一題多變天地寬

朱慶云

【摘要】 數(shù)學(xué)解題是作為數(shù)學(xué)教師的教學(xué)基本功，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的掌握. 析題是把審題、分析、解答和回顧的思維過程按一定規(guī)律一定順序說出來，要求析題者暴露面對題目的思維過程，即說數(shù)學(xué)思維. 本文結(jié)合案例，探討初中數(shù)學(xué)的解題與析題.

一、解題與析題

近幾年隨著課程改革的不斷深入，讓我們看到豐富多彩、千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)題目，雖然題型新穎、知識覆蓋面大，而且技巧性強(qiáng)，個別問題甚至奇妙獨(dú)特，但仔細(xì)推敲，還是運(yùn)用一些常見的數(shù)學(xué)思想方法. 解題注重的是題目或源于數(shù)學(xué)問題的求解過程，即展示的重點(diǎn)是題目求解的結(jié)論.

析題關(guān)注的是學(xué)生對題目的理解以及數(shù)學(xué)問題的解決，這需要對問題的來源背景、延伸拓展、怎樣解題和為什么這樣解題等進(jìn)行闡述，并對于題目的拓展和一題多解、一題多變等進(jìn)行說明.

二、案例分析

案例 如圖，⊙O的直徑AB = 2，AM和BN是它的兩條切線，C，D分別是射線AM和BN上的動點(diǎn)（不與A，B重合且在直線AB的同側(cè)），設(shè)AC = x，BD = y，且滿足關(guān)系式y(tǒng) = 1/x.

（1）試判定直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由.

（2）當(dāng)x為何值時，點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)B′恰好落在射線AM上？

本題涉及的知識點(diǎn)有：圓的知識；折疊問題；勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì). 題目的難點(diǎn)是學(xué)生無法將分散的條件集中到有效的圖形上進(jìn)行解決，用好圓的知識和利用對稱原理是解決此題的關(guān)鍵.

（一）一題多思，培養(yǎng)思維的獨(dú)創(chuàng)性

牛頓說過：“沒有大膽的猜想就做不出偉大的發(fā)現(xiàn). ”中學(xué)生的想象力豐富，因此，可以通過例題所提供的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，鼓勵、引導(dǎo)學(xué)生大膽地猜想，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散思維.

（1）若要證明CD為切線，常用的方法是？O到CD的距離為多少？能算出來嗎？

（2）連接OC、OD， 則∠COD是什么角， 并證之.

（3）若CD為切線， 無論DC的兩個端點(diǎn)在AM、BN上如何移動請問線段AC， BD有什么關(guān)系， 并證明.

（4）假設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)B′恰好落在射線AM上，應(yīng)有哪些策略？

1. 題型有何特征，解法有何規(guī)律？

2. 題目有哪些證法，其中哪些方法最簡便？

3. 題目的幾種證法中，輔助線添置有何規(guī)律？

4. 在題目的解決過程中，解題的關(guān)鍵何在？涉及哪些基礎(chǔ)知識？

5. 在題目的解決過程中，有哪些地方容易發(fā)生錯誤？應(yīng)注意什么問題？

評析：通過一題多思，不但能開闊學(xué)生的解題思路，而且啟發(fā)學(xué)生建立了課本例題，習(xí)題之間的聯(lián)系，使學(xué)生在做題時做到“遇新題，憶舊題，多思考，善聯(lián)想、多變換、找規(guī)律”. 從而培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)變能力和創(chuàng)造性思維能力.

（二） 一題多解，培養(yǎng)思維的發(fā)散性

一題多解是從不同的視角、不同的方位審視分析同一問題中的數(shù)量、位置關(guān)系，用不同解法求得相同結(jié)果的思維過程. 通過探求同一問題的不同解法，可以引出相關(guān)的多個知識點(diǎn)和解題方案，有助于培養(yǎng)學(xué)生的洞察力和思維的變通性、獨(dú)創(chuàng)性，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維的意識.

思路一：本小題欲證CD是切線，在沒有明確交點(diǎn)的情況下，可利用“r = d”的方法證明，即過O點(diǎn)作OE⊥CD，由于半徑為1，故求出OE = 1即可. 進(jìn)而聯(lián)想到連接OC與OD，由題中y與x滿足的關(guān)系式y(tǒng) = 1/x，可以容易得出AC/OB =AO/OB，進(jìn)而得出△AOC∽△BDO，利用∠AOC = ∠ODB，可證出△COD是Rt△，從而利用勾股定理可求出OC、OD、CD，最后通過等面積方法求得OE = 1.

思路二：欲證CD是切線，只需證得OE = OB，考慮到OE⊥CD，AB⊥BD，可證出OD是∠CDB的平分線即可，從而聯(lián)想到可構(gòu)造與△DOC全等的三角形. 考慮到點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，可知延長CO，即可得到△AOC ≌ △BOF，進(jìn)而證得OC = OF. 由于∠COD = 90°，易得△DOC ≌ △DOF，故 OE = OB；

（三）一題多變，挖掘習(xí)題涵量

一題多變是題目結(jié)構(gòu)的變式，是指變換題目的條件或結(jié)論，或者變換題目的形式，而題目的實質(zhì)不變，以便從不同角度，不同方面揭示題目的本質(zhì)，用這種方式進(jìn)行教學(xué)，能使學(xué)生隨時根據(jù)變化了的情況積極思索，設(shè)法想出解決的辦法，從而防止和消除呆板和僵化，培養(yǎng)思維的靈活性. 一題多變可以改變條件，保留結(jié)論；也可以保留條件，改變結(jié)論；或者同時改變條件和結(jié)論；也可以將某項條件與結(jié)論對換，等等.

多年的教學(xué)實踐使我深深地體會到：作為一名數(shù)學(xué)教師，應(yīng)加強(qiáng)對例題和習(xí)題教學(xué)的研究，具有較強(qiáng)代表性和典型性的習(xí)題是數(shù)學(xué)問題的精華，教學(xué)不要忽視了這些小題，要善于“借題發(fā)揮”，進(jìn)行一題多解，一題多變，多題組合，引導(dǎo)學(xué)生去探索數(shù)學(xué)問題的規(guī)律性和方法，以達(dá)到“做一題、通一類、會一片”的教學(xué)效果，讓學(xué)生走出題海戰(zhàn)術(shù)，真正做到輕負(fù)高質(zhì)，這對激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，創(chuàng)新能力，數(shù)學(xué)素質(zhì)，都將起到積極的推動作用. 通過科學(xué)合理地使用教學(xué)素材進(jìn)行一題多變教學(xué)，為培養(yǎng)學(xué)生的個性特征和創(chuàng)新思維能力創(chuàng)造更廣闊的天地，正所謂“一題多變天地寬”.