求解物理最值題 方法靈活就容易

華興恒

在求解物理問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)遇到求最大值或最小值問(wèn)題.在求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目的特點(diǎn)，開(kāi)拓思維，靈活多變地選擇多種多樣的解題方法，才能順利獲解.

一、運(yùn)用配方法求解

【例2】質(zhì)量為m1的入射粒子與一質(zhì)量為m2的靜止粒子發(fā)生正碰. 已知機(jī)械能在碰撞過(guò)程中有損失，實(shí)驗(yàn)中測(cè)出了碰撞后第二個(gè)粒子的速度為v2，求第一個(gè)粒子原來(lái)的速度v0的值的可能范圍.

四、運(yùn)用幾何方法求最值

有時(shí)物理量在幾何圖形上變化時(shí)，可借助于幾何知識(shí)求最值.

【例7】如圖4所示，用一細(xì)繩OB將電燈拉住，使它偏離豎直方向，今要保證電線(xiàn)AO與天花板成θ角不變，問(wèn)OB沿什么方向，其繩拉力最小？

解析：先作出電燈受力圖，如圖5所示.將重力G分解為F1和F2，重力（即合力）不變.當(dāng)OB繩方向改變時(shí)，由于F2方向不變，也就是與F2平行的那條虛線(xiàn)位置不變.由力的平衡知識(shí)可知，繩OB的拉力與F1相等.而F1的矢量末端必在與F2平行的這條虛線(xiàn)上移動(dòng).由幾何知識(shí)可知，從一點(diǎn)到一條直線(xiàn)所作的諸多線(xiàn)段中，以垂線(xiàn)段為最短.故只有當(dāng)F1垂直于F2時(shí)（即OB與AO垂直時(shí)），OB繩所受拉力最小，其最小值為Fmin = Gcosθ.

五、運(yùn)用特殊三角函數(shù)求最值

在正弦（或余弦）函數(shù)中，當(dāng)角度在90°或0°時(shí)，函數(shù)有最大值或最小值（最小值或最大值）.利用特殊三角函數(shù)的這一特點(diǎn)可求物理量的最值.

【例8】以初速度v0沿與水平面成θ角向斜上方投擲一手榴彈，問(wèn)θ角為多大時(shí)，投射的水平距離最遠(yuǎn)？（不計(jì)空氣阻力）

【例10】用繩子拉物體在粗糙地面上勻速前進(jìn)，問(wèn)繩的方向應(yīng)與地面成怎樣的角度時(shí)最省力？（設(shè)物體重量為G，與地面的摩擦因數(shù)為μ）

解析：畫(huà)出物體受力圖，如圖8所示.由物體平衡條件有Fcosθ=（G-Fsinθ）μ，則F=，這里a=μ，b=1.

因μ、G為定值，所以當(dāng)μsinθ+cosθ有極大值時(shí)，F(xiàn)有最小值.根據(jù)前面推導(dǎo)出的結(jié)論，θ=-tan-1或?qū)懗搔?tan-1，F(xiàn)有最小值.

七、運(yùn)用積為定值的函數(shù)性質(zhì)求最值

由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，對(duì)于n個(gè)正數(shù)的積為定值（k），則當(dāng)此n個(gè)正數(shù)相等時(shí)，其和有最小值，且最小值為n.運(yùn)用這一性質(zhì)常?？梢皂樌厍蠼馕锢砹康淖钪?

【例11】有相同干電池36節(jié)，每節(jié)干電池的電動(dòng)勢(shì)為1.5V，內(nèi)阻為0.5Ω.現(xiàn)用來(lái)給電阻為2Ω的外電路供電，要使外電路中電流最強(qiáng)，應(yīng)如何將這些電池連接起來(lái)？

解析：必須將這些干電池組成混聯(lián)電池組.設(shè)干電池總數(shù)為n，每組有m個(gè)串聯(lián)，則有組并聯(lián).由全電路歐姆定律有I==.

