點擊2016年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)熱點

涂天明

2016年廣東考生同全國其他省考生一樣采用全國卷，如何順利實現(xiàn)平穩(wěn)過度，讓考生適應(yīng)全國卷是大家都非常關(guān)注的問題.俗話說，養(yǎng)兵千日，用兵一時.莘莘學(xué)子12年的寒窗苦讀，終于迎來了高考亮劍，我們主張備考從博大精深上升為大道至簡.用我們的睿智和理性換來從山窮水盡疑無路到柳暗花明又一村.縱覽近年全國各地函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題，題目可以說是千變?nèi)f化，但萬變不離其宗，雖然有題型的變化或難度的調(diào)整，但命題立意清晰且風(fēng)格穩(wěn)定，既有容易題、基礎(chǔ)題，也有創(chuàng)新題與難題.基于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的地位與權(quán)重，也有專家認(rèn)為，高考的關(guān)鍵在數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)的關(guān)鍵在函數(shù).為了大家能理性應(yīng)對、事半功倍，下面我與大家分享一些本人對2016年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的熱門考點預(yù)測.

一、熱門考點剖析

熱點1：函數(shù)圖像及其性質(zhì)

函數(shù)的定義、函數(shù)的圖像始終是函數(shù)概念部分的核心內(nèi)容，歷來都是考查熱點，對函數(shù)本質(zhì)的理解始終是關(guān)鍵，無論是用變量之間的對應(yīng)來定義還是用集合之間的映射來定義，單值對應(yīng)就是本質(zhì)就是關(guān)鍵詞，反應(yīng)在零點、不動點、次不動點也是如此.

切入：先理解次不動點的概念，然后轉(zhuǎn)化為解方程或利用函數(shù)f（x）=2x與函數(shù)g（x）=log2x的圖像的對稱性加以解決.

解析：由函數(shù)f（x）=2x與函數(shù)g（x）=log2x互為反函數(shù)知，其圖像關(guān)于直線x=y對稱，設(shè)函數(shù)f（x）=2x與函數(shù)y=-x的唯一交點為（t，-t），而2t=-t？圳t=log2（-t），即函數(shù)g（x）=log2x的不動點為-t，故a=t+（-t）=0，故選B.

感悟：創(chuàng)新能力是高考考查考生的七種主要能力之一，本題若畫出函數(shù)f（x）=2x與函數(shù)g（x）=log2x的大致圖像會更為直觀.

熱點2：函數(shù)的定義域與值域

定義域、對應(yīng)法則、值域是函數(shù)三要素，是基本知識.所以求函數(shù)的定義域或值域是既傳統(tǒng)又創(chuàng)新的一類題型，若將基本初等函數(shù)以及抽象函數(shù)的性質(zhì)融入其中，試題將更加新穎，別具一格.

例3. 若函數(shù)f（x）的定義域為（0，1]，則函數(shù)f（lnx）的定義域為________.

切入：抽象函數(shù)的定義域切入點就是定義域的定義，自變量x的取值范圍，原像集.

解析：因為函數(shù)f（x）的定義域為（0，1]，欲使f（lnx）有意義，0感悟：這種試題擊中函數(shù)定義域的實質(zhì)內(nèi)容，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念就是吃透它最本質(zhì)的東西，同樣將對數(shù)式換為其它代數(shù)式lnx也能體現(xiàn)其效果.

切入：1-ex>0就是切入點，轉(zhuǎn)化為指數(shù)不等式ex<1=e0解決.

解析：∵1-ex>0，∴ex<1=e0，由于函數(shù)y=ex是單調(diào)增函數(shù)，∴ex

熱點5：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

底數(shù)相同時指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)是基本初等函數(shù)，它們又互為反函數(shù)，既有區(qū)別也有聯(lián)系，其中指數(shù)式對數(shù)式的計算以及指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)可以說是變幻無窮，要求考生非常熟悉才行.

例8. 若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a1008a1009+a1007a1010=2e2，則lna1+lna2+…+lna2016=________.

