高中數(shù)列知識(shí)在消費(fèi)和理財(cái)中的應(yīng)用

劉品希

針對(duì)實(shí)際生活中商品選購(gòu)的分期付款問(wèn)題，可用高中數(shù)列知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，探求每期付款的數(shù)額，剩余金額的本息構(gòu)成.如此便可從理財(cái)?shù)慕嵌确治鲢y行分期付款中的利息收益了.

在銀行的利息計(jì)算中，計(jì)算單利時(shí)要用到等差數(shù)列，計(jì)算復(fù)利要用到等比數(shù)列;在馬爾薩斯人口論中，把糧食增長(zhǎng)喻為等差數(shù)列，而把人口增長(zhǎng)喻為等比數(shù)列……這些都說(shuō)明，數(shù)列在科學(xué)事實(shí)和生活事例中有很廣泛的應(yīng)用.

下面我們來(lái)重點(diǎn)分析等差數(shù)列、等比數(shù)列在銀行分期付款（理財(cái)）活動(dòng)中的應(yīng)用.

一、 在銀行理財(cái)品種中，數(shù)列的應(yīng)用及數(shù)學(xué)模型的建立

針對(duì)銀行理財(cái)中的存款問(wèn)題，用數(shù)列方法來(lái)分析，可建立兩個(gè)基本的數(shù)學(xué)計(jì)算模型（具體推導(dǎo)省略）.銀行中的零存整取（整存零?。┦菃卫系炔顢?shù)列模型，其數(shù)學(xué)計(jì)算模型是：本息和=每期存入金額×[存期數(shù)+ 存期數(shù)×（存期數(shù)+1）×（1/2）×利率] ?（公式1）.定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存是復(fù)利，符合等比數(shù)列，其數(shù)學(xué)計(jì)算模型為：本息和=每期存入金額 ×（1+利率） ×存期（公式2）.

二、用數(shù)列的方法探究分期付款中的數(shù)學(xué)計(jì)算模型

隨著國(guó)家積極財(cái)政政策的推行，為了刺激人們的消費(fèi)欲望，銀行聯(lián)合商家推出了商務(wù)分期付款消費(fèi)方式.在分期款中，普遍實(shí)行按月等額還本付息模式，有如下特點(diǎn)：①每期付款額相同，時(shí)間間隔相同;②每期付款的利息按復(fù)利計(jì)算;③各期所付的款額連同到最后一次付款時(shí)所生成的利息和，等于商品售價(jià)及從購(gòu)買到最后一次付款的利息和.但每每涉及分期付款消費(fèi)時(shí)，每期付款額是如何得來(lái)的？若干期后，還應(yīng)歸還銀行多少本金？人們往往很難做到心中有數(shù).

現(xiàn)舉例研討如下：若貸款數(shù)為A元，貸款利率為p，還款方式為分b期，每期等額還本付息a元，第n期還款后的本金為An元.

1. 分期付款中，第n期還款后的本金余額的確定

在分期付款中，每次還款后的本金余額為：

A1 = A（1+p）-a， ?A2 = A1（1+p）-a =A（1+p）2-（1+p）a-a， A3 = A2（1+p）-a = A（1+p）3-a（1+p）2-a（1+p）-a……以此類推，An = A（1+p）n -a（1+p）n-1-a（1+p）n-2-…-a（1+p）0 ?（*）

將（*）變形，得 （An+1-a/p）/（An-a/p）=1+p. 由此可見(jiàn)，{An-a/p}是一個(gè)以A1-a/p為首項(xiàng)，1+p為公比的等比數(shù)列，那么應(yīng)用等比數(shù)列求和的公式，求得：

An=A（1+p）n-a[1+（1+p）+…+（1+p）n-1]，整理后，得：An= A（1+p）n+[a-a（1+p）n]/ p.

根據(jù)上述表達(dá)式，建立的數(shù)學(xué)模型是：第n期分期付款后本金余額=貸款額×（1+利率）還款期數(shù)+[每期還款數(shù)額-每次還款數(shù)額×（1+利率）還款期數(shù)]/ 利率. （公式3）

2. 分期付款中，每期等額付款金額的確定

同樣用上述數(shù)列分析方法，還款b次后的本金余額即：Ab=A（1+p）b-a（1+p）b-1-… -a（1+p）0 =0，利用等比數(shù)列求和公式，整理出，Ab= A（1+p）b+[a-a（1+p）b]/ p=0，推導(dǎo)出：a=p×A（1+p）b / [（1+ p）b-1].

根據(jù)上述推導(dǎo)，總結(jié)出數(shù)學(xué)模型：每期還款額=利率×貸款額×（1+利率）分期數(shù)/ [（1+利率）分期數(shù)-1].（公式4）

以上綜合運(yùn)用等比數(shù)列、等差數(shù)列知識(shí)，建立起4種數(shù)學(xué)模型，找到了商家分期付款中等額本息和本金余額的來(lái)龍去脈.

