數(shù)學(xué)歸納法在幾何教學(xué)中的應(yīng)用

林篤錦

【摘 要】數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)解題中具有重要的應(yīng)用，尤其是在幾何教學(xué)中應(yīng)用尤為廣泛。本文通過理論與實例相結(jié)合的方式分析了數(shù)學(xué)歸納法的概念、解題步驟以及其在幾何教學(xué)中的具體應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)歸納法 幾何教學(xué) 應(yīng)用

前言

數(shù)學(xué)歸納法通過對一系列特殊情況的總結(jié)得出一般的規(guī)律性結(jié)論，一般規(guī)律性結(jié)果的正確與否直接決定于推導(dǎo)過程中特殊情況推倒的正確與否。從本質(zhì)上說，數(shù)學(xué)歸納法是將所有的自然數(shù)代入一個特定的命題都能得出正確結(jié)論的數(shù)學(xué)方法，因此，數(shù)學(xué)歸納法的推導(dǎo)過程是與數(shù)字緊密相連的，這就決定了歸納法能夠應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的眾多領(lǐng)域。幾何教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要部分，因此，歸納法自然而然也就適合于幾何教學(xué)中。

1.數(shù)學(xué)歸納法概念

數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)教學(xué)中一種常用的證明方法，數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法從更廣泛的范疇說，數(shù)學(xué)歸納法不僅僅適用于證明自然數(shù)范疇，它還可以應(yīng)用于證明一般的良基結(jié)構(gòu)，如集合論中的樹。這種更廣泛意義上的數(shù)學(xué)歸納法稱為結(jié)構(gòu)歸納法，它主要應(yīng)用于數(shù)學(xué)邏輯和計算機科學(xué)范疇。

2.數(shù)學(xué)歸納法步驟

最常用的數(shù)學(xué)歸納法的解題步驟主要包括兩個：

第一步，驗證將第一個自然數(shù)代入待證明的命題中能否得出正確的結(jié)論，若結(jié)論正確，說明待證明的命題在特殊的情況中是正確的。這一步驟的依據(jù)是自然數(shù)集的“最小數(shù)原理”。這一步驟是驗證命題是否正確的起點，也被稱之為歸納的基礎(chǔ)。

第二步，在得出n取任何一個大于其自身的自然數(shù)K時命題正確的基礎(chǔ)上，證明當(dāng)n取該數(shù)之后的所有自然數(shù)，即n=k+1時該命題也是正確的，這一步驟的本質(zhì)是通過特殊情況的歸納得出一般的推理。第二步是進行歸納推理的核心所在，其核心是“驗證當(dāng)n=k+1時也能得出n=k時的一般規(guī)律”。

3.數(shù)學(xué)歸納法在幾何教學(xué)中的應(yīng)用

3.1 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法作計算

例1：假設(shè)存在一個凸多面體是n棱錐，這個n棱錐的全部頂點確定的直線數(shù)量為，求的表達式。

分析：若直接計算該n凸棱錐頂點數(shù)所確定的直線數(shù)是非常困難的，對于這種數(shù)量不確定的幾何題目可以采用數(shù)學(xué)歸納法，從特殊情況中總結(jié)規(guī)律并加以推廣到任何自然數(shù)。

解：當(dāng)n=3時該凸多邊形是三棱錐，三棱錐存在四個頂點，四個點之間可以最多形成六條直線，同時滿足。

當(dāng)n=4時，該凸多面體是四棱錐，四棱錐有5個頂點，五個點之間可以形成10條直線，且同時滿足。

以此類推，假設(shè)。

假定n=k（k≥3）時滿足該式，則n=k+1時，該凸多面體由k棱錐變?yōu)椋╧+1）棱錐，這就意味著該凸多面體的底面由原來的k邊形變?yōu)椋╧+1）邊形，即增加一個頂點。該凸多面體增加的一個頂點與原來已經(jīng)存在的（k+1）個頂點分別相連形成（k+1）條直線。這就意味著，（k+1）棱錐與k棱錐相比所形成的直線數(shù)增加了（k+1）條直線，即，這意味著當(dāng)n=k+1時假定的公式仍然成立。

綜上所述，假設(shè)成立。

3.2 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法作證明

例2：平面上一共有n個圓，其中每兩個圓之間相交于兩點，而且任何三個圓都沒有相交于同一個點。證明：該平面被n個圓劃分為n2-n+2部分。

分析；該題若采取直接的證明方法很難解出，因此，應(yīng)該采用間接的方法如歸納法證明其正確性。該題采用歸納法的重點是弄清楚n=k+1與n=k相比，圓與圓之間的交點增加了多少，平面被分割的部分增加了多少。在該題中，原有的k個圓將新增加的k+1個圓分割成2k條弧線，而每一條弧線將其所在的平面分割成兩部分，這就意味著增加一個圓使得平面的分割部分增加2k。

證明：當(dāng)n=1時，平面中只存在一個圓，該平面被一個圓分割為兩部分，將n=1代入到公式n2-n+2得12-1+2=2，命題成立。

當(dāng)n=2時，平面中有兩個圓相交于一點，該兩個圓將平面分割為四部分，將n=2帶入公式n2-n+2得22-2+2=4，命題成立。

3.3 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法作圖

例3：已知平面上存在2n+1個點，求作一個以該2n+1個點為中心且變數(shù)為2n+1的多邊形。

解：當(dāng)n=1時，該題簡化為平面上存在三個點，求作一個以該三個點為中心的三角形。具體做法是通過每一個已存在的點做一條直線并且和剩余兩點的連線平行，三條直線相交就得出一個以該三點為中心的三角形。

假定我們已經(jīng)得到符合條件的（2n-1）多邊形，并且同時假定存在（2n+1）個點A1，A2，…A2n+1是所作的（2n+1）邊形各邊X1，X2，…X2n+1的中點。先考慮四邊形X1X2n-1 XnX2n+1，該四邊形各邊的中點依次是A1，A2n-1，An，A2n+1。同時假設(shè)邊X1X2n-1的中點是A，可以證明四邊形A2n-1A2nA2n+1是一個平行四邊形。由于平行四邊形的對邊平行，且其中的三個點A2n-1，A2n和A2n+1都是已經(jīng)存在的，那么根據(jù)相互平行的原理很容易求出該平行四邊形的第四個頂點。而A1，A2，…，A2n-2分別是假定中已經(jīng)作出的（2n-1）邊形的各邊對應(yīng)的中點。要作出符合題目的（2n+1）邊形只需要以已經(jīng)存在的兩點A2n+1和A2n-1為中點的線段X1X2n-1和X2n-1X2n即可得到符合題目要求的多邊形。

4.結(jié)論

目前，數(shù)學(xué)歸納法在幾何教學(xué)中的應(yīng)用主要有三個方面，分別是數(shù)學(xué)歸納法計算、數(shù)學(xué)歸納法證明以及數(shù)學(xué)歸納法作圖。將數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用到幾何教學(xué)中，不僅可以提高學(xué)生對幾何問題的空間感知，而且還可加深學(xué)生對從特殊到一般的命題證明過程，有利于學(xué)生思維邏輯能力和推理能力的提高。

參考文獻

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