切入：前半部分是等比數(shù)列計算，后半部分是對數(shù)式的處理，所以可以考慮將條件式a1008a1009+a1007a1010=2e2化簡處理切入.

解析：本題考查了等比數(shù)列以及對數(shù)的運算性質(zhì). ∵{an}為等比數(shù)列，且a1008a1009+a1007a1010=2a1a2016=2e2，即a1a2016=e2，lna1+lna2+…+lna2016=ln（a1a2016）1008=lne2016=2016.

感悟：由于y=ex，y=lnx互為反函數(shù)，所以lna1+lna2+…+lna2016的計算將真數(shù)化為e為底的冪可能性很大，本體也不例外.

例9. 已知命題：“函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點A（m，n）成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f（x+m）-n是奇函數(shù)”.

（1）將函數(shù)g（x）=x3-3x2的圖像向左平移1個單位，再向上平移2個單位，求此時圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g（x）圖像對稱中心的坐標(biāo)；

（2）求函數(shù)h（x）=log2圖像對稱中心的坐標(biāo)；

（3）已知命題：“函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于某直線成軸對稱圖像”的充要條件為“存在實數(shù)m，n，使得函數(shù)y=f（x+m）-n是偶函數(shù)”.判斷該命題的真假.如果是真命題，請給予證明；如果是假命題，請說明理由，并類比題設(shè)的真命題對它進(jìn)行修改，使之成為真命題（不必證明）.

切入：表面看不相關(guān)的的三個小題出現(xiàn)在一道大題中，就說明題目有關(guān)系，所以找出它們之間的關(guān)系就是本題的切入點.

解析：（1）平移后圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=（x+1）3-3（x+1）2+2，

整理得y=x3-3x，由于函數(shù)y=x3-3x是奇函數(shù)，

由題設(shè)真命題知，函數(shù)g（x）圖像對稱中心的坐標(biāo)是（1，-2）.

（2）設(shè)h（x）=log2的對稱中心為A（m，n），由題設(shè)知函數(shù)h（x+m）-n是奇函數(shù).

設(shè)f（x）=h（x+m）-n，則f（x）=log2-n，即f（x）=log2-n.

由不等式>0的解集關(guān)于原點對稱，得m=1.

此時f（x）=log2-n，x∈（-1，1）.

任取x∈（-1，1），由f（-x）+f（x）=0，得n=0，

所以函數(shù)h（x）=log2圖像對稱中心的坐標(biāo)是（1，0）.

（3）此命題是假命題. 舉反例說明：函數(shù)f（x）=x的圖像關(guān)于直線y=-x成軸對稱圖像，但是對任意實數(shù)m和n，函數(shù) y=f（x+m）-n，即y=x+m-n總不是偶函數(shù).

修改后的真命題： “函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=m成軸對稱圖像”的充要條件是“函數(shù)y=f（x+m）是偶函數(shù)”.

感悟：這是一道遞進(jìn)式邏輯題，前面的結(jié)論后面會用到，所以一處出錯，滿盤皆輸.第（1）小題相當(dāng)于引理，尋根溯源，函數(shù)y=log2是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱.

熱點5：函數(shù)與方程

函數(shù)與方程既有函數(shù)的影子，又有方程的解法，有時還需要化為不等式處理，而函數(shù)又有很多類型，圖像也大相徑庭，歷年高考都非常重視這個內(nèi)容.

例10. 已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，且2021切入：函數(shù)f（x）的三個待定系數(shù)a，b，c中，只要求c的取值范圍，意味著a，b可以求得出，所以可以根據(jù)f（1）=f（2）=f（3）聯(lián)立解出a，b.

解析：由f（1）=f（2）=f（3）得1+a+b+c=8+4a+2b+c，8+4a+2b+c=27+9a+3b+c，消去c得3a+b+7=0，5a+b+19=0，解得a=-6，b=11，即f（x）=x3-6x2+11x+c，依題意f（1）=c+6∈（2021，2022），即c∈（2015，2016），故填“（2015，2016）”.

