數(shù)學(xué)中“1”的巧用

葉劍飛 李劍峰

【摘要】 本文介紹了“1”在數(shù)學(xué)問題求解中的一些實(shí)例，歸納總結(jié)了數(shù)字 “1”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的巧用.從下面三大方面展開，分別是“1”在三角函數(shù)、不等式中的巧用，“1”在不定積分方面的巧用，以及“1”在高等代數(shù)中的巧用.對(duì)“1”在矩陣運(yùn)算、不等式、最值、積分、三角函數(shù)等問題中的巧妙應(yīng)用進(jìn)行較為全面的分類研究，從而達(dá)到巧用“1”，化繁為簡的效果.

【關(guān)鍵詞】 “1”，巧用，不等式，三角函數(shù)，矩陣運(yùn)算，不定積分

數(shù)學(xué)在很多數(shù)情況下都要和數(shù)字打交道，而數(shù)字“1”正是人類最早認(rèn)識(shí)的數(shù)之一，在數(shù)學(xué)中具有非常重要的地位.“1”有千千萬萬的形式和內(nèi)容，可以生成任一自然數(shù)，也可以生成“單位圓”，以及“單位矩陣”等等.而這些在進(jìn)行化簡、計(jì)算、證明中都扮演著舉足輕重的地位，是解題中不可缺少的元素之一.下面主要結(jié)合自己多年的解題經(jīng)驗(yàn)，談?wù)劇?”在各方面的活用.

1. “1”在三角函數(shù)、不等式以及最值問題中的巧用

三角函數(shù)、不等式是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，與數(shù)列、定積分、平面向量等都有著密切的聯(lián)系.在三角函數(shù)問題的解決時(shí)，常引入數(shù)“1”參與運(yùn)算，使問題得以簡化.常見的代換有：1 = sin2α + cos2α，1 = sec2α - tan2α，1 = csc2α - cot2α，1 = tan，這一系列問題在許多問題的求值、化簡中經(jīng)常用到，下面進(jìn)行舉.

同時(shí)，在證明不等式，求最值時(shí)，若恰當(dāng)、靈活地使用“1”，可以為證明創(chuàng)造條件，達(dá)到化難為易的效果.同時(shí)，利用公式a1 + a2 + … + a ≥ n解題時(shí)，有時(shí)若能巧妙利用“1”的代換，常常能使問題得以巧妙地解決.

3. “1”在積分中的巧用

不定積分中的常用計(jì)算方法有：直接積分法、換元積分法和分部積分法，計(jì)算不定積分，一般都是根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)來選擇具體的方法.但有時(shí)候，微積分的教學(xué)方法有時(shí)流于機(jī)械，不能體現(xiàn)出這門學(xué)科的精髓.本節(jié)主要探討的是在不定積分的計(jì)算中如何巧妙地運(yùn)用“l(fā)”，而“1”包括利用三角替換，“加一項(xiàng)，減一項(xiàng)”等，而利用這些運(yùn)算將被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈冃危瑥亩_(dá)到簡化積分的目的.

4. “1”在高等代數(shù)中的巧用

在高等代數(shù)中，在求解相應(yīng)的問題時(shí)，如果通過添加“1”，而這里的“1”是指單位矩陣，然后通過一系列運(yùn)算，可以使得問題變得簡單.下面主要介紹下，高等代數(shù)中求標(biāo)準(zhǔn)型、矩陣求逆以及求特征值的問題.

5. 總 結(jié)

本文歸納并給出了“1”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中巧用例題，而對(duì)數(shù)字“1”的理解程度是隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)程度單調(diào)上升的，而它的變形方式在不同方面也各不相同，而這正是它之所以被廣泛運(yùn)用的原因之一.巧妙地轉(zhuǎn)化并靈活運(yùn)用這些等價(jià)關(guān)系，達(dá)到解決問題，優(yōu)化問題的目的，是研究“1”在數(shù)學(xué)中的妙用的根本目的.

【參考文獻(xiàn)】

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[2]王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社.