反證法在高中數(shù)學(xué)解題中的妙用

戴威倫

【摘要】 反證法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用較為常見的方法之一. 在高中數(shù)學(xué)解題中，有一些題目用正面直接方法求解往往難度極大，且費(fèi)時費(fèi)力，運(yùn)用反證法求解此類問題不僅能提高解題效率，還可以開發(fā)思維能力，從而提高綜合數(shù)學(xué)的能力. 本文從反證法的基本概述出發(fā)，闡明了反證法的理論基礎(chǔ)和反證法解題的一般步驟，分析了反證法的應(yīng)用范圍，并針對具體的求解實例進(jìn)行了反證法巧解的具體案例分析.

【關(guān)鍵詞】 反證法；高中數(shù)學(xué)解題；適用范圍；求解實例

我們都知道，反證法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用較為常見的方法之一，尤其是在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用更是廣泛. 數(shù)學(xué)的求解問題中，有些題目，用正面方法進(jìn)行直接求解通常難度較大且費(fèi)時，讓我們證明或者是求解時感到比較困難，在有限的考試時間內(nèi)很不劃算. 而采用反證法則很容易解決. 然而，高中教材中缺乏針對反證法原理的相關(guān)介紹和總結(jié)，現(xiàn)將做題中經(jīng)常遇到的反證法進(jìn)行歸納和闡述.

一、反證法基本概述

反證法又稱背理法，是求解數(shù)學(xué)問題的一種常用論證方法.其基本原理為：首先假設(shè)原命題的反命題是正確的，并將假設(shè)條件作為求解和推理的基礎(chǔ)，再根據(jù)已知的公式、定理和定義以及原題中的已知條件進(jìn)行邏輯推理和運(yùn)算，以推出假設(shè)與邏輯的矛盾，從而肯定原命題的正確性.

通常，在棋類比賽中，有一種“棄子取勢”的下棋策略，意思為：以犧牲某些棋子為代價，從而以獲取優(yōu)勢. 科學(xué)家哈代曾說，背理法是遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)勝和高超于任何一種棋術(shù)的策略. 即使棋手犧牲幾個棋子可能不會影響比賽結(jié)果，而數(shù)學(xué)家可以犧牲的是整個一盤棋. 反證法和其相似，都是一種為了巧妙取勝的最了不起的策略.

反證法即是要在假設(shè)命題的基礎(chǔ)上進(jìn)行推理認(rèn)證，推出矛盾，推翻假設(shè)，從而證明原命題的正確. 通常有以下幾種較為明顯的矛盾：

（1）自相矛盾；（2）與假設(shè)相矛盾；（3）與題中所給條件相矛盾；（4）與定理、公式相矛盾；（5）與事實相矛盾.

二、反證法的理論基礎(chǔ)

反證法是以人的邏輯思維為依據(jù)的求解數(shù)學(xué)問題的方法. 反證法的理論基礎(chǔ)是邏輯思維規(guī)律中的兩大規(guī)律，即“矛盾律”和“排中律”. 這也間接說明了反證法是科學(xué)可信的.

排中律：排中律表示A要么是B，要么不是B，而沒有其他可能性，也不具備其他屬性. 排中律在一定程度上揭示了思維的規(guī)律，即通常來講，一個命題要么為真，要么為假，而無其他可能性. 其用符號表示為：P∨ .

矛盾律：矛盾律又稱不矛盾律，是表示同一個目標(biāo)不能同時得出兩個矛盾的判斷，換句話來講就是，同一個命題不能既得出否定答案又得出肯定答案. 矛盾律在某種程度上揭示了事物活動的規(guī)律性定律. 矛盾律用符號表示為：P∧ .

三、反證法解題一般步驟

反證法的一般步驟是如下：

首先，仔細(xì)審題，從題目中找出命題的條件和結(jié)論；

其次，將原命題進(jìn)行否定轉(zhuǎn)換，將題目中原有的條件和結(jié)論作為進(jìn)一步推理的基礎(chǔ)；

再次，從假設(shè)出發(fā)，運(yùn)用課本中的定義、定理、公式以及題目中的條件，再加以邏輯推理，證明出與假設(shè)相矛盾的結(jié)論；

最后，肯定題目原有結(jié)論的正確性.

反證法的根本目標(biāo)題設(shè)原有命題的不正確，通過命題的否定轉(zhuǎn)換，并在否定轉(zhuǎn)換的基礎(chǔ)上運(yùn)用公式、定理等條件進(jìn)行矛盾揭露，使矛盾顯化，從而證明原有結(jié)論的正確.

