函數(shù)定義域與思維品質(zhì)

嚴(yán)艷助

摘要：思維品質(zhì)是指個(gè)體思維活動(dòng)特殊性的外部表現(xiàn)。它包括思維的嚴(yán)密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質(zhì)。函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終。函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的兩大要素之一，函數(shù)的定義域（或變量的允許值范圍）似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會(huì)使人誤入歧途。在解函數(shù)題中強(qiáng)調(diào)定義域?qū)忸}結(jié)論的作用與影響，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是十分有益的。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；定義域；思維品質(zhì)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）06-0103

思維品質(zhì)是指個(gè)體思維活動(dòng)特殊性的外部表現(xiàn)。它包括思維的嚴(yán)密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質(zhì)。函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終。函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的兩大要素之一，函數(shù)的定義域（或變量的允許值范圍）似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會(huì)使人誤入歧途。在解函數(shù)題中，強(qiáng)調(diào)定義域?qū)忸}結(jié)論的作用與影響，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是十分有益的。

一、函數(shù)關(guān)系式與定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對(duì)應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時(shí)必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯(cuò)誤的。如：

例1. 某單位計(jì)劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數(shù)關(guān)系式？

解：設(shè)矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：

S=x（50-x）

故函數(shù)關(guān)系式為：S=x（50-x）

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量的范圍。也就是說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因?yàn)楫?dāng)自變量取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時(shí)，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量的范圍：

即：函數(shù)關(guān)系式為：S=x（50-x）（0這個(gè)例子說明，在用函數(shù)方法解決實(shí)際問題時(shí)，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對(duì)實(shí)際問題的影響。若考慮不到這一點(diǎn)，就體現(xiàn)出學(xué)生思維缺乏嚴(yán)密性。若注意到定義域的變化，就說明學(xué)生的解題思維過程體現(xiàn)出較好思維的嚴(yán)密性。

二、函數(shù)最值與定義域

函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)值的取值范圍問題。如果不注意定義域，將會(huì)導(dǎo)致值域的錯(cuò)誤。如：

這個(gè)例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時(shí)，若能注意定義域的取值范圍對(duì)函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現(xiàn)出學(xué)生思維的靈活性。

三、函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此，在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)定義域。如：

以上例子說明，變量的允許值范圍是何等重要，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細(xì)地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯(cuò)誤結(jié)果的產(chǎn)生。也就是說，學(xué)生若能在解好題目后，檢驗(yàn)已經(jīng)得到的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯(cuò)誤，善于精細(xì)地檢查思維過程，便體現(xiàn)出良好的思維批判性。

四、函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。如：

如果在做題時(shí)，沒有在定義域的兩個(gè)區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，就說明學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解，沒有理解，在做練習(xí)或作業(yè)時(shí)，只是對(duì)題型、套公式，而不去領(lǐng)會(huì)解題方法的實(shí)質(zhì)，也說明學(xué)生的思維缺乏深刻性。

五、函數(shù)奇偶性與定義域

判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，如果定義域區(qū)間是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不成中心對(duì)稱，則函數(shù)就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如：

錯(cuò)誤剖析：因?yàn)橐陨献龇ㄊ菦]有判斷該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學(xué)生極易忽視的步驟，也是造成結(jié)論錯(cuò)誤的原因。

綜上所述，在求解函數(shù)函數(shù)關(guān)系式、最值（值域）、單調(diào)性、奇偶性等問題中，若能精細(xì)地檢查思維過程，思辨函數(shù)定義域有無改變（指對(duì)定義域?yàn)镽來說），對(duì)解題結(jié)果有無影響，就能提高學(xué)生的質(zhì)疑辨析能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，從而不斷地提高學(xué)生的思維能力，進(jìn)而有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性。

注：本文曾榮獲崇左市教育教學(xué)論文評(píng)比一等獎(jiǎng)。

（作者單位：廣西崇左市扶綏縣扶綏中學(xué) 532100）