著眼于“數(shù)形結(jié)合”的運(yùn)用

莊飛霞

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在強(qiáng)調(diào)雙基的同時(shí)，又增加了數(shù)學(xué)基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 其中，“數(shù)學(xué)的基本思想”主要指數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想、數(shù)學(xué)建模的思想. 這些基本思想在義務(wù)教育階段應(yīng)結(jié)合具體的教材內(nèi)容逐步滲透. 而一個(gè)數(shù)學(xué)思想的形成需要經(jīng)歷一個(gè)從模糊到清晰，從理解到應(yīng)用的長期發(fā)展過程，需要在不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容教學(xué)中通過提煉、總結(jié)、理解、應(yīng)用等循環(huán)反復(fù)的過程逐步形成，學(xué)生只有經(jīng)歷這樣的過程，才能逐步“悟”出數(shù)學(xué)知識(shí)、技能中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想. 本文著眼于數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的運(yùn)用談?wù)勛约旱母惺芘c做法.

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中最基本的兩個(gè)概念，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科里，有很多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容都既有“數(shù)的特征”，也有“形的特征”， 數(shù)形結(jié)合是貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的一條主線，一方面，借助于“形”的直觀來理解抽象的“數(shù)”、另一方面，運(yùn)用“數(shù)”與“式”來細(xì)致、入微地刻畫“形”的特征，直觀與抽象相互配合，取長補(bǔ)短，從而順利、有效地解決問題. 數(shù)學(xué)家華羅庚先生說：“數(shù)無形時(shí)不直觀，形無數(shù)時(shí)難入微”， 形象生動(dòng)、深刻地指明了“數(shù)形結(jié)合”思想的價(jià)值，也揭示了數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì).

一、計(jì)算教學(xué)——數(shù)形結(jié)合悟算理

在計(jì)算教學(xué)中，很多老師認(rèn)為讓學(xué)生理解“算理”比較復(fù)雜，意義不大，因此直接告訴學(xué)生“怎么算”，省去理解“算理”的教學(xué)環(huán)節(jié). 這種教學(xué)理念是學(xué)生只要會(huì)算就可以，誠然，這樣的教學(xué)模式學(xué)生的成績或許并不差，甚至還可能更好. 但這種做法顯然與課標(biāo)背道而馳，《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)要重視過程，突出重點(diǎn)，使學(xué)生在過程中獲得成功的體驗(yàn)，樹立自信心. 計(jì)算中的算法是解決問題的操作程序，算理是算法賴以成立的數(shù)學(xué)原理；因此計(jì)算教學(xué)中要讓學(xué)生充分體驗(yàn)由直觀算理到抽象算法的過渡和演變過程，從而達(dá)到對(duì)算理的深層理解和對(duì)算法的切實(shí)把握，學(xué)生在感悟算理的同時(shí)掌握算法. 義務(wù)教育人教版六年級(jí)上冊(cè)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)這一內(nèi)容，教材就做得十分到位.

首先，教材詳細(xì)地呈現(xiàn)了第（1）個(gè)問題的解決過程：先依據(jù)題意列出算式，再通過畫圖的形式幫助學(xué)生理解 × 的意義，解決了 × = = （公頃）.

接著，教材仍然通過數(shù)形結(jié)合的形式解決第（2）個(gè)問題： × = = .

（2）種玉米的面積是多少公頃？

公頃的是多少公頃？

× = = （公頃）.

但在實(shí)際教學(xué)中，讓學(xué)生獨(dú)立畫圖來分析還是很有困難的. 因此，這一環(huán)節(jié)的教學(xué)采取半扶半放的方式，即先讓學(xué)生自己試著畫出圖（有的學(xué)生在畫圖時(shí)出現(xiàn)混亂，不清楚每次是把哪個(gè)量看作單位“1”），再讓學(xué)生看圖講解自己的思考過程：用一個(gè)長方形表示1公頃的地，平均分成2份，其中的一份就是李伯伯家的公頃地，接著把這一份（即）又平均分成5份（實(shí)際是把1公頃地平均分成10小份）取其中的3份，表示 × 即把1公頃地平均分成10份，其中的3份是，再涂上陰影，所以 × = = （公頃）.

最后，教材通過討論總結(jié)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法.

計(jì)算教學(xué)的本質(zhì)是先算理后算法，這一過程通過長方形圖逐一的表示，讓學(xué)生清晰地理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)與內(nèi)涵，“形”直觀地詮釋了“數(shù)”，“數(shù)”使“形”更加具體. 數(shù)形結(jié)合，學(xué)生表象清晰，記憶深刻，對(duì)算理的理解透徹，做到既知其然又知其所以然. 算理通了，算法就順理成章的形成了.

