走進(jìn)數(shù)學(xué)建模

張安平

【摘 要】各類數(shù)學(xué)建模大賽正在如火如荼舉行，為了使更多同學(xué)了解數(shù)學(xué)建模，走進(jìn)數(shù)學(xué)建模，本文就數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模、建模步驟及建模能力培養(yǎng)談了一些自己認(rèn)識。

【關(guān)鍵詞】模型；數(shù)學(xué)模型；數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模是近幾年來在我國大學(xué)及普通中學(xué)中廣泛開展起來的一項活動，隨著各類數(shù)學(xué)建模競賽的舉辦以及數(shù)學(xué)建模向數(shù)學(xué)教學(xué)的不斷滲透，數(shù)學(xué)建?；顒釉絹碓绞艿綄W(xué)生和數(shù)學(xué)教師重視，在教學(xué)實踐過程中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模是創(chuàng)新教育與數(shù)學(xué)教學(xué)最好結(jié)合點(diǎn)，數(shù)學(xué)建模就像一座橋，它將抽象、艱深的數(shù)學(xué)理論和它在現(xiàn)實生活中豐富多彩的應(yīng)用連接起來，同學(xué)們，嘗試著去走走這座橋吧，它將帶你走入一個充滿挑戰(zhàn)和樂趣的世界！

一、數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模

所謂數(shù)學(xué)模型是指通過抽象和簡化，使用數(shù)學(xué)語言對實際現(xiàn)象的一個近似的刻畫，以便于人們更深刻地認(rèn)識所研究對象，數(shù)學(xué)模型不是對現(xiàn)實系統(tǒng)的簡單模擬，它是人們用以認(rèn)識現(xiàn)實系統(tǒng)和解決實際問題工具，數(shù)學(xué)模型是對現(xiàn)實對象的信息通過提煉、分析、歸納、翻譯的結(jié)果。它使用數(shù)學(xué)語言精確地表達(dá)了對象內(nèi)在特征，通過數(shù)學(xué)上演繹推理和分析求解，使得我們能夠深化對所研究的實際問題認(rèn)識。

從這一意義上講，我們以前在物理學(xué)和化學(xué)中學(xué)習(xí)過許多公式，都可以看作一個數(shù)學(xué)模型。隨著數(shù)學(xué)應(yīng)用日益廣泛，數(shù)學(xué)模型也越來越多地出現(xiàn)在社會科學(xué)及人文科學(xué)許多領(lǐng)域。例如，人口增長問題可以用一個指數(shù)函數(shù)描述并進(jìn)行預(yù)測，某種新產(chǎn)品銷售量變化，可以通過一個微分方程來進(jìn)行解釋。

數(shù)學(xué)建模是指通過對實際問題抽象、簡化，確定出變量和參數(shù)，并應(yīng)用某些規(guī)律建立起變量與參數(shù)間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，求解該數(shù)學(xué)模型、解釋、驗證所得的解，確定能否多次循環(huán)用于解決實際問題過程，由此可以看出，數(shù)學(xué)建模是一個創(chuàng)造性的過程，這個過程一般可以分為分析問題、查閱資料、建立模型、求解模型、完善寫作等階段。

二、數(shù)學(xué)建模一般步驟

建模要經(jīng)過哪些步驟并沒有一定模式，通常與問題性質(zhì)、建模目的有關(guān)，下面介紹是機(jī)理分析方法建模一般過程。

1.模型準(zhǔn)備

了解問題實際背景，明確建模目的，搜集必要信息數(shù)據(jù)，弄清對象主要特征，形成一個比較清晰問題，由此初步確定用哪一類模型。

2.模型假設(shè)

根據(jù)對象特征和建模目的，抓住問題本質(zhì)，忽略次要因素，作出必要的合理的假設(shè)。對于建模成敗這是非常重要和關(guān)鍵一步。假設(shè)得不合理或太簡單，會導(dǎo)致錯誤的或無用的模型，假設(shè)得過分詳細(xì)，會使你很難或無法繼續(xù)下一步工作。

