型極限的求法

林美娟

摘要： 型極限是微積分學中最為常見的極限，是待定型極限，不能直接用極限的四則運算法則求出.根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，可以用以下方法簡捷地求出 型極限：利用有理化或約分把待定型極限轉(zhuǎn)化為確定型的極限來求；將所求極限看成函數(shù)在某點的導數(shù)，然后利用導數(shù)的定義求得；利用無窮小量的等價替換或洛必達法則簡化計算過程后求得.

關(guān)鍵詞： 型極限 無窮小量 計算

中圖分類號：O17 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2016）08（b）-0000-00

函數(shù)的極限可以分為兩大類：待定型和確定型. 型極限是指分子、分母均為無窮小量的函數(shù)的極限，是待定型極限，不能直接用四則運算法則來計算.這類極限的計算貫穿于微積分學的教學過程之中，如何簡捷地求出這類極限是每個師生所關(guān)心的問題.對于這種類型的極限，可以根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)來選用計算方法.常用的計算方法有下面四種.

1.利用有理化或約分轉(zhuǎn)化極限類型

函數(shù)極限的四則運算法則給出了求函數(shù)極限最基本的方法，而 型極限是不具備函數(shù)極限四則運算法則要求的，不能直接利用函數(shù)極限的四則運算法則來計算.對于函數(shù)是有理函數(shù)的 型極限可以將分子或分母因式分解后約去零因式，然后轉(zhuǎn)化為可以用函數(shù)極限的四則運算法則計算的極限.對于極限是 型的無理函數(shù)可以將分母或分子有理化后約去零因式再用函數(shù)極限的四則運算法則計算其極限.

2.利用導數(shù)的定義揭示極限意義

函數(shù)在某點的導數(shù)其實就是當自變數(shù)的改變量趨向于零時，相應函數(shù)的改變量與自變數(shù)改變量之比的極限，顯然是一個 型極限.可見，有的 型極也可以看成或轉(zhuǎn)化為函數(shù)在某點的導數(shù)，然后利用導數(shù)的定義來求.

3.利用無窮小量的等價替換優(yōu)化計算

型極限的函數(shù)的分子、分母都是無窮小量，對于較為復雜的無窮小量用與其等價且簡單的無窮小量去替換，可以優(yōu)化計算過程.

常用的等價無窮小量有：當 時， ～ ， ～ ， ～ ， ～ ， ～ ， ～ ， ～ ， ～ ， -1～ .

在替換的時候必須保證替換后的分子和分母與原來的分子分母等價，不能只考慮局部等價，要求整體等價.

4.利用洛必達法則簡化計算

洛必達法則是計算待定型極限的有力武器.對于符合洛必達法則條件的 型極限可以用洛必達法則計算.如果應用洛必達法則后得到的極限還是 型，只要仍滿足洛必達法則的條件，那么可以繼續(xù)使用洛必達法則.

在求 型極限的過程中，要盡可能地將函數(shù)的分子分母化為幾個因式之積的形式，可以約分的先約分，極限不為零的因式直接求出，這樣可以化簡函數(shù)的形式.同時還要靈活、綜合地運用相關(guān)方法來優(yōu)化計算過程.例如，在求極限 時，先用洛必達法則可得到 ，還是 型極限.如果不化簡，再用洛必達法則計算，函數(shù)會變得比較復雜.這時，可以先求出 的極限值，這樣就可以得到 ，從而使函數(shù)得以簡化.最后可用無窮小量等價替換求得極限.

參考文獻

[1]劉玉璉.數(shù)學分析講義（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008，4.

[2]費定暉等.數(shù)學分析習題集題解[M].山東：山東科學技術(shù)出版社，1980，2.

[3]劉智斌等.一類待定型極限的求法[J].數(shù)學學習與研究，2015，05：88—89.