線(xiàn)性代數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

楊杰 韋俊 葛玉鳳 高僑 韓旭

摘要：線(xiàn)性代數(shù)是討論矩陣、線(xiàn)性組合、有限維向量空間及線(xiàn)性變換的一門(mén)科學(xué)，本文闡述了線(xiàn)性代數(shù)和實(shí)際生活聯(lián)系的密切性和廣泛應(yīng)用性，通過(guò)豐富有趣的實(shí)例將線(xiàn)性代數(shù)模型應(yīng)用到實(shí)際生活中，并給出求解過(guò)程，進(jìn)一步說(shuō)明線(xiàn)性代數(shù)應(yīng)用的廣泛性。

關(guān)鍵詞：線(xiàn)性代數(shù)模型生活應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：G71 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2016）06（a）-0000-00

線(xiàn)性代數(shù)與實(shí)際生活聯(lián)系緊密并具有廣泛的應(yīng)用性，生活中一些難以解答的問(wèn)題，如果能將之抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，且運(yùn)用線(xiàn)性代數(shù)構(gòu)造模型，這些問(wèn)題將會(huì)得到較為簡(jiǎn)單的解決方案。本文通過(guò)生活中的一些實(shí)例闡述了線(xiàn)性代數(shù)模型的應(yīng)用，下面就幾個(gè)生活中的問(wèn)題進(jìn)行具體討論。

一、線(xiàn)性代數(shù)與通入產(chǎn)出模型

投入產(chǎn)出分析是20世紀(jì)30年代由俄羅斯籍美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家列昂惕夫（ 1906～1999）首先提出的，是經(jīng)濟(jì)分析的一種方法。為了進(jìn)行生產(chǎn)，每個(gè)產(chǎn)業(yè)部門(mén)必須要有投入，這些投入包括原料、半成品和從其他部門(mén)購(gòu)置的設(shè)備等，還需要支付工商稅收、支付工資等。但在生產(chǎn)的過(guò)程中，既有物資方面（如原材料、設(shè)備、運(yùn)輸、能源）又有人力等方面的消耗。投入的目的是為了生產(chǎn)，生產(chǎn)的結(jié)果必然是要?jiǎng)?chuàng)造新的價(jià)值。總之，在物資方面的消耗和新創(chuàng)造的價(jià)值等于他的總產(chǎn)品的價(jià)值，就是“投入”和“產(chǎn)出”之間總的平衡關(guān)系。

下面是一個(gè)將產(chǎn)業(yè)部門(mén)簡(jiǎn)化為僅有農(nóng)業(yè)、制造業(yè)和服務(wù)業(yè)構(gòu)成的例子。假設(shè)沒(méi)有進(jìn)口，也不考慮折舊等因素，給出投入產(chǎn)出表（表1-1）

解：表1-1中數(shù)字表示產(chǎn)值，單位為億元。每一行表示單位部門(mén)生產(chǎn)的用作各部門(mén)的投入的價(jià)值和提供給外部用戶(hù)的分配，沒(méi)一列表示一個(gè)部門(mén)需要投入的資源。用1，2，3分別表示農(nóng)業(yè)、制造業(yè)和服務(wù)業(yè)；設(shè) 為部門(mén) 的總產(chǎn)值； 為部門(mén) 在生產(chǎn)中消耗部門(mén) 的產(chǎn)值（也稱(chēng)部門(mén)間的流量）； 為部門(mén)的 外部需求（也稱(chēng)部門(mén)的最終產(chǎn)品）。那么表1-1中行的基本關(guān)系為

將投入產(chǎn)出表1-1中的數(shù)字轉(zhuǎn)換成表示每個(gè)部門(mén)的單位產(chǎn)值產(chǎn)出需要的投入更為方便，這樣轉(zhuǎn)換所得的表稱(chēng)為技術(shù)投入產(chǎn)出表，表中元素稱(chēng)為投入系數(shù)或直接消耗系數(shù)。將表1-1中各部門(mén)的投入除以該部門(mén)的總產(chǎn)出可得技術(shù)投入產(chǎn)出表（表1-2）

令 表示生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)值的產(chǎn)品 需要消耗產(chǎn)品 的產(chǎn)值（稱(chēng)為直接消耗系數(shù)）即

將它代入式（1-1）得

令T （稱(chēng)為直接消耗系數(shù)矩陣），向量x ，d 分別表示總產(chǎn)出向量和外部需求向量，則式（2-2）可寫(xiě)成矩陣形式

x = Tx + d或（E - T）x = d

（3-3）式稱(chēng)為產(chǎn)出平衡方程，它是投入產(chǎn)出中的基本平衡關(guān)系式，是進(jìn)行一系列數(shù)值計(jì)算和經(jīng)濟(jì)分析的基礎(chǔ)。

