線性代數(shù)的一些代數(shù)式的改寫技巧

方又超

摘 要：線性代數(shù)里有大量的代數(shù)式，其中一些代數(shù)式的表現(xiàn)形式是多樣的，可對(duì)它們作不同形式的改寫。選用不同形式的代數(shù)式，相當(dāng)于選擇不同的解決數(shù)學(xué)問題的方法，體現(xiàn)了代數(shù)技巧與代數(shù)方法的統(tǒng)一性。

關(guān)鍵詞：代數(shù)式；改寫技巧；轉(zhuǎn)置；對(duì)稱變換

一、引言

在講授線性代數(shù)的過程中，經(jīng)常要處理一些代數(shù)式，對(duì)于同一個(gè)代數(shù)式，它的形式有可能是多樣的。教師選擇不同的形式，有可能影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。實(shí)際情況表明，多數(shù)學(xué)生對(duì)長串的代數(shù)式心生畏懼，寫出這樣的代數(shù)式，還沒有往下處理，他們就放棄了。這給線性代數(shù)的課堂教學(xué)提出了要求，面對(duì)一些難處理的代數(shù)式，不能照搬教材，但又不能脫離教材，要把握住其中的“度”，通常就是要理解、認(rèn)識(shí)這些代數(shù)式的多張面孔，即是掌握改寫它們的技巧。下面總結(jié)了線性代數(shù)的一些常見的代數(shù)式的改寫方法。

二、矩陣乘法的改寫技巧

矩陣乘法滿足行乘列規(guī)則，通常用行向量乘列向量的方法計(jì)算兩個(gè)矩陣的乘積。設(shè)是一個(gè)數(shù)域，，，且是的個(gè)列向量，

是的個(gè)行向量。則與的乘積可以改寫成

（1）式聯(lián)合下面的引理可得到矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律（AB）T=BTAT的一個(gè)新證明。

三、線性方程組的表示式的改寫技巧

線性方程組的理論和方法是學(xué)習(xí)線性代數(shù)的切入點(diǎn)，學(xué)習(xí)線性方程組的理論和方法相當(dāng)于訓(xùn)練線性代數(shù)的基本功，這一基本功過關(guān)了，才能為后繼學(xué)習(xí)提供保障。線性方程組的表現(xiàn)形式有三種，學(xué)習(xí)了矩陣乘法之后，一般的線性方程組表示式：

學(xué)習(xí)了初等矩陣和矩陣的初等變換的關(guān)系后，可以更深刻地認(rèn)識(shí)線性方程組的初等變換是同解變換。對(duì)線性方程組（2）施行一次線性方程組的初等變換后所得的線性方程組是（PA）X=PB，其中，P是相應(yīng)的初等變換對(duì)應(yīng)的初等矩陣，因?yàn)槌醯染仃嚳赡?，所以AX=b和（PA）X=PB同解，也即線性方程組的初等變換是同解變換，這是高斯消元法的理論基礎(chǔ)。

其中，是A矩陣的N個(gè)列向量，用（3）式可以簡潔證明線性方程組解的結(jié)構(gòu)相關(guān)定理，快捷地從線性方程組的一般解得到線性方程組的通解。具體操作是在一般解表示式的左邊按未知量的先后順序添加自由未知量，令自由未知量等于它自己，等式右邊的常數(shù)項(xiàng)和帶自由未知量的項(xiàng)分別對(duì)齊書寫，最后依照（3）式將一般解改寫成列向量的線性組合表達(dá)式即得通解[1]。

例1設(shè)A是一個(gè)已知的階矩陣，I是階單位矩陣，Y為一個(gè)未知的階矩陣。若矩陣方程AY=I有解，則A滿秩。

證明：設(shè)的個(gè)列向量分別為，的個(gè)列向量分別為。因?yàn)橛薪?，不妨設(shè)其解為，則有

由線性表示。所以得與等價(jià)，又向量組的秩為，所以向量組的秩也為，即滿秩。

四、兩向量組的線性表示式的改寫技巧

可用這一改寫技巧簡明證明定理“對(duì)稱矩陣在規(guī)范正交基下對(duì)應(yīng)的線性變換是對(duì)稱變換”[2]，證明過程避免了處理兩個(gè)求和符號(hào)。下面給出證明。

證明：設(shè)為一個(gè)維歐氏空間，，是的一個(gè)規(guī)范正交基，由題設(shè)可知關(guān)于這個(gè)規(guī)范正交基的矩陣為對(duì)稱矩陣，即。下證是一個(gè)對(duì)稱變換。

參考文獻(xiàn)：

[1]彭玉芳，尹福源.線性代數(shù)（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2005.

[2]張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)（第五版）[M].北京：高等教育出版社，1999.

（作者單位：德宏師范高等?？茖W(xué)校）