自然數(shù)冪和的一種遞推方法

楊勝碩

【摘要】 研究自然數(shù)冪和的目的不僅僅是要找到公式，更應該深入了解數(shù)字間的巧妙聯(lián)系，能夠找到公式的實質，利用排列組合的知識固然簡便，但是理解起來相對抽象. 筆者探討這個問題的時候，利用s～s的表達式，通過建立行列式發(fā)現(xiàn)了一個求s的遞推關系式. 即把若干次冪的自然數(shù)按照數(shù)列的形式排列，每一行出現(xiàn)的數(shù)字呈等差排列，成倒三角的形式，仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)自然數(shù)p次冪和與自然數(shù)p - 1次冪的關系. 通過對假設的證明，得到一個相對簡潔的遞推公式，并用該公式推導出了p ≤ 9次冪的自然數(shù)冪和.

【關鍵詞】 伯努利數(shù)；自然數(shù)冪和遞推公式

自然數(shù)冪和問題，由瑞士數(shù)學家伯努利最先提出，故也稱伯努利冪之和問題，筆者探討這個問題的時候，將若干次冪的自然數(shù)按照數(shù)列的形式排列，每一行出現(xiàn)的數(shù)字呈等差排列，即成倒三角的形式，然后通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)自然數(shù)p次冪和與自然數(shù)p - 1次冪的關系. 從而得到一個相對簡潔的遞推公式，現(xiàn)介紹如下：

設s = ip，將s展開按如下方式排列：

如此一個倒三角排列，可以對其進行簡單的研究，發(fā)現(xiàn)其中的一些規(guī)律. 易知第二行空缺的數(shù)列為1p-1，第三行空缺的數(shù)列為1p-1 2p-1，第四行空缺的數(shù)列為1p-1 2p-1 3p-1，第五行空缺的數(shù)列為1p-1 2p-1 3p-1 4p-1，第六行空缺的數(shù)列為1p-1 2p-1 3p-1 4p-1 5p-1，第七行空缺的數(shù)列為1p-1 2p-1 3p-1 4p-1 5p-1 6p-1，第八行空缺的數(shù)為1p-1 2p-1 3p-1 4p-1 5p-1 6p-1 7p-1. 如此類推可得到如下正三角排列：

1p-1

1p-1 2p-1

1p-1 2p-1 3p-1

1p-1 2p-1 3p-1 4p-1

1p-1 2p-1 3p-1 4p-1 5p-1

1p-1 2p-1 3p-1 4p-1 5p-1 6p-1

1p-1 2p-1 3p-1 4p-1 5p-1 6p-1 7p-1

1p-1 2p-1 3p-1 4p-1 5p-1 6p-1 7p-1 8p-1 …

1p-1 2p-1 3p-1 4p-1 5p-1 6p-1 7p-1 8p-1 … （n - 1）p-1

假設s = ip的求和公式存在，且為p + 1次多項式. 那么其中每一行數(shù)的和可以通過代入sxp-1求得，這里x = 1 ～ （n - 1）.

設s = apnp + ap-1np-1 + ap-2np-2 + … + a1n，且假定s～s的表達式都已知. 可得上述正三角形行列式中，第一行的和為s，第二行的和為s，第三行的和為s，依次類推，最后一行和為s. 易知上述倒直角三角行列式中，第一行中所有數(shù)之和為s，第二行中所有數(shù)之和為s - s，第三行中所有數(shù)之和為s- s，依次類推最后一行的所有數(shù)之和為s - s. 則得到s = ns - s. 其中

s = ap × 1p + ap-1 × 1p-1 + ap-2 × 1p-2 + … + a1 × 1

s = ap × 2p + ap-1 × 2p-1 + ap-2 × 2p-2 + … + a1 × 2

s = ap × 3p + ap-1 × 3p-1 + ap-2 × 3p-2 + … + a1 × 3

s = ap × 4p + ap-1 × 4p-1 + ap-2 × 4p-2 + … + a1 × 4

s = ap × 5p + ap-1 × 5p-1 + ap-2 × 5p-2 + … + a1 × 5

s = ap × 6p + ap-1 × 6p-1 + ap-2 × 6p-2 + … + a1 × 6

s = ap × 7p + ap-1 × 7p-1 + ap-2 × 7p-2 + … + a1 × 7

s = ap × 8p + ap-1 × 8p-1 + ap-2 × 8p-2 + … + a1 × 8

…

s = ap × （n-1）p + ap-1 × （n-1）p-1 + ap-2 × （n-1）p-2 + … + a1 × （n-1）

將以上各式豎向相加則可得到

s= aps + ap-1s + ap-2s + … + a1s

故s= ns - （aps + ap-1s + ap-2s + … + a1s ）

其中s= s - np，s = s - np-1，依次類推，代入上式整理可得到以下結果：

s = ，

亦可得：s = ，

其中a1，a2，a3，…，ap-1為自然數(shù)冪和公式s的相應各次冪項的系數(shù). s，s，s，…，s為冪≤p - 2次的自然數(shù)的冪之和.