若令A(yù) = E - T，則式（2-2）最終化為

Ax = d，

其中 ，

在本例中，若直接消耗系數(shù)矩陣T不變，社會(huì)外部需求確定，可求出各部門(mén)的總產(chǎn)出x；若社會(huì)最終需求改變，那么相應(yīng)的總產(chǎn)出應(yīng)如何改變呢？這就需要對(duì)d求解線(xiàn)性方程組（3-3）.如果對(duì)任何的外部需求d（其元素不會(huì)出現(xiàn)負(fù)值），方程組都有非負(fù)解x（每個(gè)元素非負(fù)），就稱(chēng)此經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是可行的。

對(duì)上述矩陣A，求其逆矩陣 ，可得

其元素全部非負(fù).因此對(duì)任何外部需求向量d（元素全部非負(fù)）解得的總產(chǎn)出 的元素也是全部非負(fù)，即此經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是可行的。

二、線(xiàn)性方程組在量綱分析模型中的運(yùn)用

在力學(xué)中，任一物理量都可以表示為最基本的物理量—質(zhì)量（M）、長(zhǎng)度（L）和時(shí)間（T）的組合形式，這種組合形式稱(chēng)為這一物理量的量綱.如面積的量綱是 ，密度的量綱是 （或者 ）。值得注意的是量綱是獨(dú)立于單位的例如，速度的量綱是 （或者 ），但它可以用英里每小時(shí)或米每秒為單位.通常用qim表示取量綱的運(yùn)算，如面積A的量綱qimA ；速度v的量綱 qimv 等。

量綱齊次原則是指任一個(gè)有意義的方程必定是量綱一致的，即方程左右兩邊的量綱應(yīng)保持一致。即有

qim左邊 = qim右邊.

同時(shí)，左邊或右邊的每一項(xiàng)也都必須有相同的量綱.只有量綱相同的項(xiàng)才可以相比較，相加減。

因此，我們來(lái)考慮下實(shí)際問(wèn)題。

設(shè)長(zhǎng)為l，吃水深度為h的船以速度v航行，若不考慮風(fēng)的影響，那么航船受到的阻力f除依賴(lài)船的諸變量l，h，v以外，還與水的參數(shù)—密度ρ，粘度μ，以及重力加速度g有關(guān)。下面用量綱分析法確定阻力與這些物理量之間的關(guān)系。

解：航船問(wèn)題中涉及到的物理量有：阻力f，船長(zhǎng)l ，吃水深度h ，船速v ，水的密度ρ，粘度μ，以及重力加速度g.要尋求的物理關(guān)系記作：

這是一個(gè)力學(xué)問(wèn)題，基本量綱選為L(zhǎng)，M，T，上述各物理量的量綱表為

式中μ的量綱由基本關(guān)系 得到.這里p是壓強(qiáng)（單位面積受的力），所以 ；v是流速，x是尺度， ，代入可得μ的上述量綱.

由式（2-2）可寫(xiě)出量綱矩陣

經(jīng)計(jì)算知矩陣A的秩R（A）=3.

解齊次線(xiàn)性方程組Ay=0 可得基礎(chǔ)解系為

式（2-4）給出4個(gè)相互獨(dú)立的量綱為1的量

而式（2-1）與

等價(jià)，Φ是未定的函數(shù)，式（2-5）和式（2-6）表達(dá)了航船問(wèn)題中各物理量之間的全部關(guān)系.為得出阻力的顯示表達(dá)式，由式（2-6）及式（2-5）中 的式子可寫(xiě)出

式中Ψ是一個(gè)未定函數(shù)，在流體力學(xué)中量綱為1的量 稱(chēng)為Froude數(shù)， 稱(chēng)為Reynold數(shù)，分別記作

式（2-7）又表示為

式（2-9）就是用量綱分析法確定的航船阻力與各物理量之間的關(guān)系.這個(gè)結(jié)果用通常的機(jī)理分析法是難以得到的.雖然函數(shù)Ψ的形式無(wú)從知道，但它的表達(dá)式在物理模擬問(wèn)題中很有用途.

