統(tǒng)計(jì)與概率考點(diǎn)與題型分析

李明倫

統(tǒng)計(jì)與概率，是數(shù)學(xué)必修3的主要內(nèi)容，也是新課標(biāo)高考的必考內(nèi)容，一般以一小（選擇題或填空題）一大（解答題）的形式出現(xiàn)在高考試題中，難度中等.那么在新課標(biāo)高考中，一般會(huì)出現(xiàn)哪些重要考點(diǎn)和基本題型呢？

一、隨機(jī)抽樣

考綱要求

（1）理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性.

（2）會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣.

基本考點(diǎn)與題型

1. 簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣

例1. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（ ）

A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石

答案 B.

解析 設(shè)這批米內(nèi)夾谷的個(gè)數(shù)為x，則由題意并結(jié)合簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣可知，=，解得x≈169，故應(yīng)選B.

評(píng)注 本題以數(shù)學(xué)史為背景，重點(diǎn)考查簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣及其特點(diǎn)，通過(guò)樣本頻率估算總體頻率，難度不大.在高考中，考查簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣的題目往往比較簡(jiǎn)單.

2. 系統(tǒng)抽樣

例2.（2015·湖南）在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)（單位：分鐘）的莖葉圖如圖所示.

若將運(yùn)動(dòng)員按成績(jī)由好到差編為1～35號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績(jī)?cè)趨^(qū)間[139，151]上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是________.

答案 4.

解析 35÷7=5，因此可將編號(hào)為1～35的35個(gè)數(shù)據(jù)分成7組，每組有5個(gè)數(shù)據(jù)，在區(qū)間[139，151]上共有20個(gè)數(shù)據(jù)，分在4個(gè)小組中，每組取1人，共取4人.

評(píng)注 本題將系統(tǒng)抽樣與莖葉圖綜合在一起考查，難度不大.對(duì)于系統(tǒng)抽樣問(wèn)題，我們要掌握兩點(diǎn)：（1）分組的方法應(yīng)依據(jù)抽取比例而定，即根據(jù)定義每組抽取一個(gè)樣本；（2）起始編號(hào)的確定應(yīng)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，一旦起始編號(hào)確定，其他編號(hào)便隨之確定了.

3. 分層抽樣

例3. 某學(xué)院的A，B，C三個(gè)專(zhuān)業(yè)共有1200名學(xué)生，為了調(diào)查這些學(xué)生勤工儉學(xué)的情況，擬采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為120的樣本，已知該學(xué)院的A專(zhuān)業(yè)有380名學(xué)生，B專(zhuān)業(yè)有420名學(xué)生，則在該學(xué)院的C專(zhuān)業(yè)應(yīng)抽取學(xué)生________名.

答案 40.

解析 抽樣比為=，∴A，B專(zhuān)業(yè)共抽取38+42=80名，

故C專(zhuān)業(yè)抽取120-80=40名.

評(píng)注 分層抽樣是三種抽樣方法中最重要的一種抽樣方法，也是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題，且主要有以下幾個(gè)命題角度：一是計(jì)算某一層應(yīng)抽取的樣本數(shù)；二是求樣本容量.

二、用樣本估計(jì)總體

考綱要求

（1）了解分布的意義和作用，會(huì)列頻率分布表，會(huì)畫(huà)頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點(diǎn).

（2）理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.

（3）能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并給出合理解釋.

（4）會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想.

（5）會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

基本考點(diǎn)與題型

1. 頻率分布直方圖

例4.（2016·北京）某市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人用水量中不超過(guò)w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：

（1）如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價(jià)格為4元/立方米，w至少定為多少？

（2）假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替，當(dāng)w=3時(shí)，估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi).

答案 （1）3；（2）10.5元.

解析 （1）由用水量的頻率分布直方圖知：

該市居民該月用水量在區(qū)間[0.5，1]，（1，1.5]，（1.5，2]，（2，2.5]，（2.5，3]內(nèi)的頻率依次為0.1，0.15，0.2，0.25，0.15.

所以該月用水量不超過(guò)3立方米的居民占85%，用水量不超過(guò)2立方米的居民占45%.

依題意，w至少定為3.

（2）由用水量的頻率分布直方圖及題意，得居民該月用水費(fèi)用的數(shù)據(jù)分組與頻率分布表：

根據(jù)題意，該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為：

4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5元.