三、運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，分析探究分期付款中銀行的本息構(gòu)成及收益

媽媽要給我買一臺(tái)電腦，電腦售價(jià)為4 800元，我和媽媽商定采取1年內(nèi)4期付款方案.我要明明白白探究清楚每期付款額中，等額付款的金額是多少，本金占多少，利息占多少（建行2015年1月公布的一年之內(nèi)的貸款年利率為5.6%，一年之內(nèi)的定期利率為2.6%，分期付款手續(xù)費(fèi)為0.6%）.設(shè)定每次等額還款金額為a，剩余本金為An.

1.按照商家提供的分期付款方式，計(jì)算貨款的本息

按照商家的說(shuō)法，一年內(nèi)的分期付款無(wú)利息，只按貨款每月0.6%的固定手續(xù)費(fèi)的方式計(jì)算還款本息額. 我計(jì)算出，每次付款等額本息是：a=4 800/4 + 4 800×0.6%×3=1 286.4元 ，其中還款本金為1 200元，利息為86.4元。據(jù)此得出一年的利息是345.6元.

2.采取銀行的貸款方式，探究貨款的利息及每期還款的本金余額、本息構(gòu)成

將全額貨款采取四次分期付款的模式從銀行貸款，按照復(fù)利計(jì)算出支付的全部利息.我應(yīng)用先前數(shù)列知識(shí)推導(dǎo)出的公式（4），其中3個(gè)月的貸款利率為：5.6% /4=1.4%，求出每期等額還款金額：a=1.4%×4 800×（1+1.4%）4 / [（1+1.4%）4-1]=1 242.01元，一年貸款利息是：（1 242.01-

1 200）×4=168.04元.

我采取先求出每次付款的本金余額，再用前一次的本金減去后一次本金余額方法，求出每次分期付款的本金及利息.我應(yīng)用公式（3），其中每季度的利率為1.4%，分別計(jì)算出4次還款后的本金余額得：A1= 4 800×（1+1.4%）1 + [1 242.01-1 242.01×（1+1.4%）1] / 1.4%=3 624.99元，

依次推出A2=2 433.6元;A3=1 225.22元;A4=0.05元.

利用上述本金余額的計(jì)算結(jié)果，算出每次還款本金和利息如下：第1次還款中，本金是：4 800- A1=1 175.01元，利息是1 242.01-1 175.01=67元;依次推出第2次的本金是：A1- A2=1 191.39元，利息是1 242.01-1 191.39=50.62元;第3次的本金是：1 208.38元，利息是33.63元;第4次的本金是：1 225.17元，利息是16.84元.我支付電腦款的貸款利息總和是：67+50.62+33.63+16.84=168.09元.

注：由于小數(shù)點(diǎn)后數(shù)字四舍五入的原因，計(jì)算中出現(xiàn)了一點(diǎn)誤差，A4沒(méi)有等于0，有0.05元的誤差，也致使兩種算法的利息總和168.04元、168.09元，有了0.05元的誤差，這里不考慮它對(duì)數(shù)據(jù)分析的影響.

3. 嘗試貨款存入銀行，計(jì)算理財(cái)利息

做如下假設(shè)：我將4 800元的電腦貨款，一是采取零存整取的方式，平均分成4份，每三個(gè)月存入銀行一次;一是采取三個(gè)月的定期轉(zhuǎn)存的方式，分別采取計(jì)算12個(gè)月后的收益如下：

零存整取的利息：我應(yīng)用公式（1）計(jì)算出電腦款本息和：1 200×[4+4×5×1/2×（2.6%/4）]=4 878元，我的存款利息：4 878-4 800=78元.

定期轉(zhuǎn)存的利息：我應(yīng)用公式（2）計(jì)算出本息和：1 200×[1+（2.6%/4）]×4=4 926元，我的存款利息：4 926- 4 800=126元.

4.比較銀行在分期付款、貸款及儲(chǔ)蓄理財(cái)中的收益

同樣是購(gòu)買電腦的4 800元的貨款，我采取直接從銀行貸款、分期付款等方式支付，與定期將部分貨款存入銀行的理財(cái)收益做比較如下：

四、總結(jié)體會(huì)

1. 通過(guò)上述收益比較，印證了一句俗語(yǔ)——買的沒(méi)有賣的精 .

一是商家說(shuō)的，一年之內(nèi)分期付款，沒(méi)有利息，只有手續(xù)費(fèi)，實(shí)際上手續(xù)費(fèi)不但包含了貸款利息，也包含了一定的代辦費(fèi)用;二是在分期付款中，商家沒(méi)有按規(guī)定擔(dān)負(fù)分期付款的50%的手續(xù)費(fèi)，而是通過(guò)銀行暗箱操作，將全部費(fèi)用都轉(zhuǎn)移到了消費(fèi)者的身上，這從（表一）中分期付款和貸款支付的利息數(shù)據(jù)中可以印證;三是儲(chǔ)戶無(wú)論采取哪種存款理財(cái)方式，收益遠(yuǎn)不及銀行同期貸款收益的一半.

2.運(yùn)用數(shù)列知識(shí)探究出了個(gè)人投資理財(cái)和分期付款本息的數(shù)學(xué)計(jì)算模型，解決了它在理財(cái)中的一些應(yīng)用問(wèn)題.這次學(xué)習(xí)研究不但有助于學(xué)生深入理解消化課本上的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)在日常生活中廣泛應(yīng)用的理解和認(rèn)識(shí).