解析幾何熱點問題透視

吳洪生

摘 要：高考對解析幾何的考查主要包括以下內(nèi)容：直線與圓的方程、圓錐曲線等，在高考試卷中一般有1～2道填空題和1道解答題，其中填空題主要考查直線斜率、直線方程、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線的定義、求標準方程、求離心率等，解答題則主要考查直線與圓、直線與橢圓的位置關(guān)系問題，經(jīng)常在知識的交匯點處命題，考查一些定點與定值、最值與范圍問題或者應用問題等，解析幾何試題的特點是思維量大、運算量大，所以應加強對解析幾何重點熱點問題的研究。

關(guān)鍵詞：解析幾何；熱點透視

中圖分類號：G633 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）13-094-2

小結(jié)：本題考查橢圓的離心率。離心率問題是高考的熱點考點，解決這類問題，首先應考慮運用圓錐曲線的定義獲得必要的數(shù)量關(guān)系或參數(shù)間的等量關(guān)系，其次是根據(jù)題目提供的幾何位置關(guān)系，確定參數(shù)a，b，c滿足的等式或不等式，然后根據(jù)a，b，c的關(guān)系消去參數(shù)b，從而可得到離心率的值或取值范圍。

小結(jié)：1.本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓的標準方程的求法，解答此題的關(guān)鍵是仔細計算，是中檔題。

2.求最值常見的解法有兩種：①幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；②代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，或用基本不等式求最值。

八、定點與定值問題

例8 平面直角坐標系xOy中已知過點（1，32）的橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點為F（1，0），過焦點F且與x軸不重合的直線與橢圓C交于A，B兩點，點B關(guān)于坐標原點的對稱點為P，直線PA，PB分別交橢圓C的右準線l于M，N兩點。

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若點B的坐標為（85，335），試求直線PA的方程；

（3）記M，N兩點的縱坐標分別為yM，yN，試問yM·yN是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由。

小結(jié)：解析幾何中的定點、定值或取值范圍問題，是一類綜合性較強的問題，也是高考對解析幾何考查的一個重點和熱點內(nèi)容.這類問題以直線與圓錐曲線德位置關(guān)系為載體，以參數(shù)處理為核心，需要綜合運用函數(shù)、方程、不等式、平面向量等諸多數(shù)學知識以及數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種數(shù)學思想方法進行求解，對考生的代數(shù)恒等變形能力、化簡計算能力有較高的要求。

總體來講，解析幾何的研究主要包括兩大類問題，即直線與圓的方程、直線與圓錐曲線的關(guān)系問題。常見思路與方法歸納如下：

1.判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法：

（1）代數(shù)法：判別式Δ=b2-4ac>0相交，=0相切，<0相離.

（2）幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：dr相離。

2.圓的弦長的常用求法：

（1）幾何法：設圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則（l2）2=r2-d22。

（2）代數(shù)方法：運用韋達定理及弦長公式：

|AB|=1+k2|x1-x2|=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]。

注意：常用幾何法研究圓的弦的有關(guān)問題。

3.求過一點的圓的切線方程時，首先要判斷此點是否在圓上。然后設出切線方程，用待定系數(shù)法求解。注意斜率不存在情形。

4.直線與圓錐曲線的關(guān)系是解析幾何中一類重要問題，解題時注意應用根與系數(shù)的關(guān)系及“設而不求”的技巧。研究直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組解的個數(shù)，要注意消元后方程的二次項系數(shù)是否含參，若含參需討論，同時充分利用根與系數(shù)的關(guān)系進行整體運算變形。

5.涉及弦的中點問題，可以利用判別式和根與系數(shù)的關(guān)系加以解決，也可以利用“點差法”解決此類問題。若知道中點，則利用“點差法”可得出過中點弦的直線的斜率。比較兩種方法，用“點差法”計算量較小，此法在解決有關(guān)存在性的問題時，要結(jié)合圖形和判別式Δ加以檢驗。