評(píng)注 本題主要考查頻率分布直方圖求頻率，頻率分布直方圖求平均數(shù)的估計(jì)值.由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí)，需掌握下列關(guān)系式：（1）×組距=頻率；（2）=頻率，此關(guān)系式的變形為=樣本容量，樣本容量×頻率=頻數(shù).

2. 莖葉圖

例5. 某市為了考核甲、乙兩部門(mén)的工作情況，隨機(jī)訪問(wèn)了50位市民.根據(jù)這50位市民對(duì)這兩部門(mén)的評(píng)分（評(píng)分越高表明市民的評(píng)價(jià)越高），繪制莖葉圖如下：

①分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙兩部門(mén)評(píng)分的中位數(shù)；

②分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙兩部門(mén)的評(píng)分高于90的概率；

③根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對(duì)甲、乙兩部門(mén)的評(píng)價(jià).

答案 ①75，67. ②0.1，0.16. ③ 對(duì)甲部門(mén)評(píng)價(jià)較高.

解析 ①由所給莖葉圖知，50位市民對(duì)甲部門(mén)的評(píng)分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故樣本中位數(shù)為75，所以該市的市民對(duì)甲部門(mén)評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值是75.

50位市民對(duì)乙部門(mén)的評(píng)分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故樣本中位數(shù)為=67，所以該市的市民對(duì)乙部門(mén)評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值是67.

②由所給莖葉圖知，50位市民對(duì)甲、乙部門(mén)的評(píng)分高于90的比率分別為=0.1，=0.16，故該市的市民對(duì)甲、乙部門(mén)的評(píng)分高于90的概率的估計(jì)值分別為0.1，0.16.

③由所給莖葉圖知，市民對(duì)甲部門(mén)的評(píng)分的中位數(shù)高于對(duì)乙部門(mén)的評(píng)分的中位數(shù)，而且由莖葉圖可以大致看出對(duì)甲部門(mén)的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差要小于對(duì)乙部門(mén)的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差，說(shuō)明該市市民對(duì)甲部門(mén)的評(píng)價(jià)較高、評(píng)價(jià)較為一致，對(duì)乙部門(mén)的評(píng)價(jià)較低、評(píng)價(jià)差異較大.

評(píng)注 在使用莖葉圖時(shí)，一定要觀察所有的樣本數(shù)據(jù)，弄清楚這個(gè)圖中數(shù)字的特點(diǎn)，不要漏掉了數(shù)據(jù)，也不要混淆莖葉圖中莖與葉的含義.

3. 樣本的數(shù)字特征

例6.（2015·廣東）某城市100戶(hù)居民的月平均用電量（單位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖.

（1）求直方圖中x的值；

（2）求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；

（3）在月平均用電量為[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四組用戶(hù)中，用分層抽樣的方法抽取11戶(hù)居民，則月平均用電量在[220，240）的用戶(hù)中應(yīng)抽取多少戶(hù)？

答案 （1）0.0075.（2）230，224.（3）5.

解析 （1）由（0.002 + 0.0095 + 0.011 + 0.0125 + x + 0.005 + 0.0025）×20=1得x=0.0075，

∴直方圖中x的值為0.0075.

（2）月平均用電量的眾數(shù)是=230.

∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45<0.5，

∴月平均用電量的中位數(shù)在[220，240）內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，則：

（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5，解得a=224，即中位數(shù)為224.

（3）月平均用電量在[220，240）的用戶(hù)有0.0125×20×100=25戶(hù)，

同理可求月平均用電量為[240，260），[260，280），[280，300）的用戶(hù)分別有15戶(hù)、10戶(hù)、5戶(hù)，

故抽取比例為=，

∴從月平均用電量在[220，240）的用戶(hù)中應(yīng)抽取25×=5戶(hù).

評(píng)注 樣本的數(shù)字特征是每年高考的熱點(diǎn)，且常與頻率分布直方圖、莖葉圖等知識(shí)相綜合考查.利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)時(shí)，應(yīng)注意這三者的區(qū)分：（1）最高的矩形的中點(diǎn)即眾數(shù)；（2）中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積是相等的；（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

三、變量間的相關(guān)關(guān)系

考綱要求

（1）會(huì)作兩個(gè)相關(guān)變量的散點(diǎn)圖，會(huì)利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量之間的相關(guān)關(guān)系.

