基于APOS理論的高中函數(shù)概念的教學(xué)活動(dòng)

沈淼楠

摘 要：函數(shù)是高中學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，函數(shù)概念的學(xué)習(xí)在一定程度上影響著函數(shù)性質(zhì)、圖像等后續(xù)的學(xué)習(xí)，不過在實(shí)際教學(xué)中可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念的理解仍然存在著一定的問題。為了改善這一問題，在APOS理論的指導(dǎo)下，筆者安排了如下的教學(xué)活動(dòng)，望有助于教學(xué)開展。

關(guān)鍵詞：APOS理論；函數(shù)概念；教學(xué)

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：2095-9214（2016）09-0039-01

APOS理論是以建構(gòu)主義為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論，它以社會(huì)線索為出發(fā)點(diǎn)，分析數(shù)學(xué)情景問題，幫助學(xué)生在已有的知識(shí)基礎(chǔ)上建立自己的數(shù)學(xué)思想。APOS理論認(rèn)為數(shù)學(xué)知識(shí)是學(xué)習(xí)者在解決數(shù)學(xué)問題過程中獲得的，在這個(gè)過程中，學(xué)習(xí)者依照依序構(gòu)建了心理活動(dòng)（action）、程序（process）和對(duì)象（object），最終組織成用以理解問題情境的圖式結(jié)構(gòu)（scheme）。

數(shù)學(xué)教材把許多重要的數(shù)學(xué)概念按螺旋式上升的方式分散安排，其中函數(shù)的概念就是一個(gè)典型的例子。初中我們學(xué)習(xí)函數(shù)概念是從“變量觀點(diǎn)”的定義開始，它是一個(gè)過程性質(zhì)的概念，與高中函數(shù)的“對(duì)應(yīng)”觀點(diǎn)相比較，更易于學(xué)生掌握。由于函數(shù)概念同時(shí)具有兩種屬性，既表現(xiàn)為一種動(dòng)態(tài)的算法、操作過程，又表現(xiàn)為一種靜態(tài)的結(jié)構(gòu)、對(duì)象。假如學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解停留在“過程”水平，認(rèn)為函數(shù)就是給x賦一個(gè)值相應(yīng)計(jì)算出y的一個(gè)值，那么對(duì)f±g，f·g，fg等就會(huì)發(fā)生理解上的困難。在教學(xué)過程中，我甚至發(fā)現(xiàn)一些高三學(xué)生對(duì)函數(shù)概念也只有模糊理解，筆者猜想或許正是以上的原因所造成的。在由初中步入高中這個(gè)過程中，函數(shù)概念的學(xué)習(xí)沒有達(dá)到銜接的要求，針對(duì)這個(gè)問題，考慮到學(xué)生原有的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，在APOS理論指導(dǎo)下，筆者嘗試了如下的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)，望能有助于課堂教學(xué)實(shí)踐。

一、action階段

活動(dòng)1：老師帶領(lǐng)學(xué)生回顧初中函數(shù)的概念：一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x，y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，就說y是x的函數(shù)，其中x是自變量。

活動(dòng)2：通過課本實(shí)例，讓學(xué)生感受函數(shù)背景下的數(shù)學(xué)思想：（1）炮彈的距地面的高度與時(shí)間的變化關(guān)系問題；（2）南極臭氧空洞面積與時(shí)間的變化關(guān)系問題；（3）“八五”計(jì)劃以來我國城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)與時(shí)間的變化關(guān)系問題。

通過兩個(gè)活動(dòng)讓學(xué)生親身體驗(yàn)、感受函數(shù)概念的直觀背景。

二、Process階段

活動(dòng)3：分析實(shí)例，歸納總結(jié)出它們之間的聯(lián)系？

活動(dòng)4：引導(dǎo)學(xué)生從初中函數(shù)概念到高中函數(shù)概念的轉(zhuǎn)變，幫助學(xué)生使用集合與對(duì)應(yīng)的語言來描述實(shí)例中變量之間的關(guān)系。

活動(dòng)5：以初中學(xué)習(xí)的函數(shù)概念為依據(jù)，對(duì)實(shí)例中變量之間的關(guān)系是否為函數(shù)關(guān)系進(jìn)行判斷。

三、object階段

活動(dòng)6：給出函數(shù)的有關(guān)概念及符號(hào)

1.函數(shù)的有關(guān)概念

（1）函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)（function）。

記作：y=f（x），xA。

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域（domain）；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數(shù)的值域（range）.