基本量綱的作用有些類(lèi)似于線(xiàn)性代數(shù)中有限維空間中基的作用.基本量綱選擇過(guò)少，無(wú)法表示各物理量；選擇過(guò)多則會(huì)使問(wèn)題復(fù)雜化.還應(yīng)注意的是齊次線(xiàn)性方程組，雖然基本的基礎(chǔ)解系可以有無(wú)窮多組，雖然基本解組能相互線(xiàn)性表示，但為了特定的建模目的恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造基本解，能夠更直接的得到期望的結(jié)果。

三、向量組的線(xiàn)性相關(guān)性在魔方中的應(yīng)用

德國(guó)著名藝術(shù)家AlbrechtDurer（1471-1521）于1514年曾鑄造一枚銅幣.令人奇怪的是在這枚銅幣的畫(huà)面上充滿(mǎn)了符號(hào)、數(shù)字及幾何圖形.這里僅研究數(shù)字問(wèn)題.

下面是一個(gè)由自然數(shù)組成的方塊，稱(chēng)之為Dürer魔方.為什么稱(chēng)之為魔方？這種數(shù)字排列有什么性質(zhì)？從方塊的數(shù)字排列可以看出：

每行數(shù)字之和為34；每列數(shù)字之和也是34；對(duì)角線(xiàn)上的數(shù)字之和是34；若用水平線(xiàn)和垂直線(xiàn)把它平均分成四個(gè)小方塊，每個(gè)小方塊的數(shù)字之和也是34；若把四個(gè)角上的數(shù)字相加，其和還是34.

Dürer魔方定義：如果存在一個(gè)4×4數(shù)字方，它的每一行、每一列、每一對(duì)角線(xiàn)及每一小方塊上的數(shù)字和均相等且為一確定數(shù)，稱(chēng)這個(gè)數(shù)字方為Dürer魔方.

現(xiàn)在思考有多少個(gè)符合上述定義的魔方？是否存在構(gòu)建所有魔方的方法？這個(gè)問(wèn)題初看給人變幻莫測(cè)的感覺(jué)，但如果借助于向量空間，這個(gè)問(wèn)題就很容易解答.

定義“0-方”和“1-方”如下

，

分別計(jì)算得，0—方中R=C=D=S=0， 1—方中R=C=D=S=4，其中R為行和，C為列和，D為對(duì)角線(xiàn)和，S為小方塊和.

下面通過(guò)用0，1兩個(gè)數(shù)字組合的方法構(gòu)成R=C=S=1的所有魔方，稱(chēng)之為基本魔方

假設(shè)把一個(gè)Dürer魔方堪稱(chēng)一個(gè)向量，那么根據(jù)向量運(yùn)算規(guī)則，對(duì)Dürer魔方可施行數(shù)乘、加減運(yùn)算.

記

易驗(yàn)證：D對(duì)上述定義的數(shù)乘運(yùn)算、向量加法運(yùn)算封閉；D中元素的線(xiàn)性組合構(gòu)成新的魔方D構(gòu)成向量空間，稱(chēng)為Dürer魔方空間.

D是向量空間，存在基向量，基向量是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，并且D中任一元素都可以由基向量線(xiàn)性表示.

等式兩邊對(duì)應(yīng)比較得： ，所以 線(xiàn)性無(wú)關(guān).因此 是D的一組基，D中任一元素都可由 線(xiàn)性組合生成， 可以這樣認(rèn)為： 是D的生成集，但不是最小的生成集，而 是D的最小生成集.

現(xiàn)在回到AlbrechtDurer鑄造的銅幣.用 的線(xiàn)性組合表示銅幣上的魔方， ，即解方程組

解得 .

改變對(duì)Dürer魔方數(shù)字和的要求，可以利用線(xiàn)性子空間的定義，構(gòu)造D的子空間或D空間的擴(kuò)展.1967年，Botsch證明了可以構(gòu)造大量的D子空間或D的擴(kuò)展空間.對(duì)于1至16之間的每一個(gè)數(shù)k，都存在k維類(lèi)似 方的向量空間.

四、小結(jié)

線(xiàn)性代數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用往往是綜合性的，單單某個(gè)章節(jié)在某些方面的具體應(yīng)用很難找到.如矩陣的特征值與特征向量問(wèn)題，在控制論中討論系統(tǒng)（機(jī)械振動(dòng)、彈性震動(dòng)、電磁震蕩等）的穩(wěn)定性以及生物物種存在的狀態(tài)和趨勢(shì)中有著廣泛應(yīng)用，但要牽涉到微分方程組的建立和其他的相關(guān)知識(shí)內(nèi)容，以上幾例僅僅說(shuō)明了一小部分線(xiàn)性代數(shù)在某些生活領(lǐng)域中的應(yīng)用。實(shí)際上，線(xiàn)性代數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，在這里筆者不再一一列舉。

參考文獻(xiàn)

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[2]丘維聲.高等代數(shù)（第二版）上冊(cè).北京：高等教育出版社，2004

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