3.模型構(gòu)成

根據(jù)所作的假設(shè)，用數(shù)學(xué)語言、符號描述對象的內(nèi)在規(guī)律，建立包含常量、變量等的數(shù)學(xué)模型，如優(yōu)化模型、微分方程模型、差分方程模型、圖型模型等。

4.模型求解

可以采用解方程、畫圖形、優(yōu)化方法、數(shù)值計算、統(tǒng)計分析等各種數(shù)學(xué)方法，特別是數(shù)學(xué)軟件和計算機(jī)技術(shù)。

5.模型分析

對求解結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上分析，如對結(jié)果誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的靈敏性分析。

6.模型檢驗

把求解和分析結(jié)果返回到實際問題，與實際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗?zāi)Ｐ秃侠硇院瓦m用性。

三、數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)

分析問題是完成數(shù)學(xué)建模關(guān)鍵一步，在分析問題過程中，主要培養(yǎng)學(xué)生如何將實際問題與自己所學(xué)知識聯(lián)系起來，學(xué)生所學(xué)知識都局限于理論知識，理論知識都是在一定理想化條件下得到的，而實際問題很難滿足理想化條件，而很多實際問題與理論知識差距較大，如何發(fā)現(xiàn)二者關(guān)系，就需要學(xué)生具備敏銳的洞察力、良好的想象力以及靈感和頓悟，較強(qiáng)的抽象思維和創(chuàng)新意識，使得學(xué)生思維的廣度、深度、創(chuàng)造性、發(fā)散性得到鍛煉。

在對問題分析認(rèn)識基礎(chǔ)上，查閱資料能力已變得無比重要，在此過程中學(xué)生的閱讀理解能力、信息檢索能力成為關(guān)鍵。結(jié)合對問題分析與查閱的資料，就可以建立數(shù)學(xué)模型，在此過程中，學(xué)生的創(chuàng)新能力、創(chuàng)新思維、創(chuàng)新意識得到充分鍛煉。

數(shù)學(xué)建模最終結(jié)果是一篇完整的論文，如何將模型建立、模型求解、算法設(shè)計中創(chuàng)新部分有條理表達(dá)出來，對提高學(xué)生寫作能力有較高幫助，通常經(jīng)過多次訓(xùn)練，學(xué)生不僅規(guī)范了寫作方法，而且激發(fā)了他們寫作技巧上的創(chuàng)造潛能。

四、數(shù)學(xué)建模范例

四條腿長度相等的椅子放在光滑但不平坦的地面上，四條腿能否同時著地？

分析：此問題是來源于日常生活中一件普通的事實，把椅子往不平地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只需稍挪動幾次，就可以使四只腳同時著地，放穩(wěn)了，這個看似與數(shù)學(xué)無關(guān)現(xiàn)象能否用數(shù)學(xué)語言給以表述，并用數(shù)學(xué)方法來證實嗎？讓我們試試看。

假設(shè)椅子中心不動，用A、B、C、D分別表示每條腿的著地點(diǎn)。把連線CA、DB作為X軸和y軸（如圖），θ表示對角線AC轉(zhuǎn)動后與初始位置X軸的夾角，y（θ）表示A、C兩腿與地面距離之和，f（θ）表示B、D兩腿與地面距離之和。

以上例子，僅僅是為同學(xué)打開了一扇“數(shù)學(xué)建?！钡拇皯?，讓你看到了數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛性和趣味性一角，數(shù)學(xué)作為一門理論性很強(qiáng)學(xué)科，并不是如許多人所想象的脫離實際的空中樓閣，其實“生活中處處皆數(shù)學(xué)”，連結(jié)生活和數(shù)學(xué)的橋梁就是數(shù)學(xué)建模，同學(xué)們，走進(jìn)數(shù)學(xué)建模吧！

參考文獻(xiàn)：

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