四、反證法的應(yīng)用范圍

高中數(shù)學(xué)中反證法應(yīng)用范圍十分廣泛，但是課本上并未說明哪些題型適用用反證法，哪些題型該用反證法實際上并無特別規(guī)律可循，原則上來講，因題而異，反證法的目標(biāo)是簡便解題步驟，縮短解題時間，實現(xiàn)巧解、便解的目的. 當(dāng)所給題目下面求解困難，或者正面求解步驟較多時，就當(dāng)考慮使用反證法來求解. 本文列舉應(yīng)用反證法求解的幾個常見安全來具體說明反證法的應(yīng)用.

（一）否定性命題的證明

如題目結(jié)論出現(xiàn)“沒有...”、“不是...”、“不能”等字樣的時候，通常正面直接證明不易入手，可以使用反證法來證明.

例：證明：同一個三角形中不能同時出現(xiàn)兩個鈍角.

已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三個內(nèi)角

求證：三個內(nèi)角中不能同時存在兩個鈍角.

證明：假設(shè)∠A，∠B，∠C三個內(nèi)角中有兩個內(nèi)角為鈍角，不妨假設(shè)∠B > 90°，∠C > 90°，則∠B + ∠C > 180°，顯然與三角形的內(nèi)角等于180°相矛盾，因而，假設(shè)不成立，也即∠A，∠B，∠C中不可能同時存在有兩個鈍角存在.

（二）唯一性命題的證明

通常在幾何圖形中要證明符合條件的圖形有且只有一個時，即要求證明幾何圖形的“唯一性”，此類命題使用反證法證明更簡單.

例：證明：一個圓只有一個圓心.

分析：此命題為唯一性命題，可用反證法證明.

證明：假設(shè)此圓有兩個圓心A和B，在圓內(nèi)任意作一條弦CD，并取CD的中點(diǎn)M，連接OM、AM，則OM、CD、AM、CD，過直線CD上的一點(diǎn)M有OM和AM兩條直線與其垂直，這與經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線相垂直的結(jié)論相悖，故假設(shè)不成立，也即證明了一個圓只有一個圓心的命題是成立的.

（三）必然性命題的證明

必然性的命題通常是結(jié)論中帶有“必然”字樣，求解過程中應(yīng)通過肯定結(jié)論，將原命題的肯定轉(zhuǎn)化為否定的假設(shè)，運(yùn)用一定的定理和定義找出矛盾，推翻假設(shè)，從而證明命題的必然性.

例：已知：a、b、c同為正整數(shù)，a為質(zhì)數(shù)，且滿足a2 + b2 = c2.

求證：b、c兩數(shù)必然一奇一偶.

分析：可假設(shè)兩數(shù)同為奇數(shù)或者同為偶數(shù)，看是否滿足等式，如若不滿足等式即可推翻假設(shè)，證明原命題的正確性.

證明：假設(shè)b、c兩數(shù)同為奇或者同為偶數(shù)，由a2 + b2 = c2可知，（c + b）（c - b） = a2，由于b、c兩數(shù)同為奇或者同為偶數(shù)，兩者的加減運(yùn)算也同為奇或同為偶，那么a2一定為偶數(shù)，且a也為偶數(shù). 但是題目中已知a2為質(zhì)數(shù)，與題設(shè)相矛盾，故假設(shè)不成立，原命題正確.

此外，還可給已知變量設(shè)定值. 假設(shè)a = 2，則（c + b）（c - d） = 4，因此有c + b = 4，c - b = 1，即b = ，c = ，或者c + b = 2，c - b = 2，即b = 0，c = 2，這與原命題中a、b同為正整數(shù)相矛盾，故b、c兩數(shù)為一奇數(shù)、一偶數(shù).

（四）無限性命題的證明

例：證明 為無理數(shù).

分析：由于題目所提供的信息較少，如若從正面直接求解較為困難，解題思路可以從假設(shè) 是有理數(shù)開始，這也使得題目的信息量加大了，可以考慮將 表示成分?jǐn)?shù).

證明：假設(shè) 是有理數(shù)，且存在實數(shù)a、b，且a、b互為質(zhì)數(shù)，使得 = ，即a2 = 8b2，故a為偶數(shù)，記為 a = 2L，故a2=4L2，b2 = 2L2，則b也為偶數(shù)，這與假設(shè)a、b互為質(zhì)數(shù)相矛盾，故假設(shè)不成立，即 非有理數(shù)，而是有理數(shù).

（五）不等式命題的證明

證明不等式是高中數(shù)學(xué)中常見的題型，特別是不等式的求解和計算，在歷屆高考中都會有大題出現(xiàn). 反證法也是解不等式中常用的方法之一，通常情況下，解不等式的問題可以用到“對比法”、“分析法”和“綜合法”，也有些正面直接求解較為困難的題目，這時就要用到反證法求解，可以簡化求解過程，提高求解效率，使問題得到快速解答.