由上式可知，因nE值一定，要使I最大，必須要+mr為最小.有上面的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)論可以看出，只有=mr（因×mr=nRr為定值）時(shí)，分母才有最小值，故m===12（節(jié)）.所以應(yīng)將電池分為三組，每組12節(jié)對(duì)外供電時(shí)，外電路獲得的電流才最大.

八、運(yùn)用和為定值的函數(shù)性質(zhì)求最值

數(shù)學(xué)知識(shí)告訴我們，對(duì)于n個(gè)正數(shù)的和為定值（k），則當(dāng)此n個(gè)正數(shù)相等時(shí)，其積有最大值，其值為（）n.運(yùn)用這一性質(zhì)可求物理問(wèn)題的最值.

【例12】如圖9所示的電路中，R1=2Ω、R2=3Ω，滑動(dòng)變阻器R′=5Ω，電源電動(dòng)勢(shì)E與內(nèi)阻r為定值.問(wèn)將滑動(dòng)變阻器的滑片P滑到RAP為何值時(shí)，電池輸出的電流最??？

由上式可知，要使R外最大，I才能最小.而要使R外最大，必須使（2+RAP）（8-RAP）最大，這里（2+RAP）與（8-RAP）之和為定值，根據(jù)前述的數(shù)學(xué)結(jié)論，必須滿(mǎn)足2+RAP=8-RAP，解得RAP=3Ω.也就是變阻器R′的滑片必須滑到RAP=3Ω時(shí)，電源輸出電流在最小.

【例13】如圖10所示，一條均勻的柔軟鐵鏈，總長(zhǎng)度為l，質(zhì)量為m，放在光滑桌面上，由于其一端有少量伸出桌面下垂而牽動(dòng)整條鏈條下滑.不計(jì)一切摩擦，試求鐵鏈與桌邊接觸處鐵鏈張力的最大值.

解析：設(shè)鐵鏈下垂部分的長(zhǎng)度為x時(shí)，張力T最大.則根據(jù)牛頓第二定律，對(duì)桌面上的鐵鏈部分有T=（l-x）a；對(duì)鐵鏈的下垂部分有xg-T=xa.以上兩式中的a為鐵鏈的加速度.

八、運(yùn)用不等式求最值

數(shù)學(xué)知識(shí)告訴我們，任意個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)總不小于它們的幾何平均數(shù)，即（a1+a2+…+an）≥，當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，等號(hào)成立，則a1a2…an有最大值.因此如果能找到算術(shù)平均數(shù)，則幾何平均數(shù)的最大值也就確定了.

【例14】如圖11所示，長(zhǎng)為l的細(xì)繩一端固定在O點(diǎn)，另一端系一小球（質(zhì)量為m）.現(xiàn)將繩拉至水平后無(wú)初速釋放小球，問(wèn)線(xiàn)與水平方向的夾角θ為多大時(shí)，小球有最大的豎直分速度？

九、條件分析法

利用題目所給的已知條件，通過(guò)分析物理過(guò)程，找出達(dá)到最值的條件，從而運(yùn)用該條件列方程求出最值.

【例15】如圖12所示，一個(gè)U型導(dǎo)體框架，寬度l=1 m，其所在平面與水平面交角為θ=30°，其電阻可以忽略不計(jì).勻強(qiáng)磁場(chǎng)與U型框架的平面垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.2T.現(xiàn)有一條形導(dǎo)體ab，其質(zhì)量m=0.2kg，有效電阻R=0.1Ω，跨放在U型框架上，并能無(wú)摩擦滑動(dòng).求導(dǎo)體ab下滑的最大速度vm.