需要注意的是y=f（x）是一種函數(shù)符號(hào)，它也可以用另外的字母表示，比如y=g（x）；

y=f（x）”中的f（x）表示的是當(dāng)x為某一定值時(shí)它所對(duì)應(yīng)的值，它代表著一個(gè)數(shù)，而不是類似于乘法的運(yùn)算法則。

在明確了函數(shù)的概念之后，我們應(yīng)該清楚的知道構(gòu)成函數(shù)的三要素是什么。回顧我們初中學(xué)過的正比例函數(shù)、一元二次函數(shù)、反比例函數(shù)，分析它們構(gòu)成函數(shù)的三要素是什么。同時(shí)為了方便研究函數(shù)，這時(shí)給出區(qū)間的概念。

比較利用變量定義的函數(shù)概念和集合定義的函數(shù)概念，師生討論它們之間的具體聯(lián)系。

四、scheme階段

活動(dòng)7：

1.求函數(shù)的定義域

例1：已知函數(shù)f（x）=x+2+1x+2

（1）求函數(shù)的定義域；（2）求f（-3），f（23）；

（3）當(dāng)a>0時(shí)，求f（a），f（1-a）。

初中生剛升入高中，對(duì)抽象的知識(shí)掌握有一定的難度，適當(dāng)?shù)囊跃唧w實(shí)例進(jìn)行輔導(dǎo)學(xué)習(xí)，化抽象為具體，有助于更好的理解函數(shù)的概念及相關(guān)定義。緊接著與學(xué)生一起總結(jié)幾種常見的函數(shù)定義域類型：函數(shù)如果是分式的形式，那么分母不能為0；如果函數(shù)以根式的形式出現(xiàn)，那么根式下的部分必須大于或等于0；如果函數(shù)以整式形式出現(xiàn)，則定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集；如果函數(shù)以四則運(yùn)算的形式出現(xiàn)，定義域?yàn)樗鼈兏鞑糠值慕患?；如果以?shí)際問題出現(xiàn)，只需要使實(shí)際問題存在就好。

2.判斷兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)的方法：

例2：與y=x為同一函數(shù)的是哪些函數(shù)？

（1）y=（x）；（2）y=3x3；（3）y=x；（4）y=xx

師生共同完成該活動(dòng)，老師設(shè)疑，學(xué)生作答，共同得出判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)的依據(jù)，加深對(duì)函數(shù)概念的理解。

活動(dòng)8：至此，我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用集合和對(duì)應(yīng)的語言刻畫了函數(shù)概念，并引進(jìn)了符號(hào)y=f（x），明確了函數(shù)的構(gòu)成要素，比較兩個(gè)函數(shù)的定義，你對(duì)函數(shù)有什么新的認(rèn)識(shí)？舉出生活中函數(shù)的例子（三個(gè)以上），并用集合與對(duì)應(yīng)的語言來描述函數(shù)，同時(shí)說出函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系。

（作者單位：西華師范大學(xué)）

參考文獻(xiàn)：

[1]曹一鳴，張生春.數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2013

[2]鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社.

[3]沈敏鑒.APOS理論指導(dǎo)下高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)實(shí)踐研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊.2016（3）：21-22

[4]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1[M].北京：人民教育出版社.

[5]義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)（八年級(jí)下）[M].北京，人民教育出版社.