空間向量在高中數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的應(yīng)用

李曉宏

摘 要：本研究共分為三個(gè)部分，第一部分從教材分析空間向量的方法探討了高中數(shù)學(xué)空間向量的具體內(nèi)容；第二部分分析了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用；第三部分提出了提高空間向量在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用的措施。

關(guān)鍵詞：空間向量；高中數(shù)學(xué)教學(xué)；應(yīng)用

空間向量融“形”“數(shù)”于一體，即具有數(shù)的身份也具有形的身份，在解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題中充當(dāng)著重要的角色。將空間向量看作代數(shù)形式，所有向量都可以用實(shí)數(shù)來(lái)代表，相應(yīng)的運(yùn)算自然就成為代數(shù)運(yùn)算；將空間向量看作幾何形式，就兼具了方向和大小，再用有向線段來(lái)表示，其運(yùn)算過(guò)程自然就有了幾何特性。

一、空間向量的具體內(nèi)容

1.教材分析?！镀胀ǜ咧姓n程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)》的選修課程2-1第三章的內(nèi)容，描繪的鐵軌、過(guò)山車等都來(lái)自我們的生活，而這些問(wèn)題和空間向量之間又有著不可分割的聯(lián)系。所以，該章節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容是空間向量及其運(yùn)算和立體幾何中的向量方法。

2.空間向量方法。高中數(shù)學(xué)立體幾何主要研究的對(duì)象是點(diǎn)、線、面以及利用點(diǎn)、線、面構(gòu)成的各種空間圖形。所以，在利用空間向量解決幾何問(wèn)題的時(shí)候，首先要考慮的就是用空間向量表示出空間圖形中點(diǎn)、線、面的位置。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師一般都會(huì)采取提問(wèn)的方式來(lái)引發(fā)學(xué)生對(duì)空間向量的分析和思考，具體的問(wèn)題也和空間向量的表示方法一致，重點(diǎn)是如何在空間圖形中確定點(diǎn)、線、面的位置。而利用這種方法所表示出的點(diǎn)、線、面，是可以將立體幾何知識(shí)轉(zhuǎn)換成為空間向量問(wèn)題的，最終采用代數(shù)的方法解決問(wèn)題。

二、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)中涉及立體幾何的種類是非常多的，除了錐體、圓柱、柱體等基本的幾何體之外，還有各種幾何體組成的復(fù)合組合體。高中數(shù)學(xué)中立體幾何的判斷、計(jì)算和證明都存在度量和位置關(guān)系。在解題的過(guò)程中，利用空間向量來(lái)表示點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，這時(shí)候距離、夾角等都能夠用空間向量來(lái)進(jìn)行證明和計(jì)算，利用空間直角坐標(biāo)系，然后描繪出相關(guān)的坐標(biāo)。通常來(lái)講，空間幾何和現(xiàn)實(shí)生活有著密切的關(guān)系，能夠?qū)缀误w抽象化，能夠?qū)⒁阎獑?wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題，進(jìn)而運(yùn)用空間向量進(jìn)行證明、計(jì)算、判斷。

例如：在立體圖形中，M是棱DD1中點(diǎn)，O為正方形ABCD中心，求證：OA1⊥AM

分析：題目已知是一個(gè)正方體，空間直角坐標(biāo)系很容易建立，即取D為原點(diǎn)，以DA、DC、DD1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。假設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，則很容易表示已知向量，通過(guò)向量的運(yùn)算法則得出結(jié)論。

三、提高空間向量在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用的措施

1.概念教學(xué)措施。從理論上講，空間向量是從平面向量擴(kuò)充而來(lái)的，空間向量和平面向量之間的關(guān)聯(lián)就是如何將平面向量的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行遷移。高中學(xué)生比較關(guān)注的是如何進(jìn)行數(shù)學(xué)題的解題，而忽視對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握和理解。這一現(xiàn)象同樣存在于空間向量的學(xué)習(xí)中?？臻g向量涉及的概念非常多，對(duì)于高中學(xué)生來(lái)說(shuō)理解起來(lái)難度也非常大，如果再加上數(shù)量積和數(shù)乘，學(xué)生就更難理解了?？臻g向量作為有效的解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，要想將其利用得當(dāng)，首先就必須對(duì)空間向量的概念理解透徹。

（1）遷移手段的合理運(yùn)用?？臻g向量作為一種溝通代數(shù)和幾何教學(xué)的工具，概念教學(xué)中也應(yīng)該做到“數(shù)”“形”結(jié)合。在高中數(shù)學(xué)課堂上，教師講解空間向量概念的時(shí)候要避免出現(xiàn)脫離圖形的現(xiàn)象，要圍繞教材中的圖示進(jìn)行講解?？臻g向量中的很多概念和平面向量有著相同之處，教師在講授概念的時(shí)候要注重平面向量概念的復(fù)習(xí)。

（2）運(yùn)用變式深化概念講解。教師在概念解讀的過(guò)程中絕不能簡(jiǎn)單地宣讀，而是需要不斷鉆研教材，在吃透教材的情況下對(duì)空間向量的有關(guān)概念進(jìn)行講解。同時(shí)，教師還應(yīng)該在教學(xué)當(dāng)中對(duì)學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)和認(rèn)知不足之處進(jìn)行歸納和總結(jié)，在課堂上引導(dǎo)學(xué)生深入地進(jìn)行概念的挖掘。在概念的講解中，教師可以設(shè)置幾道典型例題，運(yùn)用變式來(lái)拓展學(xué)生的思維，使學(xué)生對(duì)概念的理解更深入。

（3）概念知識(shí)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建。很多教師對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建不夠重視，但是空間向量的知識(shí)結(jié)構(gòu)構(gòu)建不僅能將已有的知識(shí)和空間向量建立聯(lián)系和對(duì)比，還可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和數(shù)學(xué)水平。

2.解題教學(xué)措施?？臻g向量學(xué)習(xí)的最終目的是為數(shù)學(xué)解題服務(wù)。例如，在高一幾何課程中，學(xué)生在解題時(shí)出現(xiàn)的很多問(wèn)題是因?yàn)閷W(xué)生的空間想象力不足。而在立體幾何教學(xué)中，關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題步驟的歸納。具體的步驟包括建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出確定的坐標(biāo)，進(jìn)行計(jì)算和推理。在這三個(gè)步驟當(dāng)中，最難的環(huán)節(jié)就是計(jì)算和推理。所以，教師在指導(dǎo)的時(shí)候要引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)運(yùn)用公式進(jìn)行練習(xí)、計(jì)算，并引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)手反復(fù)演練。