例：已知：m、n > 0，求證：m3 + n3 > m2n + mn2

證明：假設(shè)m3 + n3 < m2n + mn2

證明：由于m、n > 0，由此可以推出m3 + n3 < mn（m + n），由此可知（m + n）（m2 - mn + n2） < mn（m + n），即（m2 - mn + n2） < mn，故m2 + n2 < 2mn. 又因為與m、n > 0，m2 + n2 > 2mn相矛盾，故假設(shè)不成立，即證明了 m3 + n3 > m2n + mn2.

不等式問題的求解方法有很多種，形式也不盡相同，反證法與其他諸如分析法和綜合法等其他方法一道，豐富了不等式的求解方法，求解優(yōu)化了不等式的求解過程，多運(yùn)用反證法、分析法和綜合法求解不等式問題，可以擴(kuò)展思路，提升求解能力.

五、反證法巧解的具體案例分析

（一）案例1——公式有改動

若下列方程：①x2 + ax - a + 3 = 0；② x2 + a - 1 + a2 = 0；③ x2 + ax + a = 0，三個方程中至少一個方程有實根，求a的取值范圍.

解析：由題可知，三個方程中至少有一個方程有實根有三種情況：其一，①有實根，②③無實根；其二，②有實根，①③無實根；其三，③有實根，①②無實根；正面直接解答不僅煩瑣復(fù)雜效率低，還易出錯，尤其在考試中，正面解答很浪費(fèi)時間. 而通過反證法則容易得多，我們只需要求得“三個方程都無實根”中a值的取值范圍，并將所得的取值范圍取補(bǔ)集，就是題目中要求的取值范圍.

設(shè)三個方程全無實根，則Δ1 = a2 - 4（3 - a） < 0Δ2= a - 12 - a2 < 0Δ3 = a2 - 4a < 0，求得-6 < a < 2，a > 1，0 < a < 4解得1 < a < 2，再求補(bǔ)集，該范圍的補(bǔ)集為a ≥ 2或a ≤ 1.

因此，當(dāng)a ≥ 2或a ≤ 1時，題目所給的三個方程滿足至少有一個方程有實根.

（二）案例2

如圖所示，已知O是圓錐的底面圓心，SA、SB是圓錐的兩條母線，C點(diǎn)是直線SB上的任意一點(diǎn)，求證：直線AC與平面SOB不垂直.

解析：為證明直線AC與平面SOB不垂直，可由反證法來求解. 先假設(shè)AC與平面SOB垂直，再證明假設(shè)的不成立，即矛盾性，間接證明AC直線與SOB平面不垂直.

解：假設(shè)AC⊥SOB面，由于SO⊥底面ABO，且SO在平面SOB內(nèi)，故SOB面⊥底面ABO，因而AC∥底面ABO，顯然，AC與底面ABO相交不垂直，因而假設(shè)不成立，直線AC與平面SOB不垂直.

（三）案例3

已知x，y∈[0，1]，證明：對于m，n∈R，存在滿足條件的x，y，使得|xy - m - yn| ≥ 成立.

分析 此類問題主要是探討存在性問題，可使用反證法求解.

證明：假設(shè)x，y∈[0，1]對于任意的x，y都成立時滿足|xy - m - yn| ≤ . 令x = 1，y = 0，則由此可以得到，|m| < ；再令x = m，y = 1，可得出|y| < 成立；然后令x = 1，y = 1，則能夠得出|1 - m - n| < 成立. 但是由于|1 - m - n| ≥ 1 - |m| - |n| > 1 - - = ，產(chǎn)生了矛盾，因此，假設(shè)不成立，原命題是正確的.

（四）案例4

求證：兩條相交直線有且只有一個交點(diǎn).

證明：假設(shè)兩條相交直線交點(diǎn)多于一個，則至少有兩個交點(diǎn)，這樣過兩點(diǎn)就可以做兩條直線，這與公理：過兩點(diǎn)有且只有一條直線相矛盾，因而假設(shè)錯誤，從而證明了原命題兩條直線相交有且只有一個交點(diǎn)的正確性.

六、結(jié) 論

反證法在高中數(shù)學(xué)的求解過程中扮演著重要的角色，在否定性命題、唯一性命題、必然性命題、無限性命題以及不等式命題的證明等方面的作用不可替代，也是作為高中生應(yīng)當(dāng)熟練掌握的數(shù)學(xué)求解方法. 反證法以其獨(dú)特的求解思維和求解方法對提升我們中學(xué)生的創(chuàng)造性思維以及邏輯思維有著十分重要的意義. 反證法不僅可以單獨(dú)求解問題，可結(jié)合其他的方法求解，甚至可以求解同一問題過程中多次使用. 我們應(yīng)在平時的解題中有意識、正確運(yùn)用反證法求解數(shù)學(xué)問題，做到條理清晰、思維嚴(yán)謹(jǐn)、論證充分、掌握熟練，從而提高解決數(shù)學(xué)問題的能力.