指數(shù)分布I型截尾簡單步進(jìn)應(yīng)力下帶隨機(jī)移走的優(yōu)化設(shè)計(jì)

張鵬 劉平清

【摘要】在壽命分布為指數(shù)分布下，對(duì)I型截尾帶有隨機(jī)移走的試驗(yàn)施加簡單步進(jìn)應(yīng)力，采用最大似然估計(jì)對(duì)不同應(yīng)力的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，以應(yīng)力變化時(shí)間點(diǎn)為優(yōu)化變量，正常應(yīng)力下壽命參數(shù)估計(jì)的漸近方差最小為優(yōu)化目標(biāo)，找到最優(yōu)的應(yīng)力變化點(diǎn)。最后，以一模擬數(shù)據(jù)建模進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。

【關(guān)鍵詞】加速壽命；指數(shù)分布；I型截尾；隨機(jī)移走；簡單步進(jìn)；漸近方差

1、前言

隨著科技的進(jìn)步，產(chǎn)品的壽命有了極大提高，傳統(tǒng)壽命試驗(yàn)顯得力不從心，在此背景下，加速壽命試驗(yàn)應(yīng)運(yùn)而生，并且越來越受到人們的關(guān)注。

國內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)加速壽命試驗(yàn)進(jìn)行了研究。茆詩松[1]等對(duì)多種分布下的加速壽命試驗(yàn)做了許多工作，陳循[2]等在相關(guān)的數(shù)據(jù)仿真模擬上有相當(dāng)?shù)难芯?；S.adia Anwar[3]在恒定應(yīng)力加速上對(duì)壽命參數(shù)做區(qū)間估計(jì)。

在實(shí)際情況中，由于試驗(yàn)產(chǎn)品可能出現(xiàn)危險(xiǎn)，或者由于試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)的削減，經(jīng)常需要在試驗(yàn)中將部分還沒有失效的產(chǎn)品移走；在相關(guān)領(lǐng)域的研究中，楊春燕[4]等研究了隨機(jī)移走服從二項(xiàng)分布的情況。

本文在壽命分布為指數(shù)分布情況下，采用I型截尾，其試驗(yàn)時(shí)間設(shè)為T，并以簡單步進(jìn)應(yīng)力（分別為：s1，s2）為試驗(yàn)條件；假設(shè)隨機(jī)移走發(fā)生在產(chǎn)品失效時(shí)刻，第i次失效時(shí)刻移走個(gè)試驗(yàn)產(chǎn)品，而且隨機(jī)移走數(shù)服從二項(xiàng)分布B（ni，p）。在此狀況下對(duì)分布的參數(shù)采用極大似然估計(jì)，并且利用Fisher信息矩陣估計(jì)正常狀況（應(yīng)力水平為：S0）下壽命參數(shù)的漸近方差A(yù)V（θ0），當(dāng)漸近方差最小時(shí)即為最優(yōu)應(yīng)力轉(zhuǎn)變時(shí)間τ，在此估計(jì)得到的正常壽命參數(shù)就更可靠。

2、模型建立及分析

2.1、模型假設(shè)

假設(shè)一：產(chǎn)品的壽命分布服從指數(shù)分布；

類似文獻(xiàn)[5]給出累積分

布函數(shù)為：

在試驗(yàn)中試驗(yàn)前已定si，θi通過似然函數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

假設(shè)三：試驗(yàn)開始時(shí)試驗(yàn)樣本總數(shù)為n，在應(yīng)力水平si下失效產(chǎn)品個(gè)數(shù)為mi，且m=m1+m2；每次失效時(shí)刻ti隨機(jī)移走數(shù)ri獨(dú)立同分布，且服從概率一定的（設(shè)為P）的二項(xiàng)分布；即有，一旦試驗(yàn)結(jié)束，便確定。

假設(shè)四：試驗(yàn)過程采用連續(xù)觀測；

2.2、最優(yōu)設(shè)計(jì)分析

根據(jù)對(duì)試驗(yàn)過程的分析，可以得到似然函數(shù)為：

然后通過軟件模擬找到使（20）達(dá)到最小的τ值，則在此τ值下估計(jì)的正常使用狀況下的壽命分布參數(shù)θ0最優(yōu)。

3、實(shí)例計(jì)算分析

下面用模擬的數(shù)據(jù)求取正常應(yīng)力水平下的壽命參數(shù)最優(yōu)數(shù)值解。首先，給定定時(shí)截尾時(shí)間為T=1900h，利用R軟件生成隨機(jī)數(shù)模擬壽命可得壽命數(shù)據(jù)為：（單位：h）

然后再用R模擬生成隨機(jī)移走的數(shù)據(jù)：（單位：個(gè)）

再利用2.2節(jié)的理論公式，用R3.2.0編程序可以得到不同τ（為減少軟件循環(huán)次數(shù)，這里τ取正整數(shù)）值（20）式的值，通過軟件可以找到全局最優(yōu)解τ=1635h時(shí)，最小值，且最小值為，同時(shí)由軟件輸出最可靠的θ0的估計(jì)值為：；由此可知該產(chǎn)品在正常狀態(tài)下使用的平均壽命約為8820h。同時(shí)，由模擬的參數(shù)可以求出在該數(shù)據(jù)下實(shí)際平均壽命為9000h，可見該估計(jì)的精確度還是較高的。

參考文獻(xiàn)

[1]茆詩松，湯銀才，王玲玲.可靠性估計(jì)[M].高等教育出版社，2008.10P259-P324.

[2]陳循，張春華，汪亞順.加速壽命試驗(yàn)技術(shù)與應(yīng)用[M].國防工業(yè)出版社，2013，P130-P200.

[3]Sadia Anwar，Arif UI Islam.ESTIMATION AND OPTIMAL DESIGN OF CONSTANT STRESS PARTIALLY ACCELERATED LIFE TEST FOR GOMPERTZ DISTRIBUTION WITH TYPE I CENSORING.[J].RT&A#04（35）.（Vol.9）2014，December.

[4]SIU KEUNG TSE，CHUNYAN YANG，HAK-KEUNG YUEN.Statistical analysis of Weibull distributed lifetime data under Type II progressive censoring with binomial removals.[J].Fournal of Applied Statistics，VOL.27，No.8，2000，1033-1043.

[5]李新翼，鄭海鷹.廣義指數(shù)分布場合下簡單步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)的最優(yōu)設(shè)計(jì)[J].溫州大學(xué)學(xué)報(bào).自然科學(xué)版.2013年11月，第34卷第4期.

[6]Jin Zhang.Mathematical Statistics，科學(xué)出版社.[M].2013年7月.P13-P150

作者簡介

張鵬（1989-），男，漢族，湖北利川人，碩士研究生，研究方向：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；

劉平清（1993-），女，漢族，云南昭通人，碩士研究生，研究方向：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。