（2）了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸系數(shù)公式建立線性回歸方程.

基本考點(diǎn)與題型

1. 相關(guān)關(guān)系的判斷

例7. 為研究語(yǔ)文成績(jī)和英語(yǔ)成績(jī)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)某班學(xué)生的兩科成績(jī)得到如圖所示的散點(diǎn)圖（x軸、y軸的單位長(zhǎng)度相同），用回歸直線方程=bx+a近似地刻畫(huà)其相關(guān)關(guān)系，根據(jù)圖形，以下結(jié)論最有可能成立的是（ ）

A. 線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，b的值為1.25

B. 線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，b的值為0.83

C. 線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，b的值為-0.87

D. 線性相關(guān)關(guān)系較弱，無(wú)研究?jī)r(jià)值

答案 B.

解析 由散點(diǎn)圖可以看出兩個(gè)變量所構(gòu)成的點(diǎn)在一條直線附近，所以線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，且應(yīng)為正相關(guān)，所以回歸直線方程的斜率應(yīng)為正數(shù)，且從散點(diǎn)圖觀察，回歸直線方程的斜率應(yīng)該比y=x的斜率要小一些，綜上可知應(yīng)選B.

評(píng)注 相關(guān)關(guān)系的直觀判斷方法就是作出散點(diǎn)圖，若散點(diǎn)圖呈帶狀且區(qū)域較窄，說(shuō)明兩個(gè)變量有一定的線性相關(guān)性，若呈曲線型也是有相關(guān)性，若呈圖形區(qū)域且分布較亂則不具備相關(guān)性.

2. 線性回歸方程

例8.（2014·重慶）已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)=3，=3.5，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能為（ ）

A. =0.4x+2.3 B. =2x-2.4

C. =-2x+9.5 D. =-0.3x+4.4

答案 A.

解析 依題意知，相應(yīng)的回歸直線的斜率應(yīng)為正，排除C，D.

且直線必過(guò)點(diǎn)（3，3.5）代入A，B，得A正確.

評(píng)注 回歸直線方程 = x+必過(guò)樣本點(diǎn)中心（，）.

四、隨機(jī)事件的概率

考綱要求

（1）了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率意義以及頻率與概率的區(qū)別.

（2）了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式.

基本考點(diǎn)與題型

1. 隨機(jī)事件概率的求法

例9. 隨機(jī)抽取一個(gè)年份，對(duì)西安市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：

（1）在4月份任取一天，估計(jì)西安市在該天不下雨的概率；

（2）西安市某學(xué)校擬從4月份的一個(gè)晴天開(kāi)始舉行連續(xù)2天的運(yùn)動(dòng)會(huì)，估計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率.

解析 （1）在容量為30的樣本中，不下雨的天數(shù)是26，以頻率估計(jì)概率，4月份任選一天，西安市不下雨的概率為=.

（2）稱(chēng)相鄰的兩個(gè)日期為“互鄰日期對(duì)”（如，1日與2日，2日與3日等）.這樣，在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對(duì)有16個(gè)，其中后一天不下雨的有14個(gè)，所以晴天的次日不下雨的頻率為. 以頻率估計(jì)概率，運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率為.

評(píng)注 本題主要考查隨機(jī)事件的概率與頻率的關(guān)系和隨機(jī)事件概率的求法：（1）頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來(lái)反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來(lái)作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值.（2）利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率.

2. 互斥事件與對(duì)立事件的概率

例10. 甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿椋?）

答案 A.

解析 不輸包括和棋與獲勝兩種情形，故甲不輸概率為+=.

評(píng)注 運(yùn)用概率加法的前提是事件互斥，不輸包含贏與和，兩種互斥，可用概率加法，本題屬于簡(jiǎn)單題.

五、古典概型

考綱要求

（1）理解古典概型及其概率計(jì)算公式.

（2）會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件及事件發(fā)生的概率

基本考點(diǎn)與題型

1. 簡(jiǎn)單的古典概型

例11. 小敏打開(kāi)計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開(kāi)機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1，2，3，4，5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率是（ ）

答案 C.

解析 開(kāi)機(jī)密碼的可能有：

（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）共15種可能，

所以小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率是.