二、概念教學(xué)——數(shù)形結(jié)合解困惑

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)大廈的基石，要想大廈蓋得牢，基石就得做實(shí). 每冊(cè)教材中的數(shù)學(xué)概念都非常多，而要想講清概念也絕非易事. 如義務(wù)教育人教版五年級(jí)上冊(cè)求積的近似數(shù)教學(xué)時(shí)，常常遇到的問題：近似數(shù)1.20末尾的“0”能去掉嗎？老師們會(huì)說：在表示精確度時(shí)，小數(shù)末尾的0是不能去掉的. 相信很多的老師都是這么直接告訴學(xué)生，而許多聽話的學(xué)生大多會(huì)記住了這一結(jié)論：在表示精確度時(shí)，小數(shù)末尾的“0”是不能去掉的；或者近似數(shù)1.20比1.2更精確. 只是這樣解釋也會(huì)給學(xué)生造成困惑：小數(shù)的性質(zhì)中指出，在小數(shù)的末尾添上0或去掉0，小數(shù)的大小不變. 為什么在表示精確度時(shí)小數(shù)末尾的0就不能去掉呢？這樣的問題在我們的教學(xué)中隨處可見. 看來，學(xué)生對(duì)用近似數(shù)表示精確度是不甚理解的. 于是，我在教學(xué)中先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行幾個(gè)層次的思考：

（1）一個(gè)兩位小數(shù)，保留一位小數(shù)為1.2，這個(gè)數(shù)最大可能是多少？最小又可能是多少？（生：最大是1.24，最小是1.15）

（2）一個(gè)三位小數(shù)，保留一位小數(shù)為1.2，這個(gè)數(shù)最大可能是多少？最小又可能是多少？（生：最大是1.249，最小是1.150）

請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上找出這兩個(gè)數(shù)的取值范圍.

（3）如果一個(gè)三位小數(shù)，保留兩位小數(shù)為1.20，這個(gè)三位小數(shù)最大可能是多少？最小可能是多少？（生：最大是1.204，最小是1.195 ）

請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上也找出這兩個(gè)數(shù)的取值范圍.

（4）觀察這兩幅圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（生：近似數(shù)是1.2的取值范圍比近似數(shù)是1.20的取值范圍大得多，也就是保留的位數(shù)越多，所得的近似數(shù)就越精確. ）

至此，學(xué)生對(duì)于在表示精確度時(shí)，1.20末尾的“0”不能去掉，就一清二楚了. 經(jīng)歷過這樣的探究過程，通過數(shù)軸的直觀演示，使數(shù)與直線上的“點(diǎn)”建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，學(xué)生對(duì)為什么1.20比1.2更精確有了非常直觀而又清晰的理解，頭腦中的疑惑自然解開了. 同時(shí)對(duì)小數(shù)的近似數(shù)的意義有了深刻的體驗(yàn).

三、解決問題教學(xué)——數(shù)形結(jié)合化直觀

在小學(xué)解決問題的教學(xué)中，有些題目的描述相當(dāng)復(fù)雜，數(shù)量關(guān)系也很隱蔽并且相互之間還有交叉，學(xué)生理解起來比較費(fèi)力，需要有一定的分析能力. 這時(shí)，如果通過畫圖把題目中的條件和問題直觀地展示在圖上，將抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化，使抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變簡單明了，解題的突破口也就一覽無余了.

義務(wù)教育人教版五年級(jí)下冊(cè) 第六單元 分?jǐn)?shù)的加法和減法 新增“解決問題”的內(nèi)容，讓學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合的畫圖方法分析數(shù)量關(guān)系、解決問題.

此題的關(guān)鍵在于理解樂樂第二次喝了多少杯的純牛奶，也就是解決杯純牛奶的一半是多少？這一問題涉及分?jǐn)?shù)比較抽象，教材旨在讓學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合來解決. 教學(xué)中，學(xué)生畫圖如下：

生1：

學(xué)生通過畫圖表示出了樂樂第二次喝的純牛奶與水，將題目的條件通過圖形直觀地加以呈現(xiàn)，找出解決問題的思路和方法，同時(shí)也為后面理解分?jǐn)?shù)乘法的意義和解決問題積累一定的方法和經(jīng)驗(yàn). 接著教師再通過下面課件的直觀演示進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)這一問題的理解.

最后通過這一幅圖學(xué)生很直觀地得出以下結(jié)果：

“數(shù)形結(jié)合”思想在計(jì)算教學(xué)、概念教學(xué)及解決問題教學(xué)中所起作用是不言而喻的. 正如著名教育家夸美紐斯在他的《大教學(xué)論》中指出：“在盡可能的范圍內(nèi)，一切事物都應(yīng)盡力地放在感官的眼前. ”“數(shù)形結(jié)合”能夠給學(xué)生提供了恰當(dāng)?shù)男蜗蟛牧?，將抽象的?shù)量關(guān)系具體化，把無形的解題思路有形化，有利于學(xué)生直接地、高效地解決問題. 這一重要的數(shù)學(xué)思想，也是解決數(shù)學(xué)問題的有效方法，它是把數(shù)學(xué)問題中的運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系等與幾何圖形與圖像結(jié)合起來進(jìn)行思考，從而使“數(shù)”與“形”各展其長，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，相輔相成，使邏輯思維與形象思維完美的統(tǒng)一起來.