淺談初中數(shù)學三個“非負數(shù)”模型及其應用

黃建華

【摘要】在數(shù)學領域，非負數(shù)是隨著初一代數(shù)中負數(shù)引入而相應出現(xiàn)的一個概念性知識。所謂非負數(shù)，指零和一切正數(shù)（用字母a表示，即a≥0），它是建立在數(shù)軸、絕對值、二次根式和方程等數(shù)學范疇中的知識，在理論研究和實際運用中不僅頗起作用而且具有十分重要的意義。常見的非負數(shù)著重包括實數(shù)的偶次冪、實數(shù)的絕對值和算術根等三種模型。理論和實踐同時表明，非負數(shù)知識的應用范圍十分廣泛，在數(shù)學教學中，凡是滲透到負數(shù)的地盤，就會觸摸到非負數(shù)的神經。數(shù)學老師應當高度重視，而且必須要求學生們認真應對之，否則對未來的教與學必將帶來很大障礙。本文試對此作出簡要性闡述。

【關鍵詞】初中數(shù)學 知識教學應用 非負數(shù)模型 探討與思考

長期以來，非負數(shù)和方程是初中數(shù)學教學中不可或缺的重要組成部分，而且在歷屆中考命題中既屬重點方向又是難點內容。從個體思維發(fā)展規(guī)律來分析，初中生尤其是初一學生，正處于形象性思維向抽象性思維逐步過渡的階段，而諸如非負數(shù)之類的抽象性數(shù)學知識之于他們，可謂難以繞道的“攔路虎”和“火焰山”。筆者從教學實踐中總結認為，在初中數(shù)學教學過程中，無論對于日常生活的教與學來說，還是針對以后的中考而言，非負數(shù)知識都應當且必須引起師生雙方的高度重視與認真應對。那么，如何才能積極有效地開展非負數(shù)知識的教學活動呢？本文試從以下幾個方面，對此作出一些拋磚引玉之論。

一、初中數(shù)學非負數(shù)知識的形式及其性質

我們該怎樣下這個數(shù)學定義呢？顧名思義，“非負數(shù)”即為不是負數(shù)的實數(shù)，就是包括零和正實數(shù)（如3.4、9/10、π……）兩大類別。在初中數(shù)學中，常見的“非負數(shù)”形式主要有以下三種類型：（1）實數(shù)的偶次冪一定為“非負數(shù)”：如a2≥0，一般的a^2n≥0（n為整數(shù)）。（2）實數(shù)的絕對值一定為“非負數(shù)”：如|a|≥0（當a>0時，絕對值即為a；當a=0時，絕對值即為0；而當a<0時，絕對值則為-a）。（3）算術根一定為“非負數(shù)”：如√a≥0，一般的x√a≥0。

非負數(shù)的性質在解題中既非常重要也頗為實用，它不僅有類型性質——實數(shù)的偶次冪是非負數(shù)，實數(shù)的絕對值是非負數(shù)，一個正實數(shù)的算式根是非負數(shù)，還包含：（1）任何一個非負數(shù)乘以-1，都會得到一個非正數(shù)；（2）非負數(shù)大于或等于0；（3）非負數(shù)中含有理數(shù)和無理數(shù)；（4）非負數(shù)的和或積仍是非負數(shù)；（5）非負數(shù)的和為零，則每個非負數(shù)一定等于零；（6）非負數(shù)的積為零，則至少有一個非負數(shù)為零；（7）非負數(shù)的絕對值等于本身；（8）最小的非負數(shù)是0，沒有最大的非負數(shù)；（9）非負數(shù)的商（除數(shù)不能為0）仍然是一個非負數(shù)。

此外，非負數(shù)還有其幾何意義——在數(shù)軸上，原點和原點右邊的點所表示的數(shù)以及數(shù)軸上表示數(shù)的點到原點的距離都是“非負數(shù)”。

二、關于對“非負數(shù)”知識的見解與應用

如前文所述，三個非負數(shù)知識的性質比較豐富，應用范圍也很廣，我們只有理解透徹才能輕松靈活地應用。有鑒于此，本文結合自己的教學實踐與點滴思考，試對其進行粗略式解析，以供同行商榷與參考。

1、在一元二次方程中的實際應用。眾所周知，在初中數(shù)學教學過程中，關于對“一元二次方程”的學習和應用，既是初中數(shù)學知識的重要基礎和必要前提，又是學習其他更多數(shù)學知識的良好支撐。而我們把它一般地表現(xiàn)為ax2+bx+c=0（其中a≠0）形式，那么對于它的有實數(shù)根的重要條件和必要條件就是（△b2-4ac≥0為非負數(shù)）。

2、關于對非負數(shù)概念的實際應用。以零和正數(shù)為表現(xiàn)類別的“非負數(shù)”知識，它是在初中教材的數(shù)軸、絕對值、二次根式和方程等概念的數(shù)學中建立起來的。對此，我們完全可以通過如下三種途徑來加以應用與理解：一是通過對“實數(shù)的絕對值是非負數(shù)”概念性知識的理解。比如，“在一根標有a、b、c字樣的數(shù)軸上，其中a定點在0左側的3厘米位置上，而b和c分別定點在0右側的3厘米與1厘米位置上（可畫圖表示），且 ，那么 ?！苯柚趯@類題目的實踐教學，能夠幫助學生增強對它的理解、把握和記憶。二是通過對“非負數(shù)的算術平方根仍是非負數(shù)”概念性知識的理解。我們可以借助于對“化簡 ”來予以滲透消化和列舉說明。三是通過對“被開方數(shù)必須是非負數(shù)”概念性知識的理解。對此，我們可以借助于對“函數(shù) 中自變量x的取值范圍是多少？”的數(shù)學題目，來解決非負數(shù)中的此類概念性知識。值得一提的是，數(shù)學概念知識比較精煉和縝密，在實際教學中，我們要首先通過引導學生來認真閱讀解析，然后再通過對具有典型性的實例題目進行消化和反芻，只有如此相得益彰地滲透與通融，才能贏得事半功倍的效果。

3、關于對非負數(shù)性質的實際應用。從上文所闡述的眾多非負數(shù)性質中，可以衍生出如下一條重要性質，具體可表述為——“如果有限個非負數(shù)的和為零，那么其中的每個加數(shù)都必須為零，就是說：x1≥0、x2≥0……xn≥0，且x1 +x2……xn=0，那么x1=x2=……xn=0?！睂嵺`證明，這一條非負數(shù)性質具有非常廣泛的應用范圍，是我們在教與學實踐中必須予以特別關注的內容。本文就以如何對它進行實際應用來說明問題。首先，我們可以對它進行直接地加以應用。比如“已知方程 ，求x和y的值”，或者在“已知方程 ”中就是如此。其次，可以先把問題轉化成兩個或者有限個非負數(shù)的和，然后再來應用這一條性質。如對于“已知方程 ，求x、y、z的值”，我們常是如此。

綜上所述，以上是筆者在初中數(shù)學教學中的簡要實踐與應用體會?！斑\用之妙，存乎一心?！北疚膾伋鲫P于初中數(shù)學中三個“非負數(shù)”模型的教學應用，期望以此能夠獲得更多同行的商榷和探討之言。