評(píng)注 作為客觀題形式出現(xiàn)的古典概型試題，一般難度不大，解答常見(jiàn)錯(cuò)誤是在用列舉法計(jì)數(shù)時(shí)出現(xiàn)重復(fù)或遺漏，避免此類(lèi)錯(cuò)誤發(fā)生的有效方法是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行列舉.

2. 復(fù)雜的古典概型

例12. 某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書(shū)法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況，數(shù)據(jù)如下表：（單位：人）

（1）從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率；

（2）在既參加書(shū)法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)A1，A2，A3，A4，A5，3名女同學(xué)B1，B2，B3. 現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率.

根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.

事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2個(gè).

因此A1被選中且B1未被選中的概率為P=.

評(píng)注 此類(lèi)問(wèn)題一般以解答題的形式出現(xiàn)，基本方法有：（1）將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解.（2）先求其對(duì)立事件的概率，再利用對(duì)立事件的概率公式求解.

3. 古典概率與統(tǒng)計(jì)的綜合

例13. 某公司為了解用戶(hù)對(duì)其產(chǎn)品的滿(mǎn)意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶(hù)，根據(jù)用戶(hù)對(duì)產(chǎn)品的滿(mǎn)意度評(píng)分，得到A地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的頻數(shù)分布表.

B地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的頻數(shù)分布表

（1）在圖②中作出B地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的頻率分布直方圖，并通過(guò)直方圖比較兩地區(qū)滿(mǎn)意度評(píng)分的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）；

（2）根據(jù)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分，將用戶(hù)的滿(mǎn)意度分為三個(gè)等級(jí)：

估計(jì)哪個(gè)地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)為不滿(mǎn)意的概率大？說(shuō)明理由.

解析 （1）如圖所示：

通過(guò)兩地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的平均值高于A地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的平均值；B地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分比較集中，而A地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分比較分散.

（2）A地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)為不滿(mǎn)意的概率大.

記CA表示事件：“A地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)為不滿(mǎn)意”；CB表示事件：“B地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)為不滿(mǎn)意”.

由直方圖得P（CA）的估計(jì)值為（0.01+0.02+0.03）×10=0.6，

P（CB）的估計(jì)值為（0.005+0.02）×10=0.25.

所以A地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)為不滿(mǎn)意的概率大.

評(píng)注 有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個(gè)重要題型，已成為高考考查的熱點(diǎn).概率與統(tǒng)計(jì)結(jié)合題，無(wú)論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等給出信息，只需要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類(lèi)問(wèn)題即可解決.

六、幾何概型

考綱要求

（1）了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.

（2）了解幾何概型的意義.

基本考點(diǎn)與題型

1. 與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型

例14. 某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒.若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為（ ）

答案 B.

解析 因?yàn)榧t燈持續(xù)時(shí)間為40秒.

所以這名行人至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為=.

評(píng)注 對(duì)于幾何概型的概率公式中的“測(cè)度”要有正確的認(rèn)識(shí)，它只與大小有關(guān)，而與形狀和位置無(wú)關(guān)，在解題時(shí)，要掌握“測(cè)度”為長(zhǎng)度、面積、體積、角度等常見(jiàn)的幾何概型的求解方法，本題的測(cè)度為長(zhǎng)度，是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的一類(lèi)幾何概型送分題.

2. 與面積有關(guān)的幾何概型

例15. 從區(qū)間[0，1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為（ ）

答案 C.

解析 利用幾何概型，圓形的面積和正方形的面積比為==，所以π=.

評(píng)注 求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.

3. 與其它知識(shí)交匯的幾何概型

例16. 在區(qū)間[0，1]x+y≤上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x，y，記p1為事件“x+y≤”的概率，p2為事件“xy≤”的概率，則（ ）

答案 D.

解析 如圖，滿(mǎn)足條件的x，y構(gòu)成的點(diǎn)（x，y）在正方形OBCA內(nèi)，其面積為1.事件“x+y≤”對(duì)應(yīng)的圖形為陰影△ODE，其面積為××=，故p1=<.

事件“xy≤”對(duì)應(yīng)的圖形為斜線表示部分，其面積顯然大于，

故p2>，則p1<評(píng)注 與其它知識(shí)交匯的幾何概型以測(cè)度為面積的居多，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，并計(jì)算相關(guān)面積.這類(lèi)問(wèn)題綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.

