個(gè)角相等到證明兩個(gè)三角形全等的過(guò)程,了解添加輔助線與解決問(wèn)題思路的相關(guān)性,進(jìn)一步理解等腰三角形的性質(zhì)及意義——它既是三角形全等知識(shí)的運(yùn)用和延續(xù),又是證明兩個(gè)角相等、兩條線段相等、線段垂直關(guān)系的更為簡(jiǎn)捷的途徑和方法。

    五、解讀性質(zhì),注重表達(dá)

    師:等腰三角形性質(zhì)2的“三線合一”是指什么?對(duì)此,我們可以將其分解為下面3個(gè)結(jié)論:①等腰三角形的頂角平分線也是底邊上的中線和高;②等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高和頂角平分線;③等腰三角形底邊上的高也是頂角平分線和底邊上的中線。

    師: ∵AB=AC,∠BAD=∠CAD

    ∴BD=CD,AD⊥BC

    請(qǐng)同學(xué)們用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)第②、③兩個(gè)結(jié)論。

    生1: ∵AB=AC,BD=CD

    ∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD

    生2: ∵AB=AC,AD⊥BC

    ∴∠BAD=∠CAD,BD=CD

    【評(píng)析】教師讓學(xué)生在反復(fù)比較的過(guò)程中概括得出等腰三角形共同的、本質(zhì)的特征,進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào)進(jìn)行表達(dá)的能力,使學(xué)生真正理解“三線合一”的含義。

    六、學(xué)以致用,鞏固新知

    (一)填空。

    1.如圖5,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,則

    ∠B= .

    2.如圖6,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,則

    ∠A= .

    (二)自制水平儀。教師選用教學(xué)時(shí)用的等腰三角板一個(gè),鉛垂一個(gè),1米長(zhǎng)的細(xì)繩一根,展示:用水平儀測(cè)量講臺(tái)是否處于水平狀態(tài),請(qǐng)學(xué)生說(shuō)明測(cè)量時(shí)用到了什么數(shù)學(xué)知識(shí)?學(xué)生回答,相互補(bǔ)充,并說(shuō)明理由。

    【評(píng)析】教師設(shè)計(jì)角度計(jì)算題,學(xué)生需要綜合運(yùn)用等腰三角形、三角形的內(nèi)角和等知識(shí)解決問(wèn)題,這樣做有利于學(xué)生進(jìn)一步掌握等腰三角形的性質(zhì)1,同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將與角有關(guān)的知識(shí)系統(tǒng)化,有助于學(xué)生優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)。此外,教師設(shè)計(jì)活動(dòng)操作題,能夠讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的實(shí)際應(yīng)用,體現(xiàn)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值。

    七、學(xué)會(huì)總結(jié),提高更快

    師:我們是如何探究等腰三角形的性質(zhì)呢?

    生:動(dòng)手操作,通過(guò)觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納性質(zhì),最后證明性質(zhì)。

    師:你學(xué)到了哪些證明線段相等或角相等的方法?

    生1:在同一個(gè)三角形中,相等的邊所對(duì)應(yīng)的角相等。

    生2:根據(jù)“三線合一”的性質(zhì),等腰三角形底邊上的高(或頂角平分線)也是底邊上的中線,從而有線段相等。

    生3:根據(jù)“三線合一”的性質(zhì),等腰三角形底邊上的高(或底邊上的中線)也是頂角平分線,從而有角相等。

    【評(píng)析】通過(guò)小結(jié),學(xué)生掌握了本節(jié)課所學(xué)的核心知識(shí)——等腰三角形的性質(zhì)及應(yīng)用。

    【總評(píng)】這節(jié)課,學(xué)生在學(xué)習(xí)了三角形的基本概念、全等三角形和軸對(duì)稱知識(shí)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究特殊的三角形——等腰三角形。學(xué)習(xí)目標(biāo)是:探索并證明等腰三角形的兩個(gè)性質(zhì);能夠利用等腰三角形的性質(zhì)證明兩個(gè)角相等或兩條線段相等;結(jié)合等腰三角形性質(zhì)的探索與證明過(guò)程,體會(huì)軸對(duì)稱在研究幾何問(wèn)題中的作用。

    為了達(dá)成教學(xué)目標(biāo),教師設(shè)計(jì)了“情境導(dǎo)入—引出概念—?dú)w納性質(zhì)—驗(yàn)證性質(zhì)—實(shí)際應(yīng)用”等環(huán)節(jié),并逐一展開(kāi)教學(xué),體現(xiàn)了以下幾個(gè)特點(diǎn)。第一,教學(xué)設(shè)計(jì)層次分明,以活動(dòng)為主線,層層遞進(jìn),教學(xué)過(guò)程將觀察發(fā)現(xiàn)、歸納總結(jié)與證明性質(zhì)有機(jī)地結(jié)合起來(lái),讓學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)的應(yīng)用過(guò)程。第二,教學(xué)突出了數(shù)學(xué)思想,數(shù)學(xué)思想方法大多隱藏在知識(shí)的形成過(guò)程中,對(duì)新知的形成和發(fā)展起著重要的作用。比如,等腰三角形性質(zhì)的證明過(guò)程是將欲證明相等的兩個(gè)角(或兩條線段)置于兩個(gè)全等三角形之中,這是證明兩個(gè)角相等或兩條線段相等的基本方法,學(xué)生動(dòng)手操作,對(duì)折長(zhǎng)方形紙片,留下的折痕把等腰三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形,而對(duì)等腰三角形性質(zhì)的探索與證明體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。第三,讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人。前蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基指出:“在人的心靈深處,都有一種根深蒂固的需要,就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、探索者?!痹谔剿鞯妊切蔚男再|(zhì)時(shí),教師引導(dǎo)學(xué)生利用軸對(duì)稱知識(shí)進(jìn)行證明,借助軸對(duì)稱發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì),獲得了添加輔助線證明性質(zhì)的方法。為了讓學(xué)生體驗(yàn)操作過(guò)程,教師讓學(xué)生動(dòng)手操作、觀察發(fā)現(xiàn)、合作交流、驗(yàn)證探究、實(shí)際應(yīng)用,為學(xué)生提供了充分的探索機(jī)會(huì),幫助他們獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn),培養(yǎng)了學(xué)生觀察問(wèn)題、思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,增強(qiáng)了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。第四,教師注重學(xué)用結(jié)合,讓學(xué)生體會(huì)到了數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系,如自制水平儀的活動(dòng),使學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)就在身邊,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值,從而激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

    (注:該課榮獲2015南寧市初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎(jiǎng)。)

    (責(zé)編 歐孔群)

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