感悟：多個待定系數(shù)的問題往往不容易找出題路，特別是三次函數(shù)容易想到求導(dǎo)數(shù)用導(dǎo)數(shù)的方法解決，單調(diào)性更適合轉(zhuǎn)化為不等式解決.

例11. 若m<1

解析：∵y=x2ex，∴y′=2xex+x2ex，∴y′|x=1=2e+e=3e，所以所求切線的方程為y-e=3e（x-1），即3ex-y-2e=0.

感悟：此類問題是最基本的問題，但高考百考不厭，因為式子是千變?nèi)f化的，切入點是用點斜式求切線的方程.

例13. 已知直線y=3x+1是曲線y=x3+t的一條切線，求實數(shù)t的值.

切入：切點處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率，本例切入點是將切線的點斜式方程轉(zhuǎn)化為切線的斜率以及切點的坐標(biāo).

解析：∵y=x3+t，∴y′=3x2，依題意令∴y′=3x2=3，解得x=±1，代入切線方程y=3x+1，即切點為（1，4）或（-1，-2），在代入曲線方程y=x3+t得t=3或t=-1.

感悟：切點既在切線上，也在曲線上，這就是切點的二重性，此類問題還應(yīng)該注意在某點處的切線與過某點的切線的區(qū)別.即要分清過的點是否是切點，這很關(guān)鍵.

熱點7：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是非常可行的，但由于函數(shù)解析式千變?nèi)f化，解析式中還可以有參數(shù)，所以此類問題也存在很多變數(shù)可以轉(zhuǎn)化為其它類型的問題.

例14. 已知函數(shù)f（x）=x3-2kx2+x（k∈R）在R上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍.

切入：根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于零函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于零函數(shù)單調(diào)遞減，本題應(yīng)先求導(dǎo)，將導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3x2-2kx+1通過二次函數(shù)方法解決.

解析：易知f′（x）=3x2-2kx+1，函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)實數(shù)，故f′（x）=3x2-2kx+1≥0恒成立，所以判別式？駐=4x2-12，∴ -≤k≤，故實數(shù)k的取值范圍是[-，].

感悟：本例定位為容易題，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性.但要注意，導(dǎo)數(shù)大于零是函數(shù)單調(diào)遞增的充分條件而非充要條件， 函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)實數(shù)， 故f′（x）=3x2-2kx+1≥0恒成立，容易錯誤成為f′（x）=3x2-2kx+1>0，這就是充分與充要的區(qū)別.

例15. 求函數(shù)f（x）=x--a ln x（x∈R+）的單調(diào)區(qū)間及對應(yīng)的單調(diào)性.

切入：對于式子中含有l(wèi)n x的函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)以后變?yōu)?，沒有了對數(shù)符號，更有利于問題的解決，但應(yīng)注意前后定義域的變化.

解析：∵ f（x）的定義域為（0， +∞），且f′（x）=1+. ∵ x2>0，令g（x）=x2-ax+1，其判別式？駐=a2-4.

（1）當(dāng)| a |≤2時，？駐≤0，f′（x）≥0，即-2≤a≤2故f（x）在（0， +∞）上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)a<-2時？駐>0，函數(shù)g（x）的兩個零點都小于0，在（0， +∞）上恒有f′（x）>0，故f（x）在（0， +∞）上單調(diào)遞增.

（3）當(dāng)a>2時？駐>0，方程g（x）=0的兩根為： 當(dāng)00；當(dāng)x1

感悟：求參數(shù)m的取值范圍是應(yīng)該特別注意是否包括等號.

熱點10：函數(shù)與三角綜合

三角題往往都比較獨立，以及本題居多，但將三角函數(shù)式嵌入到高次函數(shù)中，通過導(dǎo)數(shù)加以解決，一般都是難題.

感悟：本題是三角題高考?xì)v史最具創(chuàng)新意識的“好題”之一.將三角函數(shù)與函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合，其中還滲透轉(zhuǎn)化思想.可以很好地考查運算求解能力、推理論證能力.