變式訓(xùn)練

1. 某校三個(gè)年級(jí)共有24個(gè)班，學(xué)校為了了解同學(xué)們的心理狀況，將每個(gè)班編號(hào)，依次為1到24，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法，抽取4個(gè)班進(jìn)行調(diào)查，若抽到的編號(hào)之和為48，則抽到的最小編號(hào)為（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

2. 已知甲，乙兩組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，若它們的中位數(shù)相同，平均數(shù)也相同，則圖中的m、n的比值=（ ）

8. 某單位為了了解用電量y（度）與當(dāng)天平均氣溫x（℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的當(dāng)天平均氣溫與用電量（如下表），運(yùn)用最小二乘法得線性回歸方程為=-2x+a，則a=________.

9. 某次測(cè)量發(fā)現(xiàn)一組數(shù)據(jù)（xi，yi）具有較強(qiáng)的相關(guān)性，并計(jì)算得=x+1，其中數(shù)據(jù)（1，y1）因書(shū)寫(xiě)不清楚，只記得y1是[0，3]上的一個(gè)值，則該數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值不大于1的概率為_(kāi)_______.（殘差=真實(shí)值-預(yù)測(cè)值）

10. 已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，H是邊DA的中點(diǎn). 在正方形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)P，則滿(mǎn)足|PH|<的概率為_(kāi)_______.

11. 某網(wǎng)站針對(duì)“2016年法定節(jié)假日調(diào)休安排”展開(kāi)的問(wèn)卷調(diào)查，提出了A，B，C三種放假方案，調(diào)查結(jié)果如下：

（1）在所有參與調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取n個(gè)人，已知從“支持A方案”的人中抽取了6人，求n的值；

（2）在“支持B方案”的人中，用分層抽樣的方法抽取5人看作一個(gè)總體，從這5人中任意選取2人，求恰好有1人在35歲以上（含35歲）的概率.

12. 某校學(xué)生參加了“鉛球”和“立定跳遠(yuǎn)”兩個(gè)科目的體能測(cè)試，每個(gè)科目的成績(jī)分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí)，該校某班學(xué)生兩科目測(cè)試成績(jī)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖所示，其中“鉛球”科目的成績(jī)?yōu)镋的學(xué)生有8人.

（1）求該班學(xué)生中“立定跳遠(yuǎn)”科目的成績(jī)?yōu)锳的人數(shù)；

（2）已知該班學(xué)生中恰有2人的兩科成績(jī)等級(jí)均為A，在至少有一科成績(jī)等級(jí)為A的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，求這2人的兩科成績(jī)等級(jí)均為A的概率.

變式訓(xùn)練參考答案與解析

1. B. 2. D. 3. A. 4. C. 5. D. 6. C. 7. C. 8. 60. 9. . 10. +. 11. （1）n=40；（2）. 12.（1）3；（2）.

1. 系統(tǒng)抽樣的抽取間隔為=6，設(shè)抽到的最小編號(hào)為x，則x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，解得x=3.

2. 根據(jù)莖葉圖，得乙組的中位數(shù)是33，甲組的中位數(shù)也是33，即m=3，又甲=（27+39+33）=33，所以乙=（20+n+32+34+38）=33，解得n=8，所以=.

3. 分?jǐn)?shù)低于112分的人對(duì)應(yīng)的頻率/組距為0.09，分?jǐn)?shù)不低于120分的人數(shù)對(duì)應(yīng)的頻率/組距為0.05，故其人數(shù)為×0.05=10人.

12.（1）因?yàn)椤般U球”科目的成績(jī)等級(jí)為E的學(xué)生有8人，所以該班有8÷0.2=40人，所以該班學(xué)生中“立定跳遠(yuǎn)”科目的成績(jī)等級(jí)為A的人數(shù)為40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=40×0.075=3.

（2）由題意可知，至少有一科成績(jī)等級(jí)為A的有4人，其中恰有2人的兩科成績(jī)等級(jí)均為A，另2人只有一個(gè)科目成績(jī)等級(jí)為A.

設(shè)這4人為甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是兩科成績(jī)等級(jí)都是A的同學(xué)，則在至少有一科成績(jī)等級(jí)為A的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，基本事件空間為Ω={（甲，乙），（甲，丙），（甲，?。?，（乙，丙），（乙，?。?，（丙，丁）}，一共有6個(gè)基本事件.

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)