解析：導(dǎo)體開(kāi)始下滑時(shí)，速度為0，導(dǎo)體受重力沿斜面向下的分力作用而加速下滑，此時(shí)加速度最大.導(dǎo)體開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后切割磁感線(xiàn)，產(chǎn)生感應(yīng)電流.由右手定則可判斷感應(yīng)電流的方向由b到a，再由左手定則可知，導(dǎo)體受到沿斜面向上的安培力F作用，F(xiàn)是阻礙導(dǎo)體向下運(yùn)動(dòng)的，因而會(huì)使棒的加速度減小.不過(guò)，只要F小于重力沿斜面向下的分力，導(dǎo)體的運(yùn)動(dòng)速度就會(huì)繼續(xù)增大.隨著導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)的速度增大，導(dǎo)體產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)增大，感應(yīng)電流增大，安培力F也增大，導(dǎo)體的加速度繼續(xù)減小.當(dāng)速度增大到使安培力F=mgsinθ時(shí)，導(dǎo)體受的合外力為0，加速度為0，速度不再增大，導(dǎo)體將做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到最大值.

【例16】如圖13所示，光滑水平面上有一小車(chē)B，右端固定一沙箱，沙箱左側(cè)連接一水平輕彈簧，小車(chē)和沙箱的總質(zhì)量為M.車(chē)上放有一小物塊A，質(zhì)量也為M.物塊A隨小車(chē)以速度v0向左勻速運(yùn)動(dòng)，物塊A與其左側(cè)的車(chē)面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，與其它車(chē)面的摩擦不計(jì)，在車(chē)勻速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，距沙面H高處有一質(zhì)量為m的泥球自由下落，恰好落在沙箱中.求：（1）小車(chē)在前進(jìn)中彈簧的彈性勢(shì)能的最大值是多少？（2）為使物塊A不從小車(chē)滑下，車(chē)面粗糙部分至少多長(zhǎng)？

解析：（1）泥球落入沙箱時(shí)，水平方向動(dòng)量守恒.有一泥球在水平方向速度為0，故碰撞后小車(chē)的速度減小.而A的速度不變（A右側(cè)無(wú)摩擦），因此A將與彈簧碰撞，壓縮彈簧.在彈簧彈力作用下，A減速，小車(chē)加速.只要A的速度大于小車(chē)的速度，A將繼續(xù)壓縮彈簧，彈簧的彈性勢(shì)能將繼續(xù)增大.當(dāng)A的速度等于小車(chē)速度時(shí)，彈簧壓縮到最短，此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大.此后A繼續(xù)減速，小車(chē)?yán)^續(xù)加速，A的速度小于小車(chē)的速度，彈簧的壓縮量減小，彈性勢(shì)能變小.

（2）由（1）可知，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，A必相對(duì)于小車(chē)向左滑動(dòng).當(dāng)A滑上粗糙部分后，在摩擦力作用下作用下，最后相對(duì)于小車(chē)靜止.從A滑上小車(chē)粗糙部分開(kāi)始相對(duì)于小車(chē)靜止的過(guò)程中，A相對(duì)于小車(chē)滑行的距離即為所要求的最小距離.

從彈簧壓縮最短到A受摩擦力作用而再次相對(duì)小車(chē)靜止后，它們的共同速度必等于v2，即此過(guò)程始、末狀態(tài)系統(tǒng)的動(dòng)能未變，因此彈簧減少的彈性勢(shì)能通過(guò)摩擦力做功轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的內(nèi)能.設(shè)A相對(duì)于小車(chē)滑行的距離為l，則有μMgl=EP，故l=.

說(shuō)明：條件法求最值，一定要在腦海中形成清晰的物理圖像，根據(jù)題目提供的條件分析物理過(guò)程，找出達(dá)到最值的條件.大部分最值問(wèn)題都可采用此法求解.

通過(guò)對(duì)以上問(wèn)題的解析可知，對(duì)于求最值的物理問(wèn)題應(yīng)根據(jù)題目的特點(diǎn)，采用靈活多變的方法求解，才能簡(jiǎn)捷、順利獲解.對(duì)于不同的數(shù)學(xué)表達(dá)式，應(yīng)按照不同的求解方法，才能更簡(jiǎn)捷、明快地得出正確的結(jié)果.

責(zé)任編輯 李平安