二、二輪備考，回歸傳統(tǒng)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容很多，權(quán)重很重，聯(lián)系很廣，是考生得分的關(guān)鍵之關(guān)鍵，失函數(shù)者失一切.其實全國卷并不可怕，只是中等題增多了，相比于廣東卷，難題未必有廣東卷難. 只要我們準(zhǔn)備充分，2016年高考函數(shù)題仍然大有可為，仍然要立足基礎(chǔ)，回歸傳統(tǒng)，重視通性通法，淡化特殊技巧.尤其到了二輪，對于各地鋪天蓋地的模擬卷，老師的工作就是海納百川，取其精髓，減少不必要重復(fù)訓(xùn)練. 因此，二輪復(fù)習(xí)總體思路上還是要堅持一輪的方向，可以適當(dāng)調(diào)整，保持理性備考至關(guān)重要.

（1）重視基礎(chǔ)題型，重視通性通法

一份高考卷，真正意義上的難題約為30分左右，基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法、基本活動體驗永遠(yuǎn)是我們關(guān)注的重中之重，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)也是如此.即使函數(shù)與導(dǎo)數(shù)出壓卷難題，真正很難的部分權(quán)重也有限，其余多為通性通法，鮮有巧妙技巧，所以大可不必垂頭喪氣，函數(shù)的概念圖像及性質(zhì)、函數(shù)方程與不等式、基本初等函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其運用永遠(yuǎn)是熱點內(nèi)容，如果一輪復(fù)習(xí)還沒有到位，二輪必須清除盲點. 因函數(shù)題涉及面很廣，相關(guān)知識也不容忽視，考生基本上是丟不起函數(shù)分，出現(xiàn)任何差錯，想要在其它板塊中回填彌補，難度不言而喻！變務(wù)虛為務(wù)實，依權(quán)重進(jìn)行時間調(diào)配，訓(xùn)練的重點繼續(xù)放在基本題和中等題，多一步歸納和總結(jié).對平面向量與三角而言基本思想、基本方法就是捷徑.應(yīng)試時也務(wù)實一點，能把分拿到就成，不必盲目追求多么巧妙、多么優(yōu)美的解法.

（2）精準(zhǔn)駕馭考綱，拒絕機械訓(xùn)練

二輪復(fù)習(xí)還要重視對考綱的準(zhǔn)確理解，課本就是最好的資料，最好的信息是考試大綱.不要盲目追隨所謂的高考信息甚至老師押題，根本不會現(xiàn)實！努力做回自己做好自己，做好自己最管用.函數(shù)部分考核內(nèi)容是經(jīng)過專家充分醞釀確定的，各地考核的標(biāo)準(zhǔn)是一致的.既詮釋了教育教學(xué)的目標(biāo)要求，又為專家命制試題制定標(biāo)準(zhǔn).自從一輪復(fù)習(xí)以來，考生們做了大量的訓(xùn)練題，對做過的題進(jìn)行一些梳理事必要的。通過廣州一模進(jìn)行一次很好的演練，同時對今年考綱進(jìn)行琢磨，只有這樣才能駕馭這次高考.否則會復(fù)習(xí)的質(zhì)量會哦大打折扣，系統(tǒng)研究近三年全國各地的經(jīng)典考題.從中尋找規(guī)律，形成一套理性的、科學(xué)的、實用的備考計劃，然后落實下去.做對每個知識點逐一落實、一個不漏逐一過關(guān)，不留任何盲點、不留遺憾.依托課本、立足雙基、夯實四基、針對考綱、精準(zhǔn)定位.二輪以后各種模擬卷洪水猛獸般大量涌入，這時走入題海應(yīng)該是老師，把學(xué)生最需要最薄弱的試題提煉出來給學(xué)生練習(xí)，做到擊中要害，出招即勝！收窄并控制在一個合適的范圍，其余時間給考生調(diào)整放松.做好充分的準(zhǔn)備，相信考生們一定會考出一個出彩的成績！

責(zé